羅靖宇 唐寧九

摘 要：針對謠言傳播過程中傳播態(tài)節(jié)點恢復(fù)時會受其鄰居節(jié)點狀態(tài)影響的問題，提出了一種基于邊劃分理論的謠言傳播模型。首先，使用改進(jìn)的邊劃分理論建立起謠言傳播的動力學(xué)方程組，推演出謠言在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播范圍值和爆發(fā)閾值;然后，通過數(shù)值仿真實驗研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、傳播概率和基礎(chǔ)恢復(fù)概率等參數(shù)對謠言傳播的影響;在此基礎(chǔ)之上，提出了可以有效控制謠言傳播范圍和爆發(fā)閾值的免疫策略。理論分析和仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典的SIR模型相比，提出的謠言傳播模型縮短了謠言傳播的周期，傳播態(tài)節(jié)點比例的峰值則有小幅提高。對比實驗發(fā)現(xiàn)，與現(xiàn)有的隨機(jī)免疫策略相比，當(dāng)謠言的傳播概率較大時，優(yōu)先免疫連接小度節(jié)點的邊能得到更小的謠言傳播范圍;反之，當(dāng)謠言的傳播概率較小時，優(yōu)先免疫連接大度節(jié)點的邊可以有更小的謠言傳播范圍。研究結(jié)果表明，提出的謠言傳播模型符合謠言消退期的特征，為謠言傳播的預(yù)測與控制提供了理論和數(shù)值上的支持。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);易感態(tài)感染態(tài)恢復(fù)態(tài)模型;謠言傳播;邊劃分理論;免疫策略

中圖分類號：TP393

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Rumor propagation model based on edgebased compartmental theory

LUO Jingyu， TANG Ningjiu*

College of Computer Science， Sichuan University， Chengdu Sichuan 610065， China

Abstract：

Aiming at the problem that spreader nodes will be influenced by their neighbors during the recovery in the rumor propagation process， a rumor propagation model based on edgebased compartmental theory was proposed. Firstly， a set of dynamic equations were established using the improved edgebased compartmental theory， and the propagation range and breaking threshold were theoretically analyzed. Then the influence of factors including network structure， propagation probability and basic recovery probability were analyzed through numerical simulation. Finally， an effective immunization strategy to control rumor propagation range and breaking threshold was presented on the above basis. The results of theoretical analysis and numerical simulation show that， compared with the classical SIR （SusceptibleInfectedRecovered） rumor propagation model， the presented model decrease the period of rumor propagation and increase the peak of the propagation of spreader nodes slightly. Through comparison experiments with the random immunization strategy， in the proposed strategy the edges with higher product of the degrees of two nodes were immuned preferentially to obtain better effect when rumor has minor propagation probability， and the edges with lower product of the degrees of two nodes were immuned preferentially to obtain better effect when rumor has larger propagation probability. Study results indicate that the presented model conform to the characteristics of rumor fading away phase and can provide theoretical and numerical support for rumor prediction and control.

Key words：

complex network; SusceptibleInfectedRecovered （SIR） model; rumor propagation; edgebased compartmental theory; immunization strategy

