朱德剛 洪 建 張 潔

（安徽醫(yī)科大學(xué)第一附屬醫(yī)院 合肥 230022）

1 引言

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［1～2］是由 Kennedy和 Eberhart對動物的捕食行為觀察而得出。該算法流程簡單、具備一定的生物背景等優(yōu)點，一經(jīng)提出就得到無線傳感器［3］、函數(shù)優(yōu)化［4］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5～6］等眾多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

PSO算法相比較其他的智能優(yōu)化算法具有很多優(yōu)點，但隨著眾多學(xué)者的不斷研究，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化算法在收斂速度和陷入局部最優(yōu)方面存在缺陷。大量學(xué)者針對粒子群算法這個缺點，進(jìn)行了大量的算法改進(jìn)，不斷地提高算法的收斂速度和精度。Liang等通過改變傳統(tǒng)PSO算法的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，采用動態(tài)的鄰域拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提出了綜合學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法［7］；林國漢等根據(jù)種群的多樣性，動態(tài)分配種群中粒子任務(wù)，將種群進(jìn)化分為多個狀態(tài)，采用不同的模型來平衡算法的全局和局部搜索能力，提出了自適應(yīng)任務(wù)分配的粒子群優(yōu)化算法［8］。Zhan等通過對種群的進(jìn)化的過程進(jìn)行研究，將其劃分為四個進(jìn)化狀態(tài)，算法的相關(guān)參數(shù)可以自適應(yīng)的根據(jù)當(dāng)前算法狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整，提出了自適應(yīng)子空間高斯學(xué)習(xí)的粒子群優(yōu)化算法［9］。文獻(xiàn)［10］提出了協(xié)同粒子群優(yōu)化算法，算法將PSO算法劃分成多個子群，每個子群對解向量各個部分進(jìn)行優(yōu)化，引入?yún)f(xié)同進(jìn)化思想，各個子群協(xié)同進(jìn)化。朱德剛等通過對粒子當(dāng)前的歷史最優(yōu)位置增加高斯擾動項，提出一種基于高斯擾動的粒子群優(yōu)化算法［11］。孫輝等通過構(gòu)造一種新的子群信息共享模式，并對粒子進(jìn)行子空間學(xué)習(xí)，提出一種多種群子空間學(xué)習(xí)的粒子群優(yōu)化算法［12］。

如何采用有效的策略解決標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法的缺陷，成為了眾多學(xué)者研究的重要方向之一。本文提出以一種基于反向?qū)W習(xí)和高斯擾動的粒子群優(yōu)化算法（OGPSO）。算法在傳統(tǒng)的PSO“自我認(rèn)知”和“社會學(xué)習(xí)”基礎(chǔ)上，隨機(jī)選擇種群中任意粒子的反向位置，該反向位置引導(dǎo)當(dāng)前粒子進(jìn)行運動，在進(jìn)化過程中，對種群最優(yōu)粒子進(jìn)行高斯擾動，增加算法找到最優(yōu)解的概率。在經(jīng)典測試函數(shù)上，本文算法相比較其他知名算法具有更好的收斂速度和精度。

2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

PSO算法可看做一個種群大小為N的粒子群在問題維度為D的范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，第i(i=1，2，…，N)個粒子在第t次迭代時位置和速度分別為粒子i在第t+1次迭代時第d(d=1，2，…，D)維子空間的速度和位置根據(jù)下式調(diào)整。

式中：w為慣性權(quán)重；c1和c2為加速因子；r1、r2是在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)；分別為粒子i在第t次迭代時歷史最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置。

3 OGPSO算法

3.1 反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)策略（Opposition-based Learning，OBL）［13］主要指種群在進(jìn)化過程中，每個粒子每次找到一個當(dāng)前最優(yōu)位置時均產(chǎn)生一個對應(yīng)的反向位置，如果反向位置的適應(yīng)值較優(yōu)，將其作為當(dāng)前粒子的最優(yōu)位置。

定義1普通反向?qū)W習(xí)（Generalized Opposi?tion-based Learning，GOBL）。設(shè)當(dāng)前粒子的最優(yōu)位置xi(t)在其反向位置第 j維上可定義為

定義2改進(jìn)的反向?qū)W習(xí)（Improved Opposi?tion-based Learning，IOBL）。設(shè) Xi(t)=(xi1，xi2，…，xiD)為種群中第i個粒子在第t代時的位置，則對應(yīng)的反向粒子位置 X?i(t)=(x?i1，x?i2，…，x?iD)可定義為

其中 xij∈[aj，bj]，k 、k1和 k2屬于（0，1）之間隨機(jī)數(shù)，[aj，bj]為xij第 j維的區(qū)間，具體表示如下：

如果反向解 xij?[aj，bj]，則按式（6）更新：

3.2 算法進(jìn)化公式

在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中，粒子的運動方向主要由粒子的歷史最優(yōu)位置 pij和全局最優(yōu)位置 pgd來決定。OGPSO算法為了增加種群多樣性，粒子的運動方向由 pij、x?kj、Ggd和 pgd共同決定，隨機(jī)選擇種群中的任一粒子的反向粒子作為當(dāng)前粒子的引導(dǎo)粒子，擴(kuò)大了算法尋優(yōu)范圍，幫助算法快速找到全局最優(yōu)位置。具體的進(jìn)化模式如下所示。

