劉曉萍

[摘 要]

運算律是由多個知識點所組成，按部就班的教學(xué)，耗時耗力。析取加法交換律作為運算律的核心，以精選素材、引起關(guān)注、多元表征、回顧反思等策略，可以實現(xiàn)“教是為了不教”的目的。

[關(guān)鍵詞]

關(guān)鍵能力;核心知識;推理;思維

一、運算律教學(xué)的價值追尋

史寧中教授說：“人們經(jīng)歷多年數(shù)的運算的使用，如：30+54=84，54+30=84;15+8=23，8+15=23……最終希望以符號或者簡潔的語言描述其特征，于是加法交換律就有了書本語言的高度概括。”由此可以窺見，運算律是人們對無以數(shù)計的計算之后，關(guān)注其變與不變的現(xiàn)象之后，所作出的普適性結(jié)論。那么當(dāng)下的學(xué)生學(xué)習(xí)運算律，就是讓數(shù)學(xué)史濃縮后再重演，當(dāng)然在理論上這也就成了皮亞杰所言的認(rèn)識發(fā)生論的注腳。

運算律還是計算法則的依據(jù)所在，例如乘法在用豎式計算時，每一次相乘，以及相乘之后的相加，都是乘法分配律的具體應(yīng)用;例如一年級學(xué)生口算的程序“湊十”計算法，就是加法的結(jié)合律;再比如加法交換律，正是其可交換性，可以用來驗算。

運算律更是“律”，從“彳”，從“聿”，即行動的準(zhǔn)則，那么學(xué)生通過自己的努力，探索出數(shù)學(xué)運算有一定的可遵守的準(zhǔn)則，并在其中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，積累解決問題的策略，自會對其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，甚至其他學(xué)科知識的學(xué)習(xí)，形成遷移。

所以說，運算律教學(xué)的目標(biāo)已遠(yuǎn)不止大家常言的簡便運算，其中所蘊含的豐富的學(xué)科基本思想、基本方法、理性精神是學(xué)科核心知識教學(xué)研究的重要價值追求。不過，運算律含有多個形式，在加法中，有交換律、結(jié)合律;在乘法中，也有交換律、結(jié)合律;在乘加、乘減兩級運算中有分配律;在減法、除法中，有減法的性質(zhì)和除法的性質(zhì)，甚至還有和差的變化規(guī)律、積的變化規(guī)律和商不變的規(guī)律、小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)，等等。教材一般按照“逐步滲透、集中教學(xué)、拓展延伸”的思路，先從直觀的整數(shù)開始教學(xué)運算律，隨著數(shù)系的擴張，逐步推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算中去。按部就班的教學(xué)，定然耗時耗力。如果以加法交換律作為引子，教會學(xué)生循著這樣的路徑學(xué)習(xí)：“解決一個實際問題——看到一個數(shù)學(xué)現(xiàn)象——舉出更多例子——在眾多實例中抽象概括——用符號表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律?！蹦敲粗唤獭耙弧保瑢W(xué)生也就能體悟“三”了，即是葉圣陶先生所追求的教學(xué)理想：“教的目的是為了不教?！?/p>

二、“加法交換律”作為核心知識的推理培育

（一）以兒童立場精選推理素材

【片段再現(xiàn)1】

師：根據(jù)這個同學(xué)的問題，可算式28+17，我是這樣想的：男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)。你們還可以列出一個算式嗎？并說說自己是怎么想的。

