丁延齡

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）48-0246-02

乘法公式以其廣泛的實(shí)用性和在應(yīng)用過程中的多樣性，成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，又因其變化的靈活性和技巧性而成為學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。在整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，從整式乘法到因式分解，從數(shù)或式的化簡(jiǎn)與求值，到二次方程的解法，以及二次函數(shù)的圖象與平面圖形特征的定量討論，特殊不等式的解法等諸多方面都涉及到乘法公式的應(yīng)用。同時(shí)，我們還應(yīng)注意到，許多問題并不能直接套用公式，還需要添項(xiàng)、拆項(xiàng)、“加減零”、“乘以一”等手段進(jìn)行變形，因而又極富趣味性和挑戰(zhàn)性。這就是我們要討論的乘法公式的“活學(xué)”與“巧用”。

一、在化簡(jiǎn)或求值問題中的應(yīng)用

例1.求值：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

分析：原式中各因式雖有一定的規(guī)律，但又沒有現(xiàn)成的公式可用?？紤]到平方差公式，只需給原式“乘以一”，即（2-1），雖然不改變?cè)降拇笮?，但與原式中的首項(xiàng)構(gòu)成平方差公式，然后，自左向右滾動(dòng)相乘，便可水到渠成，好戲連臺(tái)。于是有如下的解法：

解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（22n-1）（22n+1）=（24n-1）

例2.化簡(jiǎn)：

二、在二次方程及函數(shù)問題中的應(yīng)用

例3.已知方程（3a2+4ab+4b2+2）x2+2（a+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，試求字母a，b的值。

分析：由方程根的情況可知，其判別式△≥0，從而可以得到一個(gè)關(guān)于字母a和b的不等式。但又因?yàn)楹袃蓚€(gè)字母，常規(guī)解法顯然難以奏效，需通過因式分解轉(zhuǎn)化為特殊不等式進(jìn)而討論求解，于是有下面的解法：

解：因?yàn)樵匠逃袑?shí)數(shù)根，∴△≥0，即[2（a+1）]2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0化簡(jiǎn)整理得：2a2-2a+4ab+4b2+1≤0

拆項(xiàng)后重新組合得：（a2-2a+1）+a2+4ab+（2b）2≤0，即：（a-1）2+（a+2b）2≤0，由偶次冪的非負(fù)性可知：（a-1）2≥0，（a+2b）2≥0

所以a-1=0，a+2b=0，于是：a=1，b=-

例4.已知二次函數(shù)的解析式為y=（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）（其中a，b，c為實(shí)數(shù)，且b≠c），求證：該函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點(diǎn)。

分析：欲證二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，只需證明，當(dāng)y=0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程一定有實(shí)數(shù)解，欲證二次方程一定有解，需證其判別式為非負(fù)數(shù)，常用的手段是設(shè)法通過配方或因式分解來轉(zhuǎn)化討論。

證明：令y=0，則（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0，

所以△（c-a）2-4（b-c）（a-b）=c2-2ac+a2-4（ab-b2-ac+bc）

=（a+c）2-4b（a+c）+（2b）2=（a+c-ab）2≥0

所以方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0一定有實(shí)數(shù)解，

即二次函數(shù)y=（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）的圖象與x軸一定有公共點(diǎn)。

三、在平面圖形中的應(yīng)用

例5.已知a、b、c為三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2≤ab+bc+ac，試確定該三角形的形狀。

分析：由三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷其形狀，需將已知的關(guān)系式通過變形、轉(zhuǎn)化，進(jìn)而揭示其內(nèi)在的聯(lián)系和本質(zhì)特征，從而探求其三邊之間的相等或不等關(guān)系，以確定該三角形的形狀。

解：給原不等式的兩邊同乘以2，得2a2+2b2+2c2≤2ab+2bc+2ac，拆項(xiàng)并整理得：（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）≤0

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0

由偶次冪的非負(fù)性可知：（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0

所以a-b=0，b-c=0，c-a=0即a=b=c，故該三角形為等邊三角形。

綜上可知，乘法公式在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中具有極為廣泛的應(yīng)用，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)課程的始終，因此，在熟練掌握乘法公式的基礎(chǔ)上，應(yīng)逐步培養(yǎng)“活學(xué)”與“巧用”的技能。實(shí)踐表明，乘法公式的“活學(xué)”與“巧用”對(duì)于啟迪思維、拓寬視野大有裨益，是提高學(xué)習(xí)效率、增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果、加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系、優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑。