徐軍　袁子豪

摘? ?要：為評價單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)抗震性能，需充分考慮地震激勵的隨機性以及非平穩(wěn)性. 結(jié)合概率密度演化方法，可得到單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的概率信息及可靠度.首先，采用譜表示-隨機函數(shù)方法，生成符合不同設(shè)防要求的全非平穩(wěn)地震動，其平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜擬合效果理想，通過概率密度演化方法考察了單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)最大位移的概率密度演化全過程;進一步地，分別從宏觀和微觀層次上選取2個失效評價指標，通過引入等效極值分布思想，可獲得單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)抗震可靠度分析所關(guān)心的動力響應(yīng)極值分布;最后通過參數(shù)分析，評價了不同參數(shù)對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)抗震可靠度的影響. 與傳統(tǒng)方法相比，本文方法從隨機性的角度評價網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的抗震性能更加合理，并且兼顧了效率和精度.

關(guān)鍵詞：單層球面網(wǎng)殼;地震動;概率密度演化;隨機動力響應(yīng);動力可靠度

中圖分類號：TU393.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Stochastic Seismic Response and Reliability Analysis of

Single-layer Spherical Reticulated Shells

XU Jun，YUAN Zihao

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract： To evaluate the seismic performance of single-layer spherical reticulated shell， the randomness and non-stationarity of seismic excitations need to be sufficiently taken into account. In conjunction with the probability density evolution method （PDEM）， the probabilistic information of dynamic response and reliability can be readily obtained. First， the random function based spectral representation method is employed to model the fully non-stationary seismic ground motions， which meets the requirements of different fortifications. Moreover， the average response spectrum accords well with the target response spectrum. Then， the instantaneous probability density evolution process of the shells maximum displacement is investigated from the perspective of PDEM. Further， two indices， which characterize the failure of the shell structure， are selected from macro and micro levels， respectively. By introducing the idea of equivalent extreme-value event， one can obtain the extreme value distribution of response for seismic reliability analysis. Finally， through carrying out the parametric analyses， the effect of different parameters on the seismic reliability of the shell can be evaluated. Compared with the traditional methods， the proposed method can evaluate the seismic performance of single-layer spherical reticulated shells from the perspective of randomness， which is much more reasonable. Besides， the tradeoff of efficiency and accuracy can be also ensured.

Key words： single-layer spherical reticulated shell;ground motion;probability density evolution method;stochastic dynamic response;dynamic reliability

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)因造型優(yōu)美、受力性能良好而被廣泛應(yīng)用于諸多重大工程.隨著設(shè)計理論和建造技術(shù)的發(fā)展，其跨度在不斷增大，大跨度網(wǎng)殼在強震作用下的力學(xué)性能受到眾多學(xué)者關(guān)注[1-8]. 其中，相當一部分研究集中于揭示單層球面網(wǎng)殼在地震荷載作用下的失效機理，并已取得較為系統(tǒng)的研究成果：針對動力失穩(wěn)，文獻[3-5]從微觀到宏觀層次上提出了應(yīng)力變化率法、特征位移響應(yīng)法以及特征能量法等;針對強度失效，文獻[6]提出了以結(jié)構(gòu)的特征響應(yīng)為判定指標（如最大節(jié)點位移和塑性桿比例等）;文獻[7]提出了基于能量和最大變形的雙控準則;文獻[8]基于大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立了損傷模型，通過損傷因子判定結(jié)構(gòu)失效與否. 綜上所述，地震作用下網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)失效機理的研究已基本形成完整的理論框架，如何充分利用已有成果，成為今后的任務(wù)之一.

另一方面，目前針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的抗震分析，往往只選擇幾條實際地震記錄及人造地震波進行確定性動力分析.然而，地震動具有顯著的隨機性，這使得工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)性態(tài)難以把控，特別當?shù)卣痣S機性與網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)非線性相耦合時，問題將變得更為復(fù)雜. 在這種情形下，如何準確把握結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)精細的概率信息顯得尤為重要，換言之，我們須考察單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在隨機地震激勵下的響應(yīng). 于1950年左右發(fā)展起來的隨機振動方法較為充分地考慮地震發(fā)生的概率統(tǒng)計特性，然而其計算量巨大，很難應(yīng)用于工程實踐中.從計算力學(xué)角度，林家浩教授等對結(jié)構(gòu)的平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機響應(yīng)發(fā)展了高效精確的算法-虛擬激勵法[9].基于此方法，文獻[10-11]針對大跨空間結(jié)構(gòu)逐步推導(dǎo)了多維、多點非平穩(wěn)地震動虛擬激勵法的計算公式. 盡管如此，虛擬激勵法本質(zhì)上并不適用于強非線性結(jié)構(gòu). 21世紀初，李杰和陳建兵從物理隨機系統(tǒng)的基本思想出發(fā)，提出廣義概率密度演化方程，為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)非線性隨機動力響應(yīng)及可靠度分析提供了新的途徑[12].