生：17+28，我是這樣想的：女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)。

師：綜合我們倆的算式，也就是說——

生：28+17=17+28

師：還是說跳繩的故事，不過得改動人數(shù)，你還能根據(jù)條件和問題，寫出一個類似的等式嗎？

生：跳繩的男生有29人，跳繩的女生有32人，一共有多少學(xué)生跳繩？借助問題，可以列出29+32=32+29。

師：看著這兩個算式，有點感覺么？

生：……

師：別急著說，帶著這種感覺，不要問題做支撐，根據(jù)我們的感覺，你能再寫出一個這樣的等式嗎？

生：5+4=4+5。

生：99+100=100+99……

師：現(xiàn)在可談?wù)勀愕母杏X了么？

生：這樣的等式都是兩個數(shù)字在做加法運算。

生：而且等式中左右兩邊兩個加數(shù)的數(shù)字都沒變，和也沒變，但是加數(shù)的位置變了。

師：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的算式特征，可以提出怎樣的問題？

生：兩個數(shù)相加的式子，如果交換兩個加數(shù)的位置，它們的和都不變嗎？

師：這個問題可以說是一個很好的猜想。那我們還需要——

生：驗證。

師：你們準(zhǔn)備怎樣驗證？

生：舉例子。

生：20+30=30+20。

生：8+9=9+8。

生：我覺得要舉更多范圍更多樣式的數(shù)。

師：能說得更明白一些么？

生：要舉整數(shù)、小數(shù)。

生：也要舉特殊的數(shù)。

生：例如最小的自然數(shù)，最小的一位數(shù)，不過0+1=1+0。

生：0.7+0.3=0.3+0.7。

師：我們能不能舉一個交換加數(shù)的位置，和變了的反例，試試看。

生：找不出。

師：你能用一個自己喜歡的方式，簡潔地把具有這種特征的式子表示出來嗎？

生：甲+乙=乙+甲。

生：a+b=b+a。

師：字母符號就是簡潔，不過，能用自己的語言方式再表達一下這個意思嗎？

生：在兩個數(shù)相加的加法運算里，我們發(fā)現(xiàn)交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

如果學(xué)生只能通過記憶套路解決問題，數(shù)學(xué)思考不算真正發(fā)生。學(xué)生的解題技能雖然發(fā)展了，或者說學(xué)生能做對題目，但學(xué)習(xí)抽象、推理、建模的空間就縮小了。而大量的研究表明：在良好的情景中，學(xué)生不會僅僅依靠記憶解決問題，而是思考背景意義與運算的關(guān)系，并在思考中發(fā)展理解。因為情景的實際意蘊可將數(shù)物態(tài)，從而使得抽象的數(shù)成為具體的可數(shù)。

以此回顧“加法交換律”的教學(xué)，教學(xué)之始，老師選擇學(xué)生熟知的跳繩比賽情景導(dǎo)入新知，學(xué)生能快速地想到男生人數(shù)與女生人數(shù)的和是總?cè)藬?shù)，從而由數(shù)量關(guān)系基本感悟了交換加數(shù)的位置變化算式之后，存在著某些不變的量。這樣當(dāng)老師提出：“還是說跳繩的故事，不過得改動人數(shù)，你還能根據(jù)條件和問題，寫出一個類似的等式嗎？”學(xué)生依據(jù)數(shù)量關(guān)系，不但能寫出無盡的等式，而且還可以據(jù)此講道理：“男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)，女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)，跳繩總?cè)藬?shù)不變，所以29+32=32+29?！?/p>

由此埋下推理的種子，因為學(xué)生畢竟還是疑惑：“雖然舉了好多好多的例子，也找不出反例，我們相信‘兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變，但是如果有更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明就好了。”于是學(xué)生便在頭腦中搜索有關(guān)情景，借助于線段圖或者符號圖，用“接著數(shù)”“說故事”“一一對應(yīng)”“想加法運算的意義”等多種方式自我釋疑（見教學(xué)片段2）。這樣就如授課老師自己設(shè)想的那樣：學(xué)生的推理能力不斷得以發(fā)展。

同時，四年級的學(xué)生在心理上，無不充滿著好奇，而且忍不住好問、好表達。因而，“加法交換律”的學(xué)習(xí)不應(yīng)當(dāng)是封閉的課堂認(rèn)知，其研究資源的甄選，既要與四年級學(xué)生的智力水平相適應(yīng)，但又不能讓學(xué)生輕易學(xué)會，始終要讓他們充滿信心又感到不足。

