李鵬飛，呂恩利，陸華忠，陳明林，荀 露

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 工程學(xué)院/南方農(nóng)業(yè)機(jī)械與裝備關(guān)鍵技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510642)

0 引言

農(nóng)業(yè)機(jī)械化是影響我國(guó)農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化進(jìn)程、制約農(nóng)業(yè)國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力提高的主要因素[1]，農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平是衡量農(nóng)業(yè)機(jī)械化發(fā)展水平的重要指標(biāo)。因此，科學(xué)有效地分析我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化的發(fā)展趨勢(shì)，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平的增長(zhǎng)幅度，是合理制定農(nóng)機(jī)規(guī)劃的基礎(chǔ)，對(duì)于保障我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化穩(wěn)定有序的發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，國(guó)內(nèi)外已提出的關(guān)于農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平的預(yù)測(cè)方法主要有回歸分析法、指數(shù)平滑法、平滑移動(dòng)法、灰色模型法，以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[2-4]。單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型雖各有優(yōu)勢(shì)但均有特定的適用環(huán)境，僅利用某一種預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)結(jié)果往往偏差較大。綜合考慮各單項(xiàng)模型預(yù)測(cè)時(shí)的局限性，Bates和Granger[5]首次提出組合預(yù)測(cè)的方法，鑒于單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法各自的特點(diǎn)，將不同單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行加權(quán)組合，使最終預(yù)測(cè)結(jié)果能夠包含各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法中有效的信息，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性和較好的穩(wěn)定性[6]。

組合預(yù)測(cè)模型的權(quán)重分配對(duì)預(yù)測(cè)精度有重要的影響，合理地確定權(quán)重是構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型的關(guān)鍵。誤差平方和最小法是一種傳統(tǒng)的線性加權(quán)的方法，以整體最優(yōu)為目標(biāo)，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用；Shapley法是一種基于博弈理論中利益分配機(jī)制的賦權(quán)方法，以公平性為原則，對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行權(quán)重分配；IOWGA法是一種通過(guò)誘導(dǎo)值將決策結(jié)果進(jìn)行算數(shù)加權(quán)集成的方法。目前，尚未發(fā)現(xiàn)有關(guān)上述3種組合預(yù)測(cè)模型對(duì)比的相關(guān)研究。因此，本文以我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平時(shí)間序列為研究對(duì)象，基于提高預(yù)測(cè)精度的目的，建立了指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型、三次指數(shù)平滑模型和灰色預(yù)測(cè)模型，綜合利用各單項(xiàng)模型所提供的有效信息，以誤差平方和最小法、Shapley法和IOWGA法建立組合預(yù)測(cè)模型，通過(guò)評(píng)價(jià)指標(biāo)比較各組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果和穩(wěn)定性，探討我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平較優(yōu)的組合預(yù)測(cè)方法，以期為我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化發(fā)展規(guī)劃提供科學(xué)依據(jù)。

1 組合模型的構(gòu)建

組合預(yù)測(cè)方法是指選取合理的權(quán)重并將多種單項(xiàng)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)組合的方法[7-8]，可以綜合各單項(xiàng)模型具有的信息，集成并優(yōu)化各單項(xiàng)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，使得預(yù)測(cè)精度大大提高[9]。

1.1 誤差平方和最小法[10]

設(shè)J表示組合預(yù)測(cè)相對(duì)誤差平方和，即

由此可得到以相對(duì)誤差平方和最小為準(zhǔn)則的組合預(yù)測(cè)模型，即

該模型可轉(zhuǎn)化為矩陣形式，作為非線性規(guī)劃問(wèn)題，并且是二次凸規(guī)劃問(wèn)題，具有唯一最優(yōu)解[11]。

1.2 Shapley法[12]

Shapley法[13]是Shapley教授從有效性公理、對(duì)稱性公理和可加性公理出發(fā)，提出的合作對(duì)策解的概念[14]，通過(guò)團(tuán)隊(duì)中各成員的貢獻(xiàn)程度反映各成員的重要性[15]，實(shí)現(xiàn)總利潤(rùn)在團(tuán)隊(duì)中各成員間的公平分配。將各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型視為合作關(guān)系，把組合預(yù)測(cè)產(chǎn)生的總誤差視為合作的總收益，通過(guò)Shapley值實(shí)現(xiàn)總收益的公平分配，利用分配的結(jié)果來(lái)確定各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)模型中的權(quán)重[16]。