此外，為進行隨機地震響應(yīng)分析，如何建立隨機地震動模型是關(guān)鍵.其中，譜表示方法由于其理論完善、易于實現(xiàn)而在工程實踐中被廣為應(yīng)用.在譜表示方法基礎(chǔ)之上，劉章軍等[13]僅用一或兩個基本隨機變量構(gòu)造正交隨機函數(shù)來模擬隨機地震動，從而達到降維目的，大大降低計算工作量.結(jié)合概率密度演化方法，可實現(xiàn)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機地震響應(yīng)和可靠度分析.本文從隨機動力響應(yīng)來考察單層球面網(wǎng)殼的抗震性能，采用譜表示-隨機函數(shù)方法模擬全非平穩(wěn)隨機地震動，結(jié)合概率密度演化方法計算單層球面網(wǎng)殼隨機地震響應(yīng)和動力可靠度.

1? ?非平穩(wěn)隨機地震動模型

1.1? ?譜表示-隨機函數(shù)方法

（1）

這里{Xk，Yk}為一組標準正交隨機變量，需滿足：

基于隨機函數(shù)的思想，假設(shè)一組標準正交隨機變量{Xn，Yn}[13]：

（3）

式中：cas（·）=cos（·）+sin（·），為Hartley正交基函數(shù);？專1和？專2表示區(qū)間[0，2π]上相互獨立的基本隨機變量. {Xn，Yn}經(jīng)過某種特殊的隨機映射方式可得到{Xk，Yk}. 通過這一處理，隨機過程的隨機度從∞→2N→2，從而極大地降低問題的分析難度.

式（1）中，Sa（t，ω）為演變功率譜函數(shù)，可表示為：

其中S（ω）為平穩(wěn)過程功率譜密度函數(shù)，本文采用Clough和Penzien提出的雙過濾白噪聲模型[14]：

（5）

式中：ωg和ξg分別表示場地土的卓越圓頻率和阻尼比，ωg = 2π/Tg，Tg和ξg可通過查詢《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB50011—2010）[15]得到;ωf和ξf分別為第2過濾層的卓越圓頻率和阻尼比，文獻[16]建議取ωf = 0.1ωg，ξf = ξg;S0為譜強度因子，可表示為：

這里amax為地震動峰值加速度平均值，取200 cm/s2;γ為峰值因子，為符合規(guī)范要求，取值參考文獻[16]. 本文采用文獻[16]建議的時-頻調(diào)制函數(shù)：

式中：

這里b = a + 0.001，c = 0.005，a可參考文獻[16].

1.2? ?地震動樣本及反應(yīng)譜擬合

考慮抗震設(shè)防烈度為8度，場地類別為Ⅲ類，設(shè)計地震分組為第2組，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02，其它參數(shù)按文獻[16]選取. 主要步驟如下：

①按照華羅庚-王元的數(shù)論方法[17]在[0.2π）×[0.2π）對基本隨機變量？專1和？專2取點，本文取點總數(shù)為610，并基于Voronoi域[12]對樣本點進行概率剖分，計算賦得概率;

②按式（3）生成標準正交函數(shù){Xn，Yn}樣本，然后利用Matlab的rand（‘state，0）和randperm（N）映射得到{Xk，Yk}樣本;

③應(yīng)用式（1）得到地震動時程代表性樣本.

取截斷頻率ωu = 240 rad/s，N = 1 601，Δω = 0.15 rad/s，地震動持時為30 s，時間間隔為0.01 s. 圖1為演變功率譜密度圖. 由圖1可知：能量主要集中于50 rad/s以內(nèi)，峰值大致出現(xiàn)在6～7 s左右. 圖2為兩條地震動樣本，樣本在時域和頻域上具有典型的非平穩(wěn)特征.

