楊 楠，關(guān)佳亮，盛志鵬，王加龍，胥永剛

（北京工業(yè)大學(xué)先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100124)

0 引言

奇異譜分析（Singular Spectrum Analysis，SSA）是一種良好的時間序列分析方法。目前已被應(yīng)用于故障診斷中，并取得了良好的效果。N Qin 利用奇異譜分析解決了高速列車轉(zhuǎn)向架故障診斷問題[1]；Muruganatham,Bubathi 等基于奇異譜分析提出一種簡單的軸承故障特征提取方法[2]。

奇異譜分析具有的良好的時間序列分析和預(yù)測特性[3]也被廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域。趙炯采用奇異譜分析對土倉壓力時間序列進(jìn)行預(yù)測研究[4]；周天清采用奇異譜分析對金融時間序列進(jìn)行預(yù)測研究[5]。受此啟發(fā)，采用奇異譜分析方法對軸承時間序列進(jìn)行分析，對軸承振動趨勢進(jìn)行預(yù)測研究。首先，使用奇異譜分析方法對軸承振動信號進(jìn)行分解，從而將復(fù)雜信號中的趨勢成分、周期成分和噪聲分離出來；然后，將分解出的有效成分進(jìn)行重構(gòu)；最后，利用數(shù)據(jù)的線性遞歸關(guān)系對重構(gòu)成分序列進(jìn)行預(yù)測。

1 奇異譜分析算法

奇異譜分析算法為兩個階段，第一階段為分解階段，主要包括嵌入和分解兩個過程；第二階段為重構(gòu)階段，主要包括分組和對角平均兩個過程。

對長度為N 的真值時間序列xN=（x1，…，xn）。令窗長L（1＜L＜N）為整數(shù)，且滿足K=N-L+1。

1.1 第1 階段：分解

步驟1：嵌入。

對長度為N 的真值時間序列xN=（x1，…，xn）。令窗長L（1＜L＜N）為整數(shù)，且滿足K=N-L+1。

為實現(xiàn)嵌入，通過形成K=N-L+1=個延遲向量，將原始時間序列映射到大小為L 的延遲向量序列，定義延遲向量Xi=（xi，…，xi+L-1）T，i=1，…，K，序列xN的軌跡矩陣為Hankel 矩陣。

式中Qi=XTPi，定義λi=‖Xi‖f2=‖Qi‖2。

1.2 第2 階段：重構(gòu)

步驟3：分組。令d=max{j：λj≠0}。將式（1）求解后，將索引集{1，…，d}分成m 個不相交的子集I1，…，Im。

定義XI=∑i∈IXi。式（1）可分解為：

選擇集合I1，…，Im的過程稱為特征三元組分組。如果m=d，Ij={j}，j=1，…，d，則相應(yīng)的分組稱為基本分組。方法A 中幾個特征三元組的選擇與奇異值分解最優(yōu)性質(zhì)的時間序列近似相關(guān)。

步驟4：對角平均。在這一步中，將式（2）中每個矩陣XIj轉(zhuǎn)變成長度為N 的新序列。令Y 為一個L×K 的矩陣，矩陣元素為yij，1≤i≤L，1≤j≤K，為簡單起見，令L≤K。通過對角線平均，使用下式將矩陣Y 轉(zhuǎn)換為系列

其中As={（l，k）：l+k=s+1，1≤l≤L，1≤k≤K }，｜As｜表示集合As中的元素數(shù)量，即在“反對角線”上對矩陣元素求平均值。

將對角平均式（3）應(yīng)用于合成矩陣XIk，產(chǎn)生重構(gòu)序列χ（k）=。因此，初始序列（x1，…，xN）被分解為m 個重構(gòu)序列的總和：

由基本分組產(chǎn)生的重構(gòu)序列稱為基本重構(gòu)序列。

1.3 線性遞歸關(guān)系

如果存在a1，…，at，使得式（4）成立，那么時間序列由線性遞歸關(guān)系控制。

其中，數(shù)字t 是LRR 的順序，a1，…，at是LRR 的系數(shù)。如果t=r 是控制時間序列SNLRR 的最小階數(shù)，則相應(yīng)的LRR 稱為最小值。

如果時間序列的L-軌跡矩陣對于任何L 具有秩r，使得r＜min（L，K），那么時間序列被稱為有限秩r 的時間序列。注意，如果控制信號SN的最小LRR 具有r＜N/2 的階數(shù)r，則SN具有秩r。

最小LRR 是唯一的。在不大于L-1 的所有非最小LRR 中，LRR 在SSA 周期性預(yù)測中效果是最好的。

2 可分離性和參數(shù)選擇

2.1 窗口長度選擇

根據(jù)可分離性條件，窗口長度是L 應(yīng)該在L＜N/2 范圍內(nèi)取越大越好，當(dāng)要提取具有已知周期的周期性分量時，選擇可以被周期整除的窗口長度，雖然窗口長度的選擇很重要，但是L 的微小變化對結(jié)果的影響微乎其微。

2.2 周期性成分識別

時間序列分量可以基于以下原理進(jìn)行識別：特征向量的形式復(fù)制了生成此特征向量的時間序列分量的形式。因此，特征向量圖可以用來輔助鑒定。此外，正弦波可近似地產(chǎn)生具有相同頻率和相移為π/2 的兩個正弦波分量。因此，一對特征向量的散點圖可形成近似多邊形，該多邊形可以幫助識別出周期性的正弦波。可選擇幾個主要的本征因子解決信號提取中平滑和信號降噪的問題。