（二）以直觀感知培植推理幼芽

繼續(xù)分析“片段1”中“跳繩比賽情景導(dǎo)入”，因為老師示范用數(shù)量關(guān)系說出列式的理由，而加法的本源是合并，因此加法的交換性，學(xué)生提取加法意義的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，就足以直接直覺。這樣，老師后續(xù)提出問題：“別急著說，帶著這種感覺，不要問題做支撐，根據(jù)我們的感覺，你能再寫出一個這樣的等式嗎？”學(xué)生很快回答出5+4=4+5、100+99=99+100……同時，學(xué)生在關(guān)注等式的過程中，由于聚焦了數(shù)字，于是對“加數(shù)沒變，和沒變，加數(shù)的位置變了”又有了直觀感知。有了這樣的直觀感知之后，好奇被激發(fā)，加之無法舉出所有例子的困境，更加促使學(xué)生想弄清楚為什么會這樣。

【片段再現(xiàn)2】

師：其實我們還是一年級的小娃娃時，就早已和加法交換律交上了朋友。不信？請大家一邊看，一邊回憶回憶：

師：你現(xiàn)在知道為什么用交換兩個加數(shù)的位置再加一遍來驗算了嗎？

生：交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

師：今天所學(xué)的加法交換律是老師告訴你的嗎？

生：不是。

師：那你是怎么得到的？

生：我們根據(jù)觀察一些算式，先提出了猜想，接著通過舉例子驗證，從而得到結(jié)論。

生：我們雖然舉了好多好多的例子都能說明“交換兩個加數(shù)的位置，和不變”，但是例子是舉不完的;雖然也找不出反例，但是“找不出反例”很有可能是暫時的，也許只是我們現(xiàn)在實力不夠而已。

生：許多例子成立，也不能說明這個規(guī)律就是真理。例如著名的“哥德巴赫猜想”，都猜想了300多年啦，數(shù)也數(shù)不清的例子都說明這個猜想是正確的，據(jù)說舉的例子差不多可以寫滿地球好幾圈，甚至連電腦都用上了，也找不到一個反例，但我們能說“哥德巴赫猜想”是正確的嗎？顯然不能。

生：是的，我們需要更充分的理由。

正是課堂里老師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的需求，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)活動展開的線索，清晰地表達了學(xué)習(xí)的現(xiàn)場感，使得學(xué)生在心理上有了強烈的愿望弄清楚“為什么會這樣”。也正是在尋求真相的強烈驅(qū)動下，推理能力有了延展的土壤。

于此能力發(fā)展將會給學(xué)生留下思維的感悟：加法運算有交換律，那其他運算呢？混合運算有無規(guī)律呢？這將誘發(fā)學(xué)生在今后的數(shù)與運算的學(xué)習(xí)中，甚至式的運算中，先從直觀特例去尋找突破口，例如和與積的奇偶性、任意數(shù)與11相乘的規(guī)律、能被2、3、4、5、7、9整除的數(shù)特征規(guī)律、完全平方式……都可以從關(guān)注直觀表象開始探索，然后試圖充分地說理。

（三）以理性思考夯實推理根基

【片段再現(xiàn)3】

師：同學(xué)們的問題提得太好了，你有更充分的理由嗎？

生：4+3等于4后面連數(shù)3個數(shù)，3+4等于3后面連數(shù)4個數(shù)，最后它們數(shù)得的數(shù)是一樣的，所以4+3必定等于3+4。

生：數(shù)數(shù)也可以看作一一對應(yīng)，比如將4+3與3+4擺小棒，3根小棒與3根小棒一一對應(yīng)，4根小棒與4根小棒一一對應(yīng)，所以交換兩個加數(shù)的位置，結(jié)果不變。

生：假設(shè)我左手有3粒糖，右手有4粒糖，左手的3粒+右手的4粒=一共的糖果數(shù);我右手的4粒+左手的3粒=一共的糖果數(shù)，所以說3+4=4+3，因為這兩個加法算式表示的都是我手上一共的糖果數(shù)。

生：這就相當(dāng)于我左手伸出4根手指，右手伸出3根手指，但是讓同學(xué)們來看，在你們的左邊是3根手指，右邊是4根手指，我伸出的手指數(shù)沒變，所以4+3=3+4。

生：畫線段圖也能說明，先畫3+4：

將長線段與短線段調(diào)換個位置，也就相當(dāng)于把兩個加數(shù)交換位置。交換之后，比較總長度，總長不變，便說明交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

生：其實都是同一個道理：兩個部分合在一起，不管誰在前，誰在后，總量不變。也就是交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