0?引言

隨著人類日常生活的網(wǎng)絡(luò)化，微博、Twitter等在線社交網(wǎng)絡(luò)開始興起。由于這類在線社交網(wǎng)絡(luò)具備用戶門檻低、消息傳播速度快、地域限制小等特點，在這些平臺上的信息傳播的速度和范圍均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過傳統(tǒng)傳播方式。但這種現(xiàn)象在給人們的日常生活帶來便利的同時，也會帶來謠言大規(guī)模傳播且難以控制的負(fù)面影響，因此，需要研究社交網(wǎng)絡(luò)上謠言傳播的規(guī)律并在此基礎(chǔ)上得到適當(dāng)?shù)闹{言傳播控制策略。社交網(wǎng)絡(luò)上謠言等信息的傳播都屬于社會傳播的范疇，可以被描述成“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學(xué)”。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是近年來新興的一門學(xué)科，人類生活中的眾多現(xiàn)象例如新科技的傳播[1]和謠言傳播等都可以被納入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究范圍。1998年康奈爾大學(xué)的Watts博士和Strogatz教授提出的具有小世界特性的WS網(wǎng)絡(luò)[2]以及1999年Barabási和Albert提出的具有無標(biāo)度特性的BA網(wǎng)絡(luò)[3]標(biāo)志著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的誕生。在此之后，相關(guān)研究人員不斷地運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來解決各個領(lǐng)域中的問題，在輿情、謠言等社會行為的傳播研究領(lǐng)域，研究人員廣泛采用的傳播動力學(xué)模型是易感態(tài)感染態(tài)恢復(fù)態(tài)（SusceptibleInfectedRecovered， SIR）模型[4]。在SIR模型中，參與傳播的每個節(jié)點在任意時刻只能處于三種狀態(tài)中的一種：易感態(tài)（Susceptible）、感染態(tài)（Infected）和恢復(fù)態(tài)（Recovered）。節(jié)點處于易感態(tài)就表示該節(jié)點尚未參與到信息的傳播過程中，在傳播開始之后的每一個時間步，處于感染態(tài)的節(jié)點會以傳播概率λ向鄰居節(jié)點中的易感態(tài)節(jié)點傳播信息，并且會以概率γ進(jìn)入到恢復(fù)態(tài)，恢復(fù)態(tài)節(jié)點將不會再參與到信息的傳播過程中。盡管SIR模型作為一種經(jīng)典的非可逆?zhèn)鞑ツＰ涂梢院芎玫孛枋龀稣鎸嵵兄{言傳播的特性，但依然有很多影響謠言傳播的屬性沒有被考慮到。國內(nèi)外研究者分別從社會網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[5]、社會傳播的加強(qiáng)效應(yīng)[6-7]、個體采納閾值[8]等因素對謠言傳播產(chǎn)生的影響來拓展和改進(jìn)SIR模型，但是這些研究都關(guān)注的是謠言向易感態(tài)用戶傳播時的特征，并沒有考慮節(jié)點開始恢復(fù)時的情況。

早在20世紀(jì)70年代，Rosnow等[9]就已經(jīng)提出了謠言傳播的生命周期理論。在那之后各領(lǐng)域的學(xué)者都嘗試去研究謠言傳播周期中各個時期的特征并希望由此得到有效的謠言控制策略。任一奇等[10]針對國內(nèi)社交媒體將網(wǎng)絡(luò)謠言分為產(chǎn)生、擴(kuò)散、極化和消退四個階段， 并將謠言的消退分為了兩種類型：自然消退和人為消退。以官方辟謠為主的人為消退往往會因為傳播過程中出現(xiàn)的偏差或是一部分受眾產(chǎn)生逆反心理反而會促進(jìn)謠言的擴(kuò)散;而在自然消解的過程中，隨著周圍用戶參與到謠言傳播的比例增加，已參與到謠言傳播的用戶對謠言的了解也會逐漸增加直到因為接觸到事件真相或是失去興趣而停止對謠言的傳播。王理等[11]基于真實謠言信息樣本也對謠言消退的現(xiàn)象進(jìn)行了實證研究。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文首先根據(jù)謠言生命周期理論中謠言消退期的特點對SIR傳播模型進(jìn)行改進(jìn)，引入鄰居節(jié)點狀態(tài)對于易感態(tài)節(jié)點的影響，使得謠言消退的過程更加符合真實情況。接下來，為了可以定量地研究所提出的謠言傳播模型，本文拓展了一套異質(zhì)邊劃分方法用于研究各個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳播模型參數(shù)對于謠言傳播的影響，得到不同條件下謠言最終傳播范圍和爆發(fā)閾值。最后，對謠言傳播模型進(jìn)行進(jìn)一步分析，并提出可以有效控制謠言傳播的免疫策略。