圖3給出本文方法與經(jīng)典譜表示方法（610條隨機樣本）所計算得到的時程樣本均值、標準差與目標值的對比圖. 經(jīng)計算，采用本文方法和經(jīng)典譜表示方法所得的均值誤差的最大范數(shù)分別為0.003 6和9.224 8，標準差相對誤差二范數(shù)分別為1.68%和2.98%.可見：與經(jīng)典譜表示方法相比，本文方法得到的均值及標準差與目標值擬合更好.另一方面，目前各類結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計規(guī)范均以反應(yīng)譜作為地震動輸入的依據(jù)，通常平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜有一定的擬合精度要求. 圖4（a）為610條地震動代表性樣本平均反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的對比圖，可見二者之間差異較大，在長周期部分差異更為明顯. 對于高層建筑或大跨結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計，長周期地震動分量起著十分重要的作用，因此，長周期部分反應(yīng)譜的擬合需有較高精度[18]. 文獻[19]提出一種簡單的修正方法，效果顯著. 圖4（b）為采用本文方法修正后平均反應(yīng)譜與目標反應(yīng)譜的對比圖，可知：經(jīng)過修正得到的平均反應(yīng)譜與目標反應(yīng)譜擬合效果十分理想，其中平均誤差和最大誤差分別為1.7%和8.4%.

2? ?單層球面網(wǎng)殼隨機地震響應(yīng)分析

2.1? ?結(jié)構(gòu)模型描述

本文采用K8型單層球面網(wǎng)殼為計算模型，其平面圖和立面圖如圖5所示. 相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：跨度L = 60 m，矢跨比f/L = 1/3，底部支承處為三向固定鉸接，上部桿件間均為剛接;所有桿件截面尺寸設(shè)置為？椎114 mm × 3 mm;材料選彈塑性鋼材，其屈服強度為235 MPa，彈性模量取E = 2.06 × 105 MPa，切線模量Et = 0.02E，考慮材料非線性，采用雙線性隨動強化本構(gòu)模型（BKIN）;網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)表面作用有均布面荷載，其大小為P = 1.8 kN/m2，計算時按靜力等效原則將殼體表面荷載轉(zhuǎn)換為節(jié)點集中質(zhì)量凝聚在各質(zhì)量節(jié)點處，用點單元MASS21模擬. 此外，本文采用ANSYS軟件計算，選用PIPE20單元，桿件分為3段. 計算過程中采用Rayleigh阻尼，阻尼比ξ = 0.02. 為節(jié)約計算成本，地震動持時一般截取地震動時程中較大的前20 s部分，時間增量步長取0.02 s，施加時為三向輸入，峰值加速度之比amaxX ∶ amaxY ∶ amaxZ = 1 ∶ 0.85 ∶ 0.65.

2.2? ?概率密度演化方法

在隨機激勵作用下，多自由度體系的運動方程可表示為：

式中：M和C分別為質(zhì)量和阻尼矩陣;f（X）為恢復(fù)力向量;，和X分別為相對加速度、速度和位移響應(yīng)向量;I為單位向量，g（？專，t）代表上述非平穩(wěn)隨機地震動激勵.地震動的隨機性源于基本隨機變量？專 = {？專1，？專2}.

一般來講，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的任意物理量，如位移、內(nèi)力、變形等都是存在且唯一依賴于？專的. 不妨設(shè)感興趣的物理量為：

相應(yīng)地，該物理量的速度形式可表示為：

基于概率守恒原理，進一步推導(dǎo)可得[12]：

其中，pZ？專（z，θ，t）為t時刻增廣系統(tǒng)（z，？專）的聯(lián)合概率密度函數(shù). 式（12）的初始條件可表示為：

式中：δ為狄拉克函數(shù);z0為確定性的初始值;p？專（θ）為輸入隨機變量聯(lián)合概率密度函數(shù).結(jié)合運動方程（9），數(shù)值求解偏微分方程（12）可得到Z（t）的概率密度演化過程[12]，即：

其中，數(shù)值方法采用TVD格式和單邊差分格式的線性組合形式，組合系數(shù)為0.95.

基于上述方法，本文對單層球面網(wǎng)殼進行610次確定性動力時程分析，通過考察網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的特征響應(yīng)，如最大節(jié)點位移，來反映結(jié)構(gòu)在隨機地震作用下力學(xué)性能的概率信息.同時，基于經(jīng)典譜表示方法，按照蒙特卡洛模擬方法（MCS）生成10 000條地震動，輸入到結(jié)構(gòu)進行動力時程分析，將計算得到的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)最大節(jié)點位移均值和標準差與概率密度演化方法（PDEM）計算結(jié)果進行對比，如圖6所示. 可見：在4 s以前MCS結(jié)果與PDEM結(jié)果擬合較好，

4 s以后二者出現(xiàn)一定偏差，不過PDEM結(jié)果始終在MCS結(jié)果周圍波動，且誤差在可接受范圍之內(nèi).