設(shè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法共有n種，記為I=1，2，…,n；s代表集合I中的任何子集；Es為該子集組合的誤差；Ei表示第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法相對(duì)誤差絕對(duì)值的平均值；E表示組合預(yù)測(cè)方法的總誤差，即

其中，t為觀測(cè)樣本個(gè)數(shù)；eij為第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法第j個(gè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差。

Shapley值和權(quán)重分配公式分別為

其中，s為集合I中的任何子集；s為單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的數(shù)量；ω|s|為權(quán)重因子；s-i為組合中除去第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型。

第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的權(quán)重計(jì)算公式為

因此，Shapley組合預(yù)測(cè)模型為

1.3 IOWGA法

目前，在大多數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型中，一般通過(guò)各種方法計(jì)算出組合預(yù)測(cè)模型中各單項(xiàng)的權(quán)系數(shù)，并在預(yù)測(cè)階段，假定權(quán)系數(shù)不變[17-20]。然而，各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)同一預(yù)測(cè)對(duì)象的預(yù)測(cè)效果往往隨時(shí)間而改變，固定權(quán)系數(shù)組合不能較好地反映各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的時(shí)變性。針對(duì)上述問(wèn)題，美國(guó)學(xué)者Yager[21]提出有序加權(quán)平均OWA的概念，即權(quán)重分配由各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在不同時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度決定，克服了傳統(tǒng)加權(quán)方法的弊端[22]。隨著相關(guān)理論研究的不斷深入，陳華友等[23]提出了誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均(IOWGA)的概念，使得權(quán)重分配更加合理，組合模型預(yù)測(cè)精度進(jìn)一步提高。

定義1：設(shè)R+為正實(shí)數(shù)集，OWGAW：R+n→R+為n元函數(shù)，W=ω1,ω2,…,ωmT是與OWGAW有關(guān)聯(lián)的指數(shù)加權(quán)向量，令

由定義1可知：權(quán)系數(shù)ωi與序列x1,x2,…,xm中數(shù)xi無(wú)關(guān)，而是與序列x1,x2,…,xm按從大到小進(jìn)行排序后的第i個(gè)位置數(shù)bi密切相關(guān)。

定義2：設(shè)〈a1,x1〉,〈a2,x2〉,…,〈am,xm〉為m個(gè)二維數(shù)組，令

IOWGAW〈a1,x1〉,〈a2,x2〉,…,〈am,xm〉=

其中，a-indexi為a1,a2,…,am中從大到小的順序排列的第i個(gè)大的數(shù)的下標(biāo)。

稱函數(shù)IOWGAW是由a1,a2,…,am所產(chǎn)生的n維誘導(dǎo)有序加權(quán)集合平均算子，簡(jiǎn)記為IOWGA，ai成為xi的誘導(dǎo)值。

定義3：表明權(quán)系數(shù)ωi與序列x1,x2,…,xm中數(shù)xi的大小和位置無(wú)關(guān)，而是與其誘導(dǎo)值按從大到小進(jìn)行排序后的第i個(gè)位置有關(guān)。

i=1,2,…,m；t=1,2,…,N

其中，pit為第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度，pit∈0,1。與預(yù)測(cè)值xit對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)精度pit視為其誘導(dǎo)值，則m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度和其對(duì)應(yīng)樣本區(qū)間的預(yù)測(cè)值就構(gòu)成了m個(gè)二維數(shù)組，即