1?謠言傳播模型概述

假設(shè)謠言在節(jié)點數(shù)量為N、度分布為 P（k）的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播。網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點可以處于以下三種可能狀態(tài)中的一種：1）節(jié)點不知道流言的無知態(tài)（gnorant）;2）節(jié)點開始傳播謠言的傳播態(tài)（spreader）;3） 節(jié)點不再傳播謠言的恢復(fù)態(tài)（refractory）。在每個時間步中，每個具有度k′的 spreader 節(jié)點v首先嘗試向所有它的鄰居節(jié)點傳遞謠言。如果 spreader節(jié)點v的鄰居中有一個無知態(tài)節(jié)點u，那么u以概率λ接受謠言并成為一個新的傳播態(tài)節(jié)點。在謠言消退時傳播態(tài)節(jié)點需要其鄰居節(jié)點提供與謠言有關(guān)的信息來識破謠言進(jìn)而對謠言失去興趣，因此，在模型中傳播態(tài)節(jié)點v以概率1-（1-γ）nk′變成恢復(fù)態(tài)節(jié)點，其中nk′是其鄰居中傳播態(tài)節(jié)點和恢復(fù)態(tài)節(jié)點的數(shù)量之和，γ是節(jié)點v鄰居中只有一個傳播態(tài)或恢復(fù)態(tài)節(jié)點時v變?yōu)榛謴?fù)態(tài)的概率，在本文中被稱作基礎(chǔ)恢復(fù)概率。當(dāng)系統(tǒng)中不再有傳播態(tài)節(jié)點時，傳播過程結(jié)束。謠言傳播模型整體架構(gòu)如圖1所示，無知態(tài)節(jié)點每個時間步以概率λ轉(zhuǎn)為傳播態(tài)節(jié)點，傳播態(tài)節(jié)點每個時間步以概率1-（1-γ）nk′轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)態(tài)節(jié)點。

2?基于異質(zhì)邊劃分的理論分析

謠言的最終傳播范圍和傳播的爆發(fā)閾值是運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究謠言傳播動力學(xué)特征時的兩個重要的目標(biāo)。謠言傳播范圍是指當(dāng)謠言傳播結(jié)束時網(wǎng)絡(luò)中參與到謠言傳播的節(jié)點比例。受到文獻(xiàn)[12]的啟發(fā)，本章擴(kuò)展了一套異質(zhì)邊劃分方法，用于對本文提出的謠言傳播模型的傳播范圍進(jìn)行分析。記S（t）、I（t）、R（t）分別表示在t時刻，處于傳播態(tài)、無知態(tài)和恢復(fù)態(tài)節(jié)點的比例，并滿足S（t）+I（t）+R（t）=1。參考空穴理論[13-14]，令任意節(jié)點u處于空穴態(tài)，即u不能感染鄰居節(jié)點，但是可以被鄰居節(jié)點感染。記θk′（t）表示度為k′的某鄰居節(jié)點直到 t 時刻，仍然沒有通過兩點之間的邊感染節(jié)點u的概率。在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點通常具有不同大小的度，不同度的節(jié)點θk′（t）取值也有所不同?？紤]鄰居節(jié)點所有可能的度取值，記θ（t）為u節(jié)點截止t時刻仍然沒有被某個鄰居感染的概率：

θ（t）=∑k′=0k′P（k′）〈k〉 θk′（t）（1）

其中〈k〉為網(wǎng)絡(luò)的平均度。對于網(wǎng)絡(luò)中的任意一個節(jié)點來說，設(shè)i（k，t）為t時刻度為k的節(jié)點為無知態(tài)的概率：

i（k，t）=θk（t） （2）

考慮k所有可能的取值，可以得到t時刻網(wǎng)絡(luò)中無知態(tài)節(jié)點的比例：

I（t）=∑k=0P（k）i（k，t） （3）

根據(jù)θk′（t）的定義，可以將其分為3個部分：

θk′（t）=ξIk′（t）+ξSk′（t）+ξRk′（t） （4）

其中：ξIk′（t）、ξSk′（t）和ξRk′（t）分別表示，度為k′的節(jié)點處于無知態(tài)、傳播態(tài)和恢復(fù)態(tài)，并且截止t時刻沒有感染鄰居的概率。