其中 m=rand(1，2，…，i，…N)，N為種群粒子數(shù)目，w為慣性權(quán)重，c1、c2和c3為加速因子，r1、r2、r3、r4和 r5均在（0，1）區(qū)間，和為粒子i在第t次迭代時的速度和歷史最優(yōu)位置，是第t次迭代時隨機(jī)選擇的第m個粒子的反向粒子位置，是第t次迭代時整個種群的最優(yōu)位置，表示第t次迭代時種群最優(yōu)粒子的高斯擾動粒子。μ表示均值，σ2表示方差。

3.3 算法流程圖

算法的具體步驟如圖1所示。

4 仿真實驗

4.1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

本 文 通 過 比 較 FIPS［14］、HPSO-TVAC［15］、DMS-PSO［16］、CLPSO［7］和 APSO［9］五種經(jīng)典算法性能，選擇了八種較經(jīng)典的測試函數(shù)。測試函數(shù)的函數(shù)形式、搜索范圍和理論最優(yōu)值如表1所示。

圖1 算法流程圖

4.2 算法的參數(shù)設(shè)置

種群粒子數(shù)目N=10，評估次數(shù)T=200000，慣性權(quán)重 w=0.8?e(-0.5?t/iterNum)為慣性權(quán)重，t表示當(dāng)前的迭代次數(shù)，iterNum表示總的迭代次數(shù)，均值 μ=0 ，方 差 σ2=|，表示方差學(xué)習(xí)因子c1=1.5，c2=0.5，c3=2.0。

4.3 仿真實驗結(jié)果

4.3.1 低維仿真實驗結(jié)果

表2中的Mean和Std.Dev表示最優(yōu)適應(yīng)值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。選取四個單峰函數(shù) f1、f2、f3、f4和四個多峰函數(shù) f5、f6、f7、f8，以獨立運行30次的平均值作為算法最終的解。

由表2可知，OGPSO算法相比較其他5種知名算法，不僅在單峰函數(shù)上優(yōu)勢明顯，而且在多峰函數(shù)上依然保持絕對優(yōu)勢。特別在單峰函數(shù) f1、f2和多峰函數(shù) f5、f6和 f8，達(dá)到了最優(yōu)值0。

表1 8種測試函數(shù)

為了更好地表現(xiàn)OGPSO在算法進(jìn)化過程中的收斂情況，本文將OGPSO和其他五種算法在8個30維測試函數(shù)上進(jìn)化過程中適應(yīng)值收斂情況進(jìn)行比較。觀察圖2～圖9可知，本文算法中的反向粒子和高斯擾動粒子能夠加快收斂速度，提高算法精度。通過圖2～圖5可知，OGPSO算法在處理單峰函數(shù)時，收斂速度和精度優(yōu)勢明顯，特別是 f1、f2函數(shù)，進(jìn)化到6～8萬次就已經(jīng)尋找到全局最優(yōu)位置。觀察圖6～圖9可知，OGPSO算法能夠幫助多峰函數(shù)逃離其局部最優(yōu)，加快算法的收斂速度，特別是在 f5、f6、f8函數(shù)表現(xiàn)很好，算法的收斂速度非?？?，且能夠快速找到全局最優(yōu)位置。

表2 六種算法在30維問題上的比較

圖2 f1函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖5 f4函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖3 f2函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖4 f3函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖6 f5函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖7 f6函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖8 f7函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

圖9 f8函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖

4.3.2 高維仿真實驗結(jié)果

為了驗證MSPSO算法的優(yōu)越性，選擇PSO算法和CLPSO算法進(jìn)行對比測試。粒子個數(shù)為20，評估次數(shù)為D*5000次，D為函數(shù)維數(shù)。算法的測試結(jié)果如表3所示。表中結(jié)果均為30次獨立運行的平均值。

表3 改進(jìn)算法的測試結(jié)果

由表3可知，函數(shù)維數(shù)為100維時，OGPSO算法除了在Rosenbrock函數(shù)的測試結(jié)果上稍差于CLPSO算法，在其它六種函數(shù)上均優(yōu)勢明顯。

5 結(jié)語

為了研究標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的特點，針對其缺點，本文算法提高了標(biāo)準(zhǔn)PSO算法收斂速度和精度，避免算法過早陷入局部最優(yōu)。通過增加反向粒子和高斯擾動項，增加種群多樣性，提高尋優(yōu)的概率，幫助算法逃離局部最優(yōu)位置。實驗表明，通過對低維和高維的經(jīng)典函數(shù)進(jìn)行比較，OGPSO算法相比較其他幾種算法收斂速度更快、精度更高。函數(shù)進(jìn)化過程曲線圖進(jìn)一步說明了本文算法的收斂速度具有很大的優(yōu)勢，收斂精度更高。