〈pit,x1t〉,〈p2t,x2t〉,…,〈pmt,xmt〉。

設(shè)L=l1,l2,…,lmT為單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)中的OWGA的加權(quán)向量，將m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度序列p1t,p2t,…,pmt按從大到小的順序進(jìn)行排列，設(shè)p-indexi是第i個(gè)大的預(yù)測(cè)精度的下標(biāo)，令

IOWGAL〈p1t,x1t〉,〈p2t,x2t〉,…,〈pmt,xtm〉=

i=1,2,…,m；t=1,2,…,N

由上式可知：IOWGA組合模型將各單項(xiàng)模型在不同時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)值進(jìn)行賦權(quán)，使得單項(xiàng)模型各時(shí)刻的權(quán)重與其該時(shí)刻的擬合精度相關(guān)聯(lián)，更具有實(shí)際意義。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將取對(duì)數(shù)誤差平方和作為優(yōu)化準(zhǔn)則，令ea-indexit=lnxt-lnxp-indexit。

N期總的組合預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)誤差平方和S為

基于對(duì)數(shù)誤差平方和最小的準(zhǔn)則，IOWGA算子組合預(yù)測(cè)模型為

minSL=LTEL

2 算例分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文采用的是2000-2015年我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平的年度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于《中國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化年鑒》，如表1所示。各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型均以2001-2012年的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，對(duì)2013-2015年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)檢驗(yàn)。

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了對(duì)組合預(yù)測(cè)模型給予有效的評(píng)價(jià)，本文采用平均相對(duì)誤差MAPE和均方根誤差RMSE為評(píng)價(jià)指標(biāo)。則

2.3 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的建立

我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平是一個(gè)時(shí)間序列，其數(shù)值的變化具有波動(dòng)性，以增長(zhǎng)為主要趨勢(shì)。選擇指數(shù)曲線法、三次指數(shù)平滑法和灰色預(yù)測(cè)法建立我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型。

2.3.1 指數(shù)曲線模型

由于社會(huì)的進(jìn)步與科技的發(fā)展，我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)明顯的快速增長(zhǎng)趨勢(shì)。由表1可知：我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平與時(shí)間近似滿足指數(shù)關(guān)系，通過(guò)SPSS軟件對(duì)2001-2012年的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)曲線擬合，得到預(yù)測(cè)模型如下，相關(guān)系數(shù)R為0.955，表明我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平與時(shí)間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，即

y=2.788×10-47e0.053x

其中，x為時(shí)間變量；y為對(duì)應(yīng)年份的農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平預(yù)測(cè)值。

2.3.2 三次指數(shù)平滑模型[24]

指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法可細(xì)分為一次、二次、三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法，綜合考慮歷史數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，本文采用三次指數(shù)平滑法。

設(shè)原始數(shù)據(jù)所組成的時(shí)間序列為X=x1,x2,…,xn，則三次指數(shù)平滑模型為

yt+T=at+bt·T+ct·T2

平滑系數(shù)的計(jì)算公式為

其中，α代表模型對(duì)時(shí)序變化的反應(yīng)速度[25]。本文經(jīng)反復(fù)測(cè)算和比較后，綜合考慮評(píng)價(jià)指標(biāo)，選取α=0.8。

本文建模數(shù)據(jù)量較小，初始值對(duì)預(yù)測(cè)效果影響較大，所以采用平均數(shù)法求平滑初始值，即

將2001-2012年，農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平歷史數(shù)據(jù)代入，求得at、bt、ct的值及2001-2012的預(yù)測(cè)值。此外，令t=2012，得到公式如下，求得2013-2015年的預(yù)測(cè)值如表1所示。

y2012+T=0.5717+0.0218T-0.0016T2

2.3.3 灰色模型[26]

灰色預(yù)測(cè)是對(duì)原始序列發(fā)展變化進(jìn)行深入探索，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，建立微分方程模型，預(yù)測(cè)時(shí)序未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)[27]?；疑Ｐ瓦m用于樣本量較少情況下的時(shí)序預(yù)測(cè)。