當(dāng)節(jié)點v處于無知態(tài)時，v不能傳遞謠言給鄰居u，滿足ξIk′（t）的定義，因此v處于無知態(tài)的概率與ξIk′（t）相等。由于u處于空穴態(tài)，它也不能傳染v，因此，v只能被其余k′-1個鄰居感染?？梢杂纱说玫竭M(jìn)一步可以由定義得到 v 處于無知態(tài)的概率：

ξIk′（t）=θk′-1（t）（5）

根據(jù)θk′（t）的定義，當(dāng)度為k′的節(jié)點v通過一條邊感染鄰居u時，θk′（t）將會減小。節(jié)點v感染節(jié)點u需要滿足兩點：1）節(jié)點v截止t時刻之前處于傳播態(tài)并且沒有感染u節(jié)點;2）在t時刻，節(jié)點v通過兩點之間的邊以概率λ感染節(jié)點u。 由此可以得到θk′（t）的演化方程：

dθk′（t）dt=-λξSk′（t）（6）

傳播態(tài)節(jié)點v的恢復(fù)概率與該時刻v鄰居節(jié)點中傳播態(tài)節(jié)點和恢復(fù)態(tài)節(jié)點的數(shù)量有關(guān)，設(shè)nk′為v鄰居中傳播態(tài)節(jié)點和恢復(fù)態(tài)節(jié)點的數(shù)量之和。對于某個度為k″的v的鄰居來說，在t時刻處于無知態(tài)的概率為θk″（t），由此可以進(jìn)一步得到度為k″的v的鄰居在t時刻處于傳播態(tài)的概率和處于恢復(fù)態(tài)的概率之和為1-θk″（t）?？紤]k″所有可能的取值，可以得到某個v的鄰居處于傳播態(tài)或是恢復(fù)態(tài)的概率為∑k″=0k″P（k″）〈k〉[1-θk″（t）]?？昭☉B(tài)節(jié)點u不會感染節(jié)點v，因此v的鄰居中一定還存在一個之前感染v的傳播態(tài)節(jié)點或是恢復(fù)態(tài)節(jié)點。由此可以得到nk′：

nk′=1+（k′-2）∑k″=0k″P（k″）〈k〉[1-θk″（t）]（7）

根據(jù)定義，當(dāng)滿足下面三個條件時，ξRk′會在t時刻增加：1）傳播態(tài)節(jié)點v截止t 時刻之前沒有通過兩點之間的邊將謠言傳給節(jié)點u，根據(jù)定義可以知道這個條件的概率就是ξSk′（t）;2）傳播態(tài)節(jié)點v在t 時刻沒有通過兩點之間的邊將謠言傳給節(jié)點u，概率為（1-λ）;3）傳播態(tài)節(jié)點v 在t 時刻以概率1-（1-γ）nk′恢復(fù)為恢復(fù)態(tài)?；谏鲜龇治?，可以得到ξRk′的演化方程：

dξRk′（t）dt=[1-（1-γ）nk′]（1-λ）ξSk′（t） （8）

式（4）～（8）聯(lián)立求解即可得出θk′（∞），當(dāng)t→∞時，傳播過程結(jié)束，此時所有傳播態(tài)節(jié)點均已恢復(fù)為恢復(fù)態(tài)，因此S（∞）=0。通過代入t→∞來得出θk′（∞），進(jìn)而可以得到傳播范圍R（∞）=1-I（∞）。

