(南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院 江西南昌 330063)

齒輪機構(gòu)廣泛用于航空航天與機械工程等領(lǐng)域。作為機械裝備傳動系統(tǒng)，齒輪傳動機構(gòu)的性能直接關(guān)系到眾多機械裝備的動力傳動性能及其穩(wěn)定運轉(zhuǎn)。因此，齒輪傳動系統(tǒng)的可靠性直接影響機械裝備的性能。

裂紋是引發(fā)齒輪輪齒折斷的主要原因之一[1]。EWING和HUMFREY可能是最早研究齒輪機構(gòu)裂紋擴展問題的學(xué)者，他們研究了材料組織演變與裂紋擴展的關(guān)系，進而探討了裂紋變化對齒輪性能的作用[2]。早期研究齒輪機構(gòu)輪齒裂紋擴展問題的方法集中在理論分析和試驗研究方面。比如GLODEZ等[3]通過實驗手段探索了輪齒的疲勞斷裂和裂紋擴展特性。許德濤等[4]研制了基于擴展有限元方法的齒輪裂紋擴展計算程序，提出了以裂紋擴展路徑與齒輪中心距作為輪齒/輪緣斷裂的評判指標。 劉鑫博等[5]以漸開線圓柱齒輪為研究對象，將齒輪嚙合過程的動態(tài)過程近似為多個靜態(tài)嚙合位置，得到不同位置的應(yīng)力強度因子;采用最大周向應(yīng)力準則確定裂紋的擴展角度，得到整個計算周期的應(yīng)力強度因子、疲勞裂紋擴展路徑及疲勞壽命，討論了初始裂紋的大小、位置和加載變化對疲勞裂紋擴展壽命的影響。許德濤等[6]基于ABAQUS平臺，探究了齒根萌生裂紋大小、角度和位置對疲勞裂紋擴展行為的影響機制，研究發(fā)現(xiàn)齒根裂紋均為先朝深入輪緣的方向擴展，后朝齒根位置方向擴展?；谟邢拊椒ǎ瑢O智甲和李有堂[7]仿真了輪齒齒根裂紋擴展規(guī)律，研究了裂紋擴展傾角對輪齒中疲勞裂紋擴展路徑及其輪齒裂紋擴展壽命的影響。趙國平等[8]以斜齒輪為研究對象，綜合考慮混合潤滑狀態(tài)下摩擦動力學(xué)特性對齒面應(yīng)力分布的影響以及滲碳表層硬度梯度和殘余應(yīng)力的非均勻分布特征，完成了齒輪接觸區(qū)裂紋萌生及擴展過程全壽命的預(yù)估。針對高速列車齒輪的齒根裂紋擴展特性，李剛等人[9]基于ABAQUS軟件建立了齒輪副模型，并通過靜力學(xué)確定裂紋萌生位置，分析了裂紋尖端不同位置的應(yīng)力強度因子大小，討論了齒根裂紋擴展演變行為及路徑，探究了載荷等因素對裂紋擴展壽命及軌跡的影響規(guī)律。肖俊峰和李建蘭[10]建立了隨機風(fēng)速下風(fēng)力機傳動鏈齒輪齒根疲勞裂紋擴展剩余壽命計算模型，計算了不同風(fēng)速下的齒根彎曲應(yīng)力，分析了隨機載荷下裂紋擴展速率。運用有限元手段，李潤方等[11]分析了齒輪副輪齒裂紋位置的應(yīng)力，構(gòu)建了分析輪齒裂紋問題的有限元基礎(chǔ)；LIU等[12]研究了接觸壓力對齒輪副裂紋擴展行為的影響程度；WU等[13]開發(fā)了漸開線齒輪機構(gòu)動力學(xué)有限元模型，預(yù)測齒輪副輪齒裂紋擴展路徑。在計算裂尖應(yīng)力強度因子值的基礎(chǔ)上，CAI等[14]探討了裂紋深度大小、載荷大小以及齒輪幾何參數(shù)等對輪齒裂紋擴展規(guī)律的作用機制。

綜上，現(xiàn)有的研究大多數(shù)是從計算裂紋尖端應(yīng)力強度因子值或從分析裂紋擴展軌跡等問題出發(fā)，探究齒輪幾何參數(shù)及裂紋形態(tài)對疲勞裂紋擴展的影響，且研究視角是各類因素對齒根裂紋擴展指標規(guī)律的判斷，對各指標的實際運用較少。齒輪運轉(zhuǎn)實際中，齒根位置是彎曲應(yīng)力最大、裂紋萌生的主要位置之一。與此同時，分度圓位置附近的接觸應(yīng)力最大，也是裂紋萌生的重要位置。因此，循環(huán)載荷作用下，齒輪副的分度圓和齒根圓部位都可能是疲勞裂紋萌生位置，但是裂紋擴展速率不一樣。而針對這一種情況，很少有研究者考慮。本文作者以含雙裂紋齒輪副為對象，研究相鄰輪齒同時含分度圓裂紋或齒根裂紋齒輪副的裂紋擴展規(guī)律，探索分度圓裂紋和齒根裂紋擴展壽命的關(guān)系，為齒輪副的抗振動疲勞設(shè)計提供理論支撐。

