董艷

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陜西西安 714000)

1 教學(xué)內(nèi)容分析

可分離變量微分方程是常微分方程中的一種重要類型，學(xué)好它對于后續(xù)知識的掌握起著關(guān)鍵作用。本節(jié)課是建立在上節(jié)課微分方程概念的基礎(chǔ)上的，因此課前首先借助卡片排序法復(fù)習(xí)6個概念；其次以名為“蛟龍?zhí)枴钡陌咐鳛檎n堂引入；接著設(shè)置一系列前后銜接的問題，主要通過引導(dǎo)法展開新課講解；再次以解題的邏輯思維為抓手，借助藍(lán)墨云進(jìn)行例題講解；再接著是課堂練習(xí)-觸類旁通環(huán)節(jié)，在此環(huán)節(jié)中設(shè)置“旋轉(zhuǎn)木馬”的活動，達(dá)到學(xué)生對知識掌握的目的；接下來是乘勝追擊環(huán)節(jié)，設(shè)置“大家一起來找茬”這個活動，目的是讓學(xué)生從細(xì)節(jié)著手，找到問題的易錯點(diǎn)，熟練掌握本節(jié)課的內(nèi)容；有了前面的鋪墊，課前案例的解答已是得心應(yīng)手，因此在課程結(jié)束之前對此案例進(jìn)行求解，并對其結(jié)果進(jìn)行分析，在分析中，聯(lián)系到了“大國工匠”精神，升華了課堂主題，從課程思政的角度達(dá)到了教書育人的目的；為了鞏固課堂內(nèi)容和拓展知識，課后布置了兩道思考題，以藍(lán)墨云實(shí)時監(jiān)控課后延伸環(huán)節(jié)；最后是課堂小結(jié)和課堂評價，課堂評價采取多種評價方式，有效地保障了課堂效果。

2 教學(xué)重難點(diǎn)（及措施）

2.1 教學(xué)重點(diǎn)

（1）可分離變量微分方程的一般形式。

（2）可分離變量微分方程的求解方法。

2.2 教學(xué)難點(diǎn)

利用三步走的方法求解可分離變量微分方程的能力。

2.3 重、難點(diǎn)突破措施

2.3.1 創(chuàng)設(shè)情境，案例驅(qū)動

通過視頻觀看案例，巧遇實(shí)際問題時該如何作答，提出疑問，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，從而引出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生自發(fā)地深入學(xué)習(xí)本節(jié)課的重點(diǎn)。

2.3.2 分析嚴(yán)密，逐層推進(jìn)

通過對可分離變量微分方程的一般形式的分析，自然過渡到它的求解方法上，自然銜接；創(chuàng)設(shè)問題，邏輯性強(qiáng)。

2.3.3 雙活動驅(qū)動，攻克難點(diǎn)

設(shè)置旋轉(zhuǎn)木馬活動時，要求兩組學(xué)生形成內(nèi)外兩圈，互相查找問題糾錯，查漏補(bǔ)缺，直至找到正確的做題思路，期間老師作為旁觀者主要任務(wù)是歸納學(xué)生的問題，最后進(jìn)行點(diǎn)評和補(bǔ)充，對于同類型問題尋找規(guī)律，便于學(xué)生自己糾錯，提高做題效率。

設(shè)置大家一起來找茬活動時，要求一組做其中的一個題目，然后老師隨機(jī)找一個學(xué)生的答案（一般是老師觀察做的不是很好的學(xué)生）作為大家“找茬”的對象，期間每答對一個給學(xué)生加分，但是給小組實(shí)行扣分措施，加減分通過藍(lán)墨云進(jìn)行，這樣一榮俱榮，一損俱損，提高學(xué)生的責(zé)任意識，培養(yǎng)集體主義精神。

3 課程教學(xué)創(chuàng)新點(diǎn)

（1）以卡片排序法作為復(fù)習(xí)手段，快速建立學(xué)生邏輯思維能力。

（2）以科技前沿的“蛟龍?zhí)枴弊顬檎n堂引入案例，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義情懷。

（3）設(shè)置“旋轉(zhuǎn)木馬”和“大家一起來”課堂活動組織形式，實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念。

（4）將“大國工匠”精神作為案例小結(jié)的延申點(diǎn)，將思政融入課堂，達(dá)到教書育人的目的。

4 教學(xué)過程

4.1 復(fù)習(xí)舊知

同學(xué)們好！本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是可分離變量的微分方程。首先復(fù)習(xí)一下上節(jié)課的內(nèi)容，那上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么呢？（可分離變量的微分方程），那好，我將上節(jié)課的概念制作成了卡片的形式，現(xiàn)在我的手中有6張卡片，請大家以小組為單位對這6張卡片按照邏輯先后順序進(jìn)行排序，并將排序的結(jié)果擺放在桌面上，要求1min之內(nèi)完成。好，現(xiàn)在開始。如果哪個隊(duì)確定已經(jīng)完成，請舉手示意，我們給先完成的組加1分。

接下來我將這6張卡片隨機(jī)分發(fā)給幾名學(xué)生，當(dāng)我回顧到這個概念時，請拿到相應(yīng)卡片的同學(xué)幫我們解釋下。

4.2 課堂引入

本節(jié)課將以一個案例作為課堂引入重點(diǎn)學(xué)習(xí)它的一般形式和求解方法。首先來看一段視頻：（播放視頻）

近日，歷時15個月完成技術(shù)升級的蛟龍?zhí)栐谇鄭u國家深?；毓芾碇行牧料?，它是我國載人深潛歷程中的一個重要里程碑！蛟龍?zhí)栍媱澯?020年也就是明年的6月份到2021年6月執(zhí)行環(huán)球航次。此刻，我們由衷地感嘆到：厲害了，我的國！讓我們也預(yù)祝這次環(huán)球航行圓滿成功！接下來看一個具體問題：（讀題）

現(xiàn)在請同學(xué)們以小組為單位在組長的帶領(lǐng)下探討一下這個問題該如何解決呢？完了之后請一名同學(xué)談下他們小組的思路。

4.3 新課講解

好！這就是一個可分離變量的微分方程，究竟什么是可分離變量微分方程呢？顧名思義, 可分離變量微分方程就是變量可以分離的微分方程，那么在常微分方程中，變量有幾個呢？（兩個），分別是：x和y,自變量和因變量，注意：我并沒有說x和y，因?yàn)椴