3?傳播爆發(fā)閾值分析

得到謠言爆發(fā)閾值是研究謠言在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播時另一個重要的目標(biāo)，傳播爆發(fā)閾值可以被看作一個傳播概率上的臨界值，當(dāng)傳播概率小于它時，謠言的最終傳播范圍趨近于0，否則會有一定比例的節(jié)點參與到謠言的傳播中。

3.1?理論閾值

針對理論計算得到的傳播范圍曲線，依據(jù)爆發(fā)閾值點處的特征可以使用導(dǎo)數(shù)法來求得曲線上的傳播爆發(fā)閾值點[15]，即傳播范圍的曲線在爆發(fā)閾值點處存在一階導(dǎo)數(shù)但不存在二階導(dǎo)數(shù)。

定義f1（λ）為傳播范圍函數(shù)R的一階導(dǎo)數(shù)：

f1（λ）=limΔλ → 0R（λ+Δλ）-R（λ-Δλ）2Δλ（9）

在爆發(fā)閾值點處，R（λ）不存在二階導(dǎo)數(shù)，也就是說在該點R（λ）的二階左導(dǎo)數(shù)與二階右導(dǎo)數(shù)不相等。因此定義P（λ）：

P（λ）=

|limΔλ → 0+f1（λ+Δλ）-f1（λ）Δλ-

limΔλ→0-f1（λ）-f1（λ-Δλ）Δλ|（10）

在爆發(fā)閾值處，P（λ）的值會呈現(xiàn)出峰值。

3.2?模擬閾值

可變性是一種用來確定磁性系統(tǒng)中的平衡臨界點的標(biāo)準(zhǔn)方法[16]。Shu等[17]提出可以利用可變性方法來確定SIS傳播模型和SIR傳播模型的模擬閾值，其表達(dá)式為：

Δ=〈ρ2〉-〈ρ〉2〈ρ〉（11）

Δ的值會在爆發(fā)閾值處呈現(xiàn)出峰值。

4?實驗分析

近年來針對真實世界的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)真實網(wǎng)絡(luò)都是稀疏網(wǎng)絡(luò)且度分布呈現(xiàn)出胖尾現(xiàn)象，即度分布服從冪率分布[18-19]，因此，仿真實驗分別在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模設(shè)為N=10-000的ER網(wǎng)絡(luò)（ErdsRényi network）和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行。為了使實驗網(wǎng)絡(luò)更加接近真實的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，根據(jù)相關(guān)研究[18-19]將網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置如下：ER網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉=10、最大度kmax～N，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)為2.5和3.5。模擬的初始傳播態(tài)節(jié)點為5個，相同的模擬在每個網(wǎng)絡(luò)上重復(fù)10-000 次，并通過取平均值得到最后的結(jié)果。

首先，圖2將本文提出的謠言傳播模型和經(jīng)典的SIR模型進(jìn)行了對比，圖中S（t）表示傳播態(tài)節(jié)點（即SIR模型中的感染態(tài)節(jié)點）在網(wǎng)絡(luò)中所占比例，t表示傳播的時間步。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，S（t）在達(dá)到頂點之后會隨著網(wǎng)絡(luò)中接受謠言的節(jié)點數(shù)的增加而快速降低，與SIR模型相比，本文提出的謠言傳播模型傳播周期更短，爆發(fā)速度快但傳播規(guī)模會隨著參與傳播的人數(shù)和有關(guān)信息的累積而快速下降。謠言傳播模型這樣的特性比SIR模型更加符合謠言生命周期理論中網(wǎng)絡(luò)謠言消退期的特點[9-11]。

圖3、4分別研究了謠言在異質(zhì)性較弱的ER網(wǎng)絡(luò)和異質(zhì)性較強(qiáng)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播情況，圖中的線條圖表示傳播理論計算值，形狀圖表示傳播模擬值，理論值與模擬值能夠很好地吻合。