1 裂紋擴展理論

如圖1所示的齒輪嚙合模型，齒輪嚙合過程中，只有當(dāng)含裂紋的輪齒參與嚙合時，裂紋才可能擴展，并對齒輪副的動力學(xué)行為產(chǎn)生作用。

圖1 齒輪副嚙合模型Fig 1 Meshing model of gear pair

針對單個嚙合周期內(nèi)疲勞裂紋對齒輪動力特性的影響，研究了分度圓裂紋及齒根裂紋疲勞擴展壽命。同一嚙合周期內(nèi)，如果相鄰兩齒均出現(xiàn)裂紋，齒輪副的動力學(xué)特性變得更加復(fù)雜。假設(shè)裂紋均發(fā)生在主動輪的輪齒上，圖2提出了3種可能的相鄰輪齒含裂紋的齒輪副模型。3種模型中，aA和aB分別表示齒根裂紋深度和分度圓裂紋深度，αA和αB分別表示齒根裂紋傾角和分度圓裂紋傾角。

在中低應(yīng)力、平均應(yīng)力很小且裂紋徑直擴展的情況下，Paris方程可近似地描述輪齒裂紋深度、循環(huán)加載次數(shù)與裂紋尖端應(yīng)力強度因子的關(guān)系。假設(shè)輪齒裂紋擴展細分為m個階段，NA和NB分別表示齒根裂紋擴展與分度圓裂紋擴展至確定裂紋長度時所需的加載次數(shù)，ΔKA和ΔKB表示第i裂紋擴展階段對應(yīng)的應(yīng)力強度因子，得到輪齒裂紋擴展的近似計算公式

(1)

式中：C和n代表齒輪材料裂紋擴展常數(shù)。

圖2 含雙裂紋齒輪副模型Fig 2 Models of gear pair with double cracks (a) a gear pair with a root crack in neighbour tooth;(b) a gear pair with a root crack and a reference crack in neighbour tooth;(c) a gear pair with a reference crack in neighbour tooth

2 含雙裂紋齒輪副有限元模型

考慮圖1所示的齒輪機構(gòu)，假定齒輪為漸開線直齒圓柱齒輪，基本參數(shù)見表1，主從齒輪材料相同，彈性模量E=206 MPa、泊松比ν=0.3。不考慮疲勞裂紋的幾何初始角對裂紋擴展壽命的影響，假定疲勞裂紋傾角αB=90°、αA=60°。

因為一對標準直齒圓柱齒輪的重合度通常為1～2，即齒輪嚙合過程中最多有兩對輪齒同時參與嚙合。不失一般性，建立圖3所示的只含3齒的齒輪副有限元模型以提高計算效率。

圖3 齒輪副有限元網(wǎng)格模型Fig 3 Finite element modelof gear pair (a) mesh model of gear pair;(b) local magnify diagram of mesh model

因為裂紋對齒輪嚙合有影響，劃分齒輪嚙合模型網(wǎng)格時，選取八節(jié)點C3D8I六面體單元考慮到輪齒間的非線性接觸，同時細分輪齒接觸部分及裂紋區(qū)網(wǎng)格。以兩齒輪的幾何中心為約束控制點，將控制點與兩齒輪內(nèi)徑表面進行耦合，效果如圖4所示。在約束控制點上施加力矩，并設(shè)置邊界條件便可仿真齒輪嚙合時的力學(xué)情況。因為齒輪嚙合過程中，配對輪齒間為非線性接觸，齒輪副表面定義為面-面接觸。

圖4 齒輪副耦合約束Fig 4 Coupling constraint of gear pair

3 裂紋尖端應(yīng)力強度因子

3.1 最大主應(yīng)力

圖5示出了控制點加載1×105N·mm力矩，裂紋深度aB=1 mm、aA=1 mm時不同嚙合情況下裂尖的彎曲應(yīng)力與剪切應(yīng)力變化規(guī)律。

圖5中σ1與σa為彎曲應(yīng)力，σ2和σ3、σb和σc為兩方向的剪切應(yīng)力。結(jié)果表明，彎曲應(yīng)力與剪切應(yīng)力均隨著嚙合發(fā)生變化；齒輪副處于單齒嚙合時，應(yīng)力明顯增大；齒根裂紋與分度圓裂紋的彎曲應(yīng)力明顯大于剪切應(yīng)力。從應(yīng)力分析來看，分度圓裂紋和齒根裂紋均以I型裂紋為主。

圖5 裂紋尖端應(yīng)力分量Fig 5 Stress components near crack tip (a) stress components near root crack tip;(b) stress components near reference crack tip

