江蘇省高郵市南海中學(xué) 劉興安

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想.模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義.通過這一過程，學(xué)生能形成模型觀念，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識.初中階段常見的數(shù)學(xué)模型包括方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、直角三角形模型、幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等.如何在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中建立數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題呢？請看下面幾個(gè)實(shí)例.

一、建立方程模型解答應(yīng)用題

在實(shí)際生產(chǎn)、生活中存在大量的數(shù)量關(guān)系，其中包括相等關(guān)系，方程模型是反映這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.建立方程模型就是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和語言將實(shí)際問題中的等量關(guān)系抽象為方程，通過解方程得到方程的解，再檢驗(yàn)是否符合題意，從而解決問題，它能夠使我們從數(shù)量關(guān)系方面描述和把握現(xiàn)實(shí)世界.

例1揚(yáng)州市金發(fā)公司派出65名人員生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)2件A產(chǎn)品需要一個(gè)人一天，生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要一個(gè)人一天，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，一件A產(chǎn)品能獲得15元的利潤，一件B產(chǎn)品能獲得120元的利潤，但是在實(shí)際工作中，需要開支一定數(shù)額的其他費(fèi)用，但僅限于B產(chǎn)品，每多生產(chǎn)1件B產(chǎn)品，每件產(chǎn)品需多開支2元，設(shè)派出x名人員去做B產(chǎn)品.

（1）根據(jù)信息填表1：

表1

（2）若每天生產(chǎn)B產(chǎn)品可獲得的利潤比A產(chǎn)品少650元，試問：該金發(fā)公司每天生產(chǎn)A、B產(chǎn)品可獲得的總利潤是多少？

解析：（1）設(shè)每天安排x人生產(chǎn)B產(chǎn)品，則每天安排（65-x）人生產(chǎn)A產(chǎn)品，每天可生產(chǎn)x件B產(chǎn)品，每件的利潤為（120-2x）元，每天可生產(chǎn)2（65-x）件A產(chǎn)品.故答案為：2（65-x），120-2x.

（2）依題意得15×2（65-x）-（120-2x）x=650.

整理得：x2-75x+650=0.

解得x1=10，x2=65（不合題意，舍去）.

15×2（65-x）+（120-2x）x=2650.

答：該企業(yè)每天生產(chǎn)A、B產(chǎn)品可獲得的總利潤是2650元.

評注：本題建立了一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解決了銷售利潤問題，題中未知數(shù)的兩個(gè)值都是原方程的解，但有一個(gè)不符合題意，必須舍去，這就是方程的解與實(shí)際問題的解之間的差異.

二、建立不等式模型解答應(yīng)用題

與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界中也存在大量的不等關(guān)系，如大于、小于、不等于、不超過、不低于、不多于、不少于、至少、至多等表示的都是不等關(guān)系，這時(shí)需要建立不等式或不等式組去解答問題，它在范圍估計(jì)、方案設(shè)計(jì)、投資決策等方面都有重要作用.

例2南陽市市政公司決定購買A、B兩種型號的環(huán)保車共40輛，對城區(qū)所有公路地面進(jìn)行清掃.每周處理垃圾100噸需要1輛A型環(huán)保車和2輛B型環(huán)保車，每周處理110噸垃圾需要2輛A型環(huán)保車和1輛B型環(huán)保車.

（1）A型環(huán)保車每周可清理多少垃圾？B型環(huán)保車每周可以清理多少垃圾？

（2）市政公司準(zhǔn)備撥款910萬元購買環(huán)保車，每周清理垃圾最少為1400噸.

已知A型環(huán)保車每輛價(jià)格為25萬元，B型環(huán)保車每輛價(jià)格為20萬元，請?jiān)O(shè)計(jì)符合題意的購買方案，并求花費(fèi)最少的購買方案.

解析：（1）設(shè)A、B兩種型號的環(huán)保車每輛每周分別可以處理垃圾a噸、b噸.

答：A型環(huán)保車每周清理垃圾40噸，B型環(huán)保車每周清理垃圾30噸.

（2）設(shè)購買A型環(huán)保車m輛，B型環(huán)保車（40-m）輛，所需資金為y元.

由于m為整數(shù)，所以m可取20、21、22，共有三種購買方案.

表2

y=25m+20（40-m）=5m+800，則當(dāng)m=20時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=900.

答：方案一所需資金最少，900萬元是所需的最少資金.

評注：本題通過建立不等式組進(jìn)行了一次方案設(shè)計(jì)，是不等式模型的典型應(yīng)用，它常與方程組模型結(jié)合在一起考查，兩個(gè)模型相互關(guān)聯(lián)，一起為解決現(xiàn)實(shí)問題服務(wù).題中所列不等式組的解集包含了無數(shù)個(gè)解，但對于實(shí)際問題來說，它只有三個(gè)解，所以一元一次不等式組的應(yīng)用題就是求不等式組的非負(fù)整數(shù)解.

