王 明 軍

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 陜西 渭南 714000)

1 主要結(jié)論

在文[5]中，作者定義了正整數(shù)的下部r角形數(shù)部分?jǐn)?shù)列和上部r角形數(shù)部分?jǐn)?shù)列,得到了兩個精確的計算公式.

定理1對于任意實(shí)數(shù)x>1,a(n)表示正整數(shù)n的多角形數(shù)的余數(shù)，則有漸近公式

定理2對于任意實(shí)數(shù)x>1,σ(n)表示正整數(shù)n的約數(shù)之和，則有漸近公式

2 引 理

為了完成定理的證明,需要下面的引理.

引理1[7]對于任意的實(shí)數(shù)x≥1,有漸近公式

或者

引理3[7]對所有的x≥1,有

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

對于任意給定的正數(shù)x>1,設(shè)M是滿足

的正整數(shù)，由a(n)的定義及引理1有：

=lnM！+(ln(r-2)+C)M+O(lnM)

=MlnM+(ln(r-2)+C-1)M+O(lnM)

3.2 定理2的證明

對于任意給定的正數(shù)x>1,設(shè)M是滿足

的正整數(shù),由a(n)的定義及引理3有：

…+σ((r-2)t))+(σ(0)+σ(1)+…+

σ(M(r-2)))