從第1章可知，傳播概率為λ，恢復(fù)概率為1-（1-γ）nk′， 其中基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ是鄰居中傳播態(tài)節(jié)點或恢復(fù)態(tài)節(jié)點只有一個時的恢復(fù)概率。從圖3、4中可以發(fā)現(xiàn)，在傳播概率λ相同的情況下，最終的傳播范圍R（∞）會隨著傳播概率λ的增加而增大;爆發(fā)閾值則會隨著基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增大而減小。

為了求出謠言在網(wǎng)絡(luò)上的傳播閾值，在圖5（a）、圖6（a）和（c）中，通過導(dǎo)數(shù)法求出謠言模型分別在ER網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的理論閾值; 在圖5（b）、圖6（b）和（d）中，通過求可變性的方法得到謠言模型相應(yīng)的模擬閾值。模擬謠言的一次傳播過程中，在傳播概率λ較小時可能會出現(xiàn)在傳播前期大部分傳播態(tài)節(jié)點還未將謠言傳播出去就轉(zhuǎn)為恢復(fù)態(tài)，導(dǎo)致謠言未能擴(kuò)散而提前終止傳播的情況，因此傳播概率較小時多次模擬實驗結(jié)果求平均之后得到的模擬傳播范圍會稍微小于理論值，從而使得模擬爆發(fā)閾值會比理論值大0.01左右。 例如在圖5中基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ為0.5時理論閾值為0.113，而模擬閾值為0.123。

通過上面的分析，可以得知傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ都會影響到最終的傳播范圍R（∞）和爆發(fā)閾值。 圖7（a）和（b）分別展示了在平均度〈k〉為10的ER網(wǎng)絡(luò)上，最終傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ變化的理論結(jié)果和模擬結(jié)果。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增大而增大，且理論值能很好地與模擬值吻合。

在圖7中，謠言在ER網(wǎng)絡(luò)上的傳播平面被分為了兩個區(qū)域：Ⅰ區(qū)域上謠言大規(guī)模爆發(fā)，即系統(tǒng)處于活躍態(tài);Ⅱ區(qū)域上謠言只在很有限的范圍內(nèi)傳播，即系統(tǒng)處于非活躍態(tài)（吸收態(tài)）。 圖中的白線就是在第三章中求出的閾值，可以發(fā)現(xiàn)，隨著基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增加，爆發(fā)閾值λc會隨之減小。

在圖8中研究在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上，不同的度分布指數(shù)α下，最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ對謠言傳播的影響。圖8（a）和（b）分別展示了在度分布指數(shù)α為2.5的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ變化的理論值和模擬值。圖8（c）和（d）分別展示了在度分布指數(shù)α為3.5 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ變化的理論值和模擬值。

從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增大而增大。 同樣的，爆發(fā)閾值將傳播平面分為了兩個區(qū)域：Ⅰ區(qū)域上謠言大規(guī)模爆發(fā)，即系統(tǒng)處于活躍態(tài);Ⅱ區(qū)域上謠言只在很有限的范圍內(nèi)傳播，即系統(tǒng)處于非活躍態(tài)（吸收態(tài)）。 當(dāng)傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ固定，最終的傳播范圍R（∞）和爆發(fā)閾值λc會隨著度分布指數(shù)α增加而變大，這意味著強(qiáng)異質(zhì)性的網(wǎng)絡(luò)會有更小的爆發(fā)閾值。