三、建立函數(shù)模型解答應(yīng)用題

在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在一種量隨另一種量變化而變化的現(xiàn)象，如一天氣溫隨時(shí)間變化而變化，銷售量隨單價(jià)變化而變化，圖形面積隨邊長變化而變化等，像這樣的關(guān)系都是數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系，遇此情況可以建立函數(shù)模型予以解答.初中階段學(xué)習(xí)過的函數(shù)模型包括：一次函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)函數(shù)等，應(yīng)用其增減性解決問題較為常見.

例3如圖，在南海中學(xué)有一塊閑置的地，閑地的邊上有一段長為a米的舊墻MN，校團(tuán)委準(zhǔn)備利用舊墻和100米長的籬笆圍成一個(gè)長方形花園ABCD.

（1）如圖1，已知長方形花園的一邊利用舊墻，且AD≤MN，設(shè)定AD=x米.

圖1

①若a=20，所圍成的長方形花園的面積為450平方米，求長方形花園的一邊AD的長；

②求長方形花園ABCD面積的最大值；

（2）如圖2，若a=20，充分利用舊墻和籬笆的長度，圍成一個(gè)面積最大的長方形，此時(shí)，長方形ABCD面積的最大值是______平方米.

圖2

解 析：（1）

由于90＞20，所以應(yīng)舍去.

答：AD的長為10米.

②設(shè)AD=xm.

當(dāng)a≥50時(shí)，可得：當(dāng)x=50時(shí)，S取得最大值，為1250.

當(dāng)0＜a＜50時(shí)，可得：當(dāng)0＜x≤a時(shí)，S隨x的增大而增大，則當(dāng)x=a時(shí)，S取得最大值，為

綜上所述，當(dāng)a≥50時(shí)，S的最大值為1250m2；當(dāng)0＜a＜50時(shí)，S的最大值為

（2）設(shè)長方形ABCD的面積為W，AD=x，則AB=60-x.

W=x（60-x）=-（x-30）2+900（20＜x＜60）.

當(dāng)x=30時(shí)，長方形花園ABCD的面積取得最大值，為900m2.

評注：本題建立了二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決了矩形花園的最值問題，主要利用了二次函數(shù)最值性質(zhì)和增減性，在確定最值時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍，使函數(shù)的解析式和實(shí)際問題都有意義.

四、建立直角三角形模型解答應(yīng)用題

在初中階段，關(guān)于直角三角形，我們學(xué)過的性質(zhì)比較多，如勾股定理、兩銳角互余、銳角三角函數(shù)、斜邊中線的性質(zhì)、30度角的性質(zhì)等，遇到圖形問題，若能通過分割或增補(bǔ)變成直角三角形，則問題比較容易解決，

例4良好的坐姿有利于青少年骨骼生長，有利于身體健康.理想狀態(tài)下，正確的寫字坐姿，上身保持正直，頭正脖子直，身體兩側(cè)兩手自然放平，兩腿與肩同寬，挺起胸膛，如圖3所示，將圖3中的眼睛記為點(diǎn)A，腹記為點(diǎn)B，筆尖記為點(diǎn)D，且BD與桌沿的交點(diǎn)記為點(diǎn)C.

圖3

（1）若∠ADB=53°，∠B=60°，求點(diǎn)A到BD的距離及C、D兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到1cm）.

（2）老師發(fā)現(xiàn)小紅同學(xué)的寫字姿勢不正確，眼睛傾斜至圖4的點(diǎn)E，點(diǎn)E正好在CD的垂直平分線上，且∠BDE=60°，于是要求其糾正為正確的姿勢，求眼睛所在的位置應(yīng)上升的距離.（結(jié)果精確到1cm）

圖4

圖5

參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，

解析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H.

則∠AHD=∠AHB=90°.

由AD=30，∠ADB=53°，得AH=AD·sin53°≈30×0.80=24，DH=AD·cos53°≈30×0.60=18.

BD=BH+DH=32.

BC=12，則CD=32-12=20.

答：點(diǎn)A到BD的距離約為24cm，C、D兩點(diǎn)間的距離為20cm.

（2）過點(diǎn)E作EG⊥CD，過點(diǎn)A作AF⊥EG交GE的延長線于點(diǎn)F.

則四邊形AFGH是矩形，則FG=AH=24.又點(diǎn)E正好在CD的垂直平分線上，則又∠EDC=60°，則，則EF=FG-EG≈7（cm）.

答：眼睛所在的位置應(yīng)上升的距離為7cm.

評注：本題首先將銳角三角形分割成兩個(gè)直角三角形，然后將一個(gè)四邊形分割、增補(bǔ)成直角三角形和矩形，這樣就建立起直角三角形模型，然后利用直角三角形的性質(zhì)解答.

從以上典例中，可以總結(jié)出數(shù)學(xué)建模的一般步驟：（1）模型準(zhǔn)備，了解問題背景，掌握各種信息，用數(shù)學(xué)語言描述問題；（2）模型假設(shè)，利用數(shù)學(xué)工具刻畫變量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；（3）模型求解，利用已知條件，對模型進(jìn)行計(jì)算；（4）模型分析；（5）模型檢驗(yàn)，將模型結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行對比，并修改假設(shè)；（6）模型應(yīng)用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，形成良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力.