設(shè)原始灰色時(shí)間序列為x0，則

x0=x01,x02,…,x0n

對(duì)其進(jìn)行一次累加得到新序列x1，即

對(duì)新序列x1建立白化微分方程，得

其中，a、b為待估計(jì)參數(shù)；t為時(shí)間。

求解上式得到時(shí)間響應(yīng)模型為

i=1,2,…,n-1

按最小二乘法求解參數(shù)a和b，則有

由此得到模型還原值為

i=1,2,…,n

將2001-2012年農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平歷史數(shù)據(jù)代入上述預(yù)測(cè)模型，求解待估計(jì)參數(shù)a、b，得到灰色預(yù)測(cè)模型為

i=1,2,…,n-1

通過(guò)上式對(duì)2013-2015年我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平進(jìn)行擬合，并得到還原值，結(jié)果如表1所示。

表1 3種單項(xiàng)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

2.4 組合預(yù)測(cè)模型的建立

2.4.1 誤差平方和最小模型

通過(guò)MatLab平臺(tái)計(jì)算得到基于誤差平方和最小的組合預(yù)測(cè)模型為

2.4.2Shapley模型

根據(jù)Shapley概念，參與組合預(yù)測(cè)模型總誤差分配的成員為I=1,2,3，它所有子集的組合誤差分別為E1、E2、E3、E1,2、E1,3、E2,3、E1,2,3。

求得各成員的Shapley值，并計(jì)算各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的權(quán)重，Shapley值組合預(yù)測(cè)模型為

2.4.3 IWOGA模型

按照表1中的預(yù)測(cè)結(jié)果，計(jì)算出各單項(xiàng)模型在各時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)精度，并視為誘導(dǎo)值，利用MatLab解得最優(yōu)權(quán)系數(shù)為l1=0.6352，l2=0.3648，l3=0。

其中，l1、l2、l3為3個(gè)單項(xiàng)模型預(yù)測(cè)精度從高到低的單項(xiàng)模型賦權(quán)重。

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)測(cè)連貫性的原則，即各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在未來(lái)的第N+T年的預(yù)測(cè)精度與其過(guò)去的T年內(nèi)的平均預(yù)測(cè)精度保持一致[28]，推測(cè)出各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型2013-2015年可能的預(yù)測(cè)精度狀態(tài)，從高到低進(jìn)行排序，排序結(jié)果如表2所示。

表2 2013-2015年各單項(xiàng)模型預(yù)測(cè)精度的排序結(jié)果

2.5 結(jié)果與分析

誤差平方和最小、Shapley、IWOGA3種組合預(yù)測(cè)模型對(duì)2013-2015年農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

由表3可以看出：組合預(yù)測(cè)模型對(duì)我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平的總體預(yù)測(cè)精度較高，觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值吻合性較好，相對(duì)誤差均在3%范圍內(nèi)。IOWGA組合模型的預(yù)測(cè)精度較高，平均相對(duì)誤差僅為0.003 9，誤差平方和最小模型次之，Shapley模型的預(yù)測(cè)性能較低。通過(guò)均方根誤差的結(jié)果可知，IOWGA組合預(yù)測(cè)模型不僅誤差較小，誤差分布也較集中。

表3 2013-2015年各組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

3 結(jié)論

1) 組合模型可以綜合利用3個(gè)單項(xiàng)模型的有效信息，適用于我國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平的預(yù)測(cè)。

2) 利用評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)3種組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行對(duì)比，IOWGA組合預(yù)測(cè)模型精度最高，誤差平方和最小，預(yù)測(cè)模型次之，Shapley組合預(yù)測(cè)模型精度較低。

3) IOWGA組合模型按照各單項(xiàng)模型各時(shí)刻的擬合精度的高低進(jìn)行有序賦權(quán)，克服了傳統(tǒng)賦權(quán)方法的弊端，能較好地模擬農(nóng)業(yè)機(jī)械化作業(yè)水平的發(fā)展情況，具有較強(qiáng)的可靠性和較高的實(shí)用價(jià)值。