5?基于邊的免疫策略

以上討論了謠言傳播模型的邊劃分理論分析和實驗?zāi)M驗證，下面將對謠言傳播模型進(jìn)行進(jìn)一步分析，給出控制謠言傳播的免疫策略。

免疫是控制謠言在網(wǎng)絡(luò)中散布的有效方法，而根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的特性使用有效的免疫策略對于控制謠言的散布可以起到更好的作用。為了有效地控制疾病或是輿情的傳播，學(xué)者們已經(jīng)基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提出了一些經(jīng)典的免疫策略，比如隨機(jī)免疫[20]、目標(biāo)免疫和熟人免疫[21]以及基于著色的免疫[22]等策略。這些免疫策略都是針對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點進(jìn)行免疫，這類策略雖然可以得到很好的免疫效果，但是在免疫過程中刪去大度節(jié)點會極大地破壞網(wǎng)絡(luò)的原有結(jié)構(gòu)和連通性。此外，在現(xiàn)實的社交網(wǎng)絡(luò)中，也很難能夠做到將一個用戶完全從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中去除?；谶@種情況，Zhang等[23]提出了針對網(wǎng)絡(luò)中的邊進(jìn)行免疫的策略，通過刪除網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵的連邊可以有效地控制疾病或是輿情在網(wǎng)絡(luò)上的傳播。在上述的研究基礎(chǔ)之上，本文提出了一套基于刪邊的免疫策略來達(dá)到控制謠言傳播的目的。在這里假設(shè)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為N，免疫比例為f，則在初始時，網(wǎng)絡(luò)中有f·N條邊處于免疫狀態(tài)，即謠言不能通過這條邊傳播。

首先，對于網(wǎng)絡(luò)中的度為k1的節(jié)點u和度為k2的節(jié)點v之間的邊，用I（u，k）來表示節(jié)點u和節(jié)點v的度乘積，即k1·k2。接下來提出兩種免疫策略，并將兩者與現(xiàn)有的隨機(jī)免疫策略進(jìn)行對比：策略1，優(yōu)先免疫網(wǎng)絡(luò)中兩端節(jié)點度乘積I（u，k）較大的f·N條邊，謠言將不會通過這些邊傳播;策略2，優(yōu)先免疫網(wǎng)絡(luò)中兩端節(jié)點度乘積I（u，k）較小的f·N條邊，謠言將不會通過這些邊傳播; 隨機(jī)免疫策略：隨機(jī)免疫網(wǎng)絡(luò)中f·N條邊，謠言將不會通過這些邊傳播。

按照上述的生成規(guī)則生成一個節(jié)點個數(shù)N=10-000的網(wǎng)絡(luò)。令網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都處于無知、傳播、免疫這三種狀態(tài)中的一種狀態(tài)，采用第1章描述的謠言傳播模型，在t=0時刻，在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇5個節(jié)點作為傳播種子，然后根據(jù)不同免疫策略，選擇f·N條邊作為被免疫的邊（謠言不能通過該邊傳播），剩下的全為無知態(tài)節(jié)點。t=1時刻，謠言開始傳播，令R（∞）表示謠言最終的傳播范圍。 實驗分別在平均度為10的ER網(wǎng)絡(luò)、度分布指數(shù)為2.5和3.5的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行，實驗結(jié)果是在這些網(wǎng)絡(luò)上模擬10-000次后取平均值得到的。 謠言傳播模型的參數(shù)γ設(shè)置為0.5。

為了對三種免疫策略的效果進(jìn)行進(jìn)一步的定量分析，還定義了參數(shù)R0（k），R0（k）表示所有度為k的感染態(tài)節(jié)點u在轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)態(tài)之前感染的鄰居節(jié)點個數(shù)的平均值，可以反映出不同度的節(jié)點對于謠言傳播的貢獻(xiàn)。圖9（d）表示了在仿真結(jié)果上三種免疫策略對于R0（k）的影響，可以發(fā)現(xiàn)：策略1可以有效限制謠言在大度節(jié)點之間的傳播;類似的，策略2可以有效限制謠言在小度節(jié)點之間的傳播。