圖7給出單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在[8，11]s范圍內(nèi)最大節(jié)點位移的概率密度演化過程. 由圖可知，網(wǎng)殼節(jié)點最大位移響應(yīng)的概率分布完全不同于通常假定的正態(tài)分布，具有非規(guī)則性，演化曲面就像連綿不斷的山峰;等概率密度線就像流動的水流，反映了概率在狀態(tài)空間內(nèi)的演變.

3? ?單層球面網(wǎng)殼動力可靠度分析

基于概率密度演化方法，可以得到結(jié)構(gòu)特征響應(yīng)的概率密度演變信息.然而，為精細化評價結(jié)構(gòu)的可靠性，需給出結(jié)構(gòu)可靠性的概率度量，亦即給出可靠度分析.本文采用文獻[20]所提出的等價極值事件的動力可靠度分析方法，結(jié)合相應(yīng)的強度失效評價指標，計算單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的動力可靠度.

3.1? ?基于極值分布的動力可靠度分析

對于球面網(wǎng)殼其中某個節(jié)點/單元，其動力可靠度可表示為：

中：Xi表示結(jié)構(gòu)特征響應(yīng);b為結(jié)構(gòu)失效時對應(yīng)的閾值;T代表地震動持時;i表示網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的節(jié)點/單元號;m表示節(jié)點/單元數(shù). 對于首次超越事件的動力可靠度分析，式（15）也可表達為：

殼結(jié)構(gòu)的整體可靠度可表示為：

max（T） = ?{{Xi（t）}}，則有：

中p max（x，T）是max（T）的概率密度函數(shù)，亦稱為等價極值分布.一旦確定網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)響應(yīng)的等價極值分布，即可方便地計算出網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的整體可靠度.

max（T）為僅依賴于基本隨機向量？專和時間段[0，T]的隨機變量，進一步有：

構(gòu)造一個時間虛擬過程：

需滿足下述條件：

本文選取的虛擬過程形式為[20]：

其中，ω = 2.5π，τ = 1.

類似地，有廣義概率密度演化方程

其初始條件為：

則有[12]：

那么，等價極值分布則可表示為：

3.2? ?數(shù)值算例

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)強度失效問題一直以來都是人們研究的熱點，正確選取評價指標尤為重要. 本文按照文獻[6]的建議，選取最大節(jié)點位移和塑性桿比例分別從局部和整體、宏觀和微觀的角度來刻畫網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能.同時，通過選取不同參數(shù)，分別從結(jié)構(gòu)本身、地震動兩個角度來研究不同參數(shù)對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)動力可靠度的影響. 擬選取的參數(shù)見表1.

為說明本文方法的合理性，在太平洋地震工程研究中心數(shù)據(jù)庫選取符合規(guī)范反應(yīng)譜（抗震設(shè)防烈度為8度，場地類別為Ⅲ類，設(shè)計地震分組為第2組）要求的40條天然地震動，對編號為N60180303的網(wǎng)殼進行時程分析，將結(jié)果與隨機地震動作用下的等價極值分布函數(shù)（EEVD）曲線進行對比，如圖8所示. 天然地震動計算得到的最大節(jié)點位移最小值和最大值分別為0.091 2 m和0.282 8 m;塑性桿比例最小值和最大值分別為0.152 8和0.506 6. 結(jié)合圖8可知：隨機地震動計算所得的極值分布可將天然地震動計算結(jié)果涵蓋在其分布范圍內(nèi)，說明本文所采用的隨機地震動在很大程度上可真實地反映實際地震作用.