師：接著這位同學(xué)的說法，原來像4+3和3+4這樣的算式，從外表上看，兩個加數(shù)交換了位置，從加法意義上想，其實都是把兩個部分之合并到一起。這樣不論是多的合并上少的，還是少的合并上多的，盡管擺放的形態(tài)不一樣，但其總的數(shù)量是一樣的，即守恒的。

通過“枚舉歸納”得出結(jié)論，有的學(xué)生可能只是依葫蘆畫瓢，所以合情推理需要再往前走一步，畢竟運算律的學(xué)習(xí)不能停步于定義，能力的發(fā)展得依靠邏輯。但心理學(xué)家比格斯說：“小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的速度，很慢很慢，孩子們對于抽象能力的形成，對于概念的歸納，需要經(jīng)歷實際活動。”所以“加法交換律”的教學(xué)中，老師引導(dǎo)學(xué)生主動去多元表征，例如正面反面數(shù)手指、線段圖、加法的意義，等等。

學(xué)習(xí)進行到此，在合情推理與演繹推理交融中，學(xué)生鍛煉了思維的有序性。比格斯曾通過研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)可以分成三個層次：①量化：學(xué)了多少？②工具：技能是否掌握？③本質(zhì)：數(shù)學(xué)是你的生活方式嗎？無疑，在“加法交換律”的課堂，學(xué)生從特殊想起，進而思考至一般化結(jié)論，可謂達到了質(zhì)的學(xué)習(xí)。這樣的教學(xué)，學(xué)生以數(shù)學(xué)眼光，打量著周遭世界，以數(shù)學(xué)思維，試圖解釋習(xí)以為常。

這些多元表征活動經(jīng)驗，也同樣是能力的基石，課堂在自學(xué)加法結(jié)合律的時候，學(xué)生很自然地想到之前的圖示去表征意義，如教學(xué)片段4。

【片段再現(xiàn)4】

師：（再出示一幅課本主題圖，補充還有23個同學(xué)在踢毽子）：現(xiàn)在參加活動的一共有多少人？

生：先用剛才算的跳繩人數(shù)，加踢毽子的23人。

師：我明白了，算式是（28+17）+23對吧？還有別的算法嗎？

生：可以先求出女生人數(shù)，再加男生人數(shù)。

師：我也理解了你的意思，即28+（17+23）對吧？

師：比較這兩個算式，你有什么猜想？

生：變得是運算順序，不變的是數(shù)字大小，以及加法的最終結(jié)果。

師：其他的三個數(shù)相加，一旦具有這樣的結(jié)構(gòu)特征，是否也存在這相同的運算特性呢？（組織學(xué)生自學(xué)教材，自我探究加法結(jié)合律。）并投影出示探索步驟：

（1）獨立計算課本上兩組等式，再小組討論，左右兩邊有什么樣的現(xiàn)象。

（2）你還能舉出其他的例子嗎？

（3）試一試，能否舉得出反例？

（4）如果你的想法成立，可以用字母表達式來表示這一結(jié)論嗎？

（5）你還有別的理由說明存在這樣的規(guī)律嗎？

生：課本上兩組等式，都和例題一樣，三個數(shù)相加，都具有無論先把前兩個數(shù)相加，還是先把后兩個數(shù)相加，其和不變的結(jié)構(gòu)特征。

生：（42+99）+1=42+（99+1）……

生：舉不出反例。

生：（a+b）+c=a+（b+c）。

生：利用課本上的故事就能說明，無論數(shù)字怎樣改變，前兩個數(shù)先算求得跳繩人數(shù)，后兩個數(shù)先算求得女生人數(shù)，跳繩人數(shù)+踢毽子人數(shù)是總?cè)藬?shù)，男生人數(shù)+女生人數(shù)也是總?cè)藬?shù)……

生：還可以像學(xué)習(xí)加法交換律時那樣數(shù)數(shù)，從前往后數(shù)和從后往前數(shù)的數(shù)量多少并沒有發(fā)生變化?？傮w是守恒的。