圖9（a）、（b）和（c）分別研究了在不同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)上，不同的免疫策略對謠言傳播行為的影響。通過觀察這三個圖可以發(fā)現(xiàn)，與現(xiàn)有的隨機(jī)免疫策略相比，當(dāng)有效傳播概率λ/γ較小時，優(yōu)先免疫I（u，k）較大的邊的策略1對比隨機(jī)免疫策略可以更加有效地降低最終傳播范圍R（∞）。而隨著有效傳播概率λ/γ的增長，采用優(yōu)先免疫I（u，k）較小的邊的策略2對比隨機(jī)免疫策略會有更好的效果，這個結(jié)果表明策略1和策略2在各自的有效區(qū)間上的免疫效果均超過了經(jīng)典免疫策略。接下來針對策略1和策略2在免疫效果上出現(xiàn)的交叉現(xiàn)象進(jìn)行進(jìn)一步的分析。首先定義參數(shù)T0（k），T0（k）表示網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點參與到謠言傳播中的平均時間步長度，這個參數(shù)可以一定程度上反映出不同度節(jié)點識破謠言所需的平均時長，分別在有效傳播概率λ/γ為0.2和0.8時統(tǒng)計T0（k）隨k的變化情況。

圖9（e）表示了當(dāng)基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ固定為0.5且有效傳播概率λ/γ為0.2時T0（k）隨k的變化情況， 此時有效傳播概率λ/γ較小，謠言在網(wǎng)絡(luò)上的傳播相對較慢。在這種情況下，策略1有效減少了謠言在大度節(jié)點之間的傳播，避免了謠言通過大度節(jié)點擴(kuò)大傳播范圍，使得謠言的在一個有限的范圍內(nèi)傳播。而策略2減少的是謠言在小度節(jié)點之間的傳播，但謠言依然可以通過大度節(jié)點擴(kuò)散，使得最終的傳播范圍大于策略1的結(jié)果。

圖9（f）表示了當(dāng)基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ固定為0.5且有效傳播概率λ/γ為0.8時T0（k）隨k的變化情況，此時有效傳播概率λ/γ較大，謠言更容易被節(jié)點接受，在網(wǎng)絡(luò)上的傳播也更加迅速。在這種情況下，策略1雖然免疫了大度節(jié)點之間的關(guān)鍵路徑，但由于謠言依然可以通過其他小度節(jié)點將謠言傳遞到大度節(jié)點處，因此策略1在此時效果不佳。此外，由于沒有對小度節(jié)點之間的傳播進(jìn)行限制，謠言會快速傳播到了一些與外部連接較少的小度節(jié)點處，并且這類傳播態(tài)節(jié)點會因為參與謠言傳播的鄰居節(jié)點個數(shù)較少，收到有關(guān)謠言的信息有限從而需要更多的時間步來轉(zhuǎn)變成恢復(fù)態(tài)。策略2有效減少了謠言在小度節(jié)點之間的傳播，而大度節(jié)點附近的節(jié)點雖然會接收到謠言但也會因為有較多參與到謠言傳播中的鄰居節(jié)點而能夠較快地轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)態(tài)，因此在策略2下傳播態(tài)節(jié)點恢復(fù)所需的平均時間步要小于策略1時的情況。節(jié)點保持傳播態(tài)的時間步越短能夠傳播的謠言數(shù)量越少，因而在當(dāng)有效傳播概率λ/γ較大時策略2有更好的免疫效果。

6?結(jié)語

本文基于謠言傳播的相關(guān)研究，根據(jù)社交網(wǎng)絡(luò)中謠言在消退期的特點對傳播動力學(xué)中的SIR傳播模型進(jìn)行改進(jìn)，并拓展了一套異質(zhì)邊劃分方法用于得到傳播范圍和爆發(fā)閾值這兩個傳播動力學(xué)中的重要指標(biāo)。之后對模型進(jìn)行了理論分析和模擬仿真，說明了謠言消退期的特征對謠言在社交網(wǎng)絡(luò)上傳播的影響。在此基礎(chǔ)上提出了有效的謠言控制策略，并探討了有效傳播概率對不同策略免疫效果的影響。此外，社會傳播的加強(qiáng)效應(yīng)以及更真實復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對謠言傳播帶來的影響仍待進(jìn)一步探究，未來擬對該方向進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

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