圖6示出了嚙合周期內(nèi)裂紋深度對輪齒裂紋尖端應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，齒根裂紋與分度圓裂紋尖端的應(yīng)力最大值均出現(xiàn)在齒輪從單齒嚙合進入雙齒嚙合時刻。輪齒嚙合過程中，非嚙合期間裂紋尖端應(yīng)力為最小值σmin=0。因此，輪齒裂紋位置的應(yīng)力特性為脈動循環(huán)特性，即r=0。最大應(yīng)力強度因子Kmax出現(xiàn)在最大應(yīng)力時刻。因此，一個周期內(nèi)應(yīng)力強度因子的振幅ΔK等于最大應(yīng)力強度因子。

圖6 深度對裂紋尖端主應(yīng)力的影響Fig 6 Effects of crack depths on stress at crack tip (a) principal stress near root crack tip;(b) principal stress near reference crack tip

3.2 應(yīng)力強度因子

基于最大主應(yīng)力分析，通過J積分可計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子最大值。為了獲得精確的計算結(jié)果，對裂紋尖端的網(wǎng)格進行細分，分度圓裂紋及齒根裂紋尖端附近的網(wǎng)格如圖7所示。之后，計算裂紋尖端的第二環(huán)節(jié)點的應(yīng)力強度因子。

圖7 裂紋區(qū)域網(wǎng)格模型Fig 7 Mesh models near crack zone (a) mesh model of root crack zone;(b) mesh model of reference crack zone

因為I型裂紋是齒輪裂紋擴展中的主要擴展形式，下面著重研究I型裂紋的應(yīng)力強度因子及其影響因素。建立分度圓裂紋及齒根裂紋，裂紋深度aB=0.25 mm、aA=0.25 mm。對接觸面施加初始力矩4.8×104N·mm，力矩增量為1.2×104N·mm。

圖8示出了不同加載下應(yīng)力強度因子(SIF)隨裂紋擴展的變化規(guī)律。結(jié)果表明，相同裂紋深度時，齒根裂紋尖端SIF值與分度圓裂紋尖端SIF值均隨外載荷的增大而增大。齒根裂紋與分度圓裂紋尖端SIF值與載荷近似線性關(guān)系;載荷一定情況下，齒根裂紋尖端SIF值與分度圓裂紋尖端SIF值均隨著裂紋擴展而增大，增長速率逐步減小;同一載荷同一裂紋深度下，齒根裂紋尖端SIF值大于分度圓裂紋尖端SIF值;隨著裂紋擴展，齒根裂紋尖端SIF值與分度圓裂紋尖端SIF值的比值逐漸縮小。

圖8 載荷對裂紋應(yīng)強度因子的影響Fig 8 Effects of loading on SIF near crack tip (a) effects of loading on SIF of root crack;(b) effects of loading on SIF of reference crack

4 輪齒裂紋擴展壽命

結(jié)合Paris方程和裂紋尖端應(yīng)力強度因子可估算裂紋擴展壽命。假設(shè)分度圓裂紋和齒根裂紋的初始深度均為0.25 mm。輪齒材料的裂紋擴展常數(shù)C=4.77×10-9、n=2.06。

圖9所示的裂紋擴展壽命計算結(jié)果表明，在相同載荷下，分度圓裂紋的擴展壽命大于齒根裂紋的擴展壽命，增大載荷會減小齒根裂紋與分度圓裂紋疲勞擴展壽命的差距。圖10所示的裂紋擴展深度比計算結(jié)果顯示，隨著裂紋擴展，裂紋大小比值呈下降趨勢，從35降至16。分析表明，齒根裂紋和分度圓裂紋深度的比值非定值，而且齒根裂紋的擴展速率明顯大于分度圓裂紋的擴展速率。但是，兩者差距隨著疲勞裂紋擴展的推進不斷縮小。對于相鄰齒同時含齒根裂紋或同時含分度圓裂紋的齒輪，因為齒根裂紋和分度圓裂紋擴展特性相同，且獨立于不同輪齒上，初始尺度相等時，其裂紋深度比為1。

圖9 裂紋擴展壽命曲線Fig 9 Crack growth life curves (a) crack growth life curve of root crack;(b) crack growth life curve of reference crack

圖10 裂紋擴展深度比Fig 10 Crack growth depth ratio

5 結(jié)論

(1)輪齒裂紋尖端的彎曲應(yīng)力與剪切應(yīng)力均隨嚙合發(fā)生變化，單齒嚙合時的應(yīng)力大于雙齒嚙合時的應(yīng)力，而且裂紋尖端的彎曲應(yīng)力大于剪切應(yīng)力，最大應(yīng)力值出現(xiàn)在單齒嚙合進入雙齒嚙合位置。

(2)相同加載與同一裂紋深度時，齒根裂紋尖端的應(yīng)力強度因子大于分度圓裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，應(yīng)力強度因子均隨裂紋擴展而增大，但是齒根裂紋尖端應(yīng)力強度因子值與分度圓裂紋尖端應(yīng)力強度因子值之比不斷縮小。

(3)同一加載時，同一齒輪上的分度圓裂紋擴展壽命大于齒根裂紋擴展壽命，隨著裂紋擴展的推進，齒根裂紋的深度與分度圓裂紋的深度之比值不斷增大，而且深度比與載荷無關(guān)。