圖9為N60180302、N60180303和N60180304參數(shù)下的EEVD曲線. 由圖可知，無論是從最大節(jié)點位移還是從塑性桿比例的角度，各類場地呈現(xiàn)的結(jié)果一致，Ⅳ類場地EEVD曲線分布更偏右. 圖10給出對應(yīng)的累積分布函數(shù)（CDF）曲線. 由圖可直觀看出：在保證其它條件一致的情形下，Ⅱ類場地單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)可靠性更好、Ⅲ類場地次之、Ⅳ場地類最差. 一方面，根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB50011-2010）[15]，從Ⅱ類場地到Ⅳ類場地，地基土逐漸偏軟，場地土卓越圓頻率依次為15.708 rad/s、11.424 rad/s和8.378 rad/s. 結(jié)構(gòu)一階、二階圓頻率為9.43 rad/s，正好處于卓越頻率范圍之內(nèi)且與Ⅳ類場地更為接近;另一方面，根據(jù)功率譜分布，從Ⅱ到Ⅳ類場地能量越來越集中，且結(jié)構(gòu)的前兩階主頻率正好處于本文地震動功率譜模型的峰值附近，因而對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有較大影響.

限于篇幅，針對矢跨比、初始缺陷，本文僅給出一種情形，其它情形皆以可靠度形式列于表2中. 圖11為N60180303和N60180503兩種參數(shù)下的累積分布函數(shù)圖. 由圖可知，在其它參數(shù)一致的情形下，矢跨比越小，可靠度越高. 圖12為考慮初始幾何缺陷（L/300）的情形，采用一致缺陷模態(tài)法施加初始缺陷，明顯地，缺陷的存在會顯著降低結(jié)構(gòu)的動力可靠度.

基于上述分析結(jié)果，按照文獻[6]提出的強度失效指標，分別選取最大節(jié)點位移L/100和塑性桿比例42%為閾值，計算不同情形下結(jié)構(gòu)動力可靠度，如表2所示. 對比分析可見：采用不同閾值得到的可靠度幾無明顯統(tǒng)一性. 前者從局部最大位移的角度，后者則從整體塑性發(fā)展程度的角度來考察可靠度. 如何建立統(tǒng)一的強度失效指標需進一步研究.

值得指出的是，本文中可靠度分析與傳統(tǒng)普遍采用的地震易損性分析有著本質(zhì)區(qū)別. 傳統(tǒng)地震易損性分析主要步驟為：選定某一性能水準，運用增量動力分析（IDA）方法，對計算結(jié)果進行曲線擬合得到在不同地震強度下結(jié)構(gòu)失效概率，進而得到易損性曲線;本文中可靠度分析刻畫的是：選定某一地震動強度，通過隨機動力響應(yīng)分析，運用概率密度演化方法得到結(jié)構(gòu)在不同性能水準下的可靠概率，從而得到概率累積分布（CDF）曲線. 此外，地震易損性分析一般按照不同場地及設(shè)防要求選取數(shù)十條實際地震記錄進行分析，然而選取的地震波可能很難同時在場地特性、平均反應(yīng)譜等方面很好地滿足設(shè)防要求，并且數(shù)十條波的計算結(jié)果本質(zhì)上屬于小樣本范疇，計算結(jié)果精度亦不能保證;而本文采用概率密度演化方法可得到所關(guān)心結(jié)構(gòu)響應(yīng)精細的概率信息，且與蒙特卡洛模擬結(jié)果擬合較好，可認為本文方法較地震易損性分析更能精確刻畫失效概率.

4? ?結(jié)? ?論

本文基于譜表示-隨機函數(shù)思想建立非平穩(wěn)隨機地震動模型，結(jié)合概率密度演化方法，提出一種新的單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)抗震分析方法，主要結(jié)論如下：

1）引入隨機函數(shù)，將傳統(tǒng)譜表示方法中的基本隨機變量數(shù)大大降低，減小問題分析難度;采用一定的修正方法，得到符合規(guī)范要求的隨機地震動，其平均反應(yīng)譜、一階統(tǒng)計值及二階統(tǒng)計值均與目標值擬合較好.

2）基于概率密度演化方法，對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進行隨機地震響應(yīng)分析. 結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)最大位移響應(yīng)均值和標準差與10 000次蒙特卡洛模擬結(jié)果擬合較好，且其概率密度演化過程具有非規(guī)則性，不同于常用的正態(tài)分布假定.

3）基于極值分布，對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進行了動力可靠度分析.結(jié)果表明：a）場地類別、矢跨比和缺陷對單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的動力可靠度均有顯著影響，為工程實踐提供重要的技術(shù)依據(jù);b）基于最大節(jié)點位移和塑性桿比例得到的動力可靠度沒有明顯的統(tǒng)一性，如何建立統(tǒng)一的強度失效指標是今后單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)抗震可靠度研究的重點之一.

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