2.3 分離效果識別

W—關(guān)聯(lián)矩陣是一種包含重構(gòu)時間序列分量之間加權(quán)相關(guān)的矩陣，他可以用來識別有效的分離信息。分離良好的組件具有很小的相關(guān)性，而分離效果差的組件有很大的相關(guān)性。因此，通過查看W—關(guān)聯(lián)矩陣，可以找到識別重構(gòu)序列分量的相關(guān)性，并且可將該信息用于隨后的分組。

3 工程信號分析

3.1 信號來源

使用奇異譜分析方法對張家口宣龍三高強(qiáng)度棒線材廠28#精軋機(jī)2010 年9 月6 日到2010 年12 月30 日共116 d 數(shù)據(jù)的每日峰值進(jìn)行分析。

為便于分析，將該信號分為兩部分，取該信號前98 d 的數(shù)據(jù)作為原始測試數(shù)據(jù)，對該信號進(jìn)行奇異譜分析，將該信號的周期成分、趨勢成分和噪聲進(jìn)行分離，取余下的18 d 數(shù)據(jù)作為驗證數(shù)據(jù)，與奇異譜分析得到的的預(yù)測信號進(jìn)行對比，驗證預(yù)測效果。

3.2 奇異譜分析結(jié)果

對該信號前98 d 的數(shù)據(jù)，取窗口長度為L=48，對其進(jìn)行奇異譜分析，得到長度為48 的特征值序列，如圖1 所示，由圖中可知，前10 個特征值包含了信號的絕大部分信息，因此取前10 個特征值對應(yīng)的特征向量進(jìn)行分析。經(jīng)過計算，第1 個特征三元組在原始信號中占據(jù)97.91%的比重，包含了原始信號的絕大部分信息，其他特征三元組在原始信號占據(jù)的比重較低。

前10 個特征值對應(yīng)的特征向量如圖2 所示，從特征向量圖可以大體看出，第1 個特征向量與原始信號的趨勢一致，說明第一個特征三元組包含了信號的趨勢成分；第2 個和第3 個特征向量是具有相同頻率和相移為π/2 的兩個正弦波分量，根據(jù)2.2的分析可初步判定第2 個和第3 個特征三元組包含了信號的周期成分，其他特征三元組包含了信號的噪聲成分。

為進(jìn)一步驗證通過奇異譜分析方法是否可以將周期性成分分離出來，對前10 個特征向量做散點圖，如圖3 所示。由散點圖可知，第2 個和第3 個特征三元組對應(yīng)的特征向量對是一個多邊形，根據(jù)2.2 的分析可知，第2 個和第3 個特征三元組包含了信號的周期成分，這說明奇異譜分析方法可以將周期成分分離出來。

為評估不同特征三元組之間的獨立性，由2.3 分析可知，W—關(guān)聯(lián)矩陣圖可有效反映分離信息，因此對前10 個重構(gòu)成分做W—關(guān)聯(lián)矩陣圖，W—關(guān)聯(lián)矩陣圖如圖4 所示，顏色越淺表示相關(guān)性越小。由W—關(guān)聯(lián)矩陣圖可知，序列C1 與其他序列完全獨立；C2 和C3 屬于周期性成分，有較高的相關(guān)性，；C3 和C6、C7、C8 有較小的相關(guān)性；C4 與其它序列幾乎不相關(guān)，C5 與C6、C7、C8 之間有較小的相關(guān)性；但是其他重構(gòu)成分之間的相關(guān)性較強(qiáng)，甚至未完全分離。因此，選擇前5 個特征三元組進(jìn)行重構(gòu)，并在前5 個特征三元組基礎(chǔ)上對信號進(jìn)行預(yù)測。

為驗證所取重構(gòu)成分序列的合理性，分別取第1個特征三元組的重構(gòu)成分序列和原始信號進(jìn)行對比,第1-3 個特征三元組的重構(gòu)成分序列和原始信號進(jìn)行對比，第1-5 個特征三元組的重構(gòu)成分序列和原始信號進(jìn)行對比。由圖5 可知，第1 個特征3 元組的重構(gòu)成分序列和第1-3 個特征三元組的重構(gòu)組件都不能夠很好的反映信號的趨勢和周期性，只有第1-5 個特征三元組可以良好的反映信號的趨勢和周期特性，因此選取第1-5 個特征三元組的重構(gòu)成分序列對信號進(jìn)行預(yù)測。

圖1 奇異值分解后的前48 個特征值

3.3 奇異譜分析預(yù)測

取前5 個重構(gòu)組件C1-C5 對后18 d 數(shù)據(jù)進(jìn)行線性遞歸預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖6 所示，由圖6 可知，因此，對由奇異譜分析得到的重構(gòu)成分序列進(jìn)行線性遞歸預(yù)測，可以實現(xiàn)良好的預(yù)測效果。將該方法應(yīng)用于軸承振動信號中，可以實現(xiàn)對軸承振動趨勢的預(yù)測。

圖2 前10 個特征值對應(yīng)的特征向量及前10 個特征值能量占比

圖3 奇異譜分析處理后的特征向量對散點

圖4 奇異譜分析處理后的-關(guān)聯(lián)矩陣

圖5 重構(gòu)成分序列與原始信號對比

圖6 預(yù)測結(jié)果對比

4 結(jié)束語

奇異譜分析對信號進(jìn)行處理可得到如下結(jié)論：

（1）奇異譜分析方法可以把信號的趨勢、周期成分和噪聲有效地分離出來。

（2）對奇異譜分析方法處理得到的特征三元組進(jìn)行重構(gòu)，并對其重構(gòu)組件進(jìn)行預(yù)測，可以實現(xiàn)良好的預(yù)測效果。

（3）奇異譜分析方法的窗口長度選擇主要靠經(jīng)驗選取，如果可以自適應(yīng)選擇窗口長度，將提高該方法的準(zhǔn)確性和使用效率。