師：這樣的規(guī)律在數(shù)學(xué)稱之為加法結(jié)合律，那么在加法結(jié)合律中，變與不變的分別是什么？

生：不變的是數(shù)字和數(shù)的順序，變的是運算順序。

（四）以知識結(jié)構(gòu)化舒展推理枝葉

【片段再現(xiàn)5】

師：在兩個數(shù)相加的運算中，我們驗證了早就認(rèn)識的加法交換律，并由此想到三個數(shù)相加，是否存在一定的規(guī)律，通過自行探究，又驗證了加法交換律。我們一路前行，現(xiàn)在我們再回頭看一下，剛才所學(xué)的方法有何妙處？

生：盡管舉例子可能不能證實某一種規(guī)律是正確的，但只要舉出一個反例，便可以否定一種假想。

師：具體說說。

生：例如4-3不等于3-4，所以不存在減法交換律。

生：6÷3不等于3÷6，所以也不存在除法交換律。

生：舉例子可以提出猜想，看：3×4=4×3，2×5=5×2，4×7=7×4……這樣的例子舉不完，似乎存在著乘法交換律。

生：我能證實“交換兩個乘數(shù)的位置，積不變”。（學(xué)生上黑板畫出下圖）

大家看，正著看是3行三角形，每行4個，即3個4;如果從右面看，則有4行，每行3個，即4個3;但是三角形的總數(shù)沒有發(fā)生變化，所以3×4=4×3。再想象一下，可以看成a行b個三角形，換個角度也可以看成b行a個三角形，道理一樣，那么a×b=b×a。

師：能用圖示溝聯(lián)本節(jié)課的所學(xué)嗎？

生：畫圖如下：

布魯納認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是關(guān)聯(lián)，當(dāng)遇見陌生的知識，把它與許許多多已經(jīng)明晰的知識關(guān)聯(lián)起來，并與其中建構(gòu)意義，學(xué)習(xí)也就發(fā)生了?！彼越虒W(xué)中，老師促使學(xué)生將新知與舊知嫁接，讓學(xué)生感受新知的獲得源于舊知的延續(xù)。例如，學(xué)生驗證了加法具有交換性之后，順勢出示一二年級本身就是運用了加法交換律的情境圖等，學(xué)生發(fā)現(xiàn)加法交換律已經(jīng)伴隨其學(xué)習(xí)好多年了，只是不知道有“加法交換律”這個特定的稱謂罷了。于是散落的一個個知識點，結(jié)網(wǎng)成加法的交換性既是運算的一種規(guī)律，也是計算的算理，還是簡便計算的依據(jù)所在。

在教學(xué)的尾聲，老師通過引導(dǎo)學(xué)生回顧加法運算律，并以此誘導(dǎo)學(xué)生提出乘法、除法，還有減法有交換律嗎？這樣加法運算的規(guī)律衍生到了四則運算的規(guī)律探求，隨著學(xué)生用反例說明減法、除法沒有交換律，用舉例子、數(shù)數(shù)、畫圖、講故事等說明乘法具有交換律，數(shù)學(xué)就真的成了一種生活方式。

三、運算律教學(xué)的推理傳導(dǎo)作用

在具體的“加法交換律”的教學(xué)過程之中，不論是教學(xué)新知、變式練習(xí)，還是驗證猜想、回顧與溝聯(lián)，各個教學(xué)環(huán)節(jié)，老師都為發(fā)展學(xué)生推理能力不斷埋下“種子”。課堂里，也只有教師這般始終鼓勵學(xué)生去關(guān)注特征、勇于在聯(lián)想中提出猜想、大膽假設(shè)小心驗證，才能使學(xué)生既敢在智力冒險中創(chuàng)新，又能在尋求真相中習(xí)得思維的嚴(yán)謹(jǐn)，于是學(xué)生的核心素能通過能力的積淀而可見。

當(dāng)然，推理、抽象等關(guān)鍵能力的形成不是一蹴而就的，它需要在思維活動的掙扎中，需要在正例與反例的辨析中，需要親歷“知”到“不知”又到“知一點”再到“所以然”的全過程，才能最終實現(xiàn)由數(shù)學(xué)思考抵達理性精神。

[參 考 文 獻]

[1]周立棟.小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理及其教學(xué)[J].上海教育科研，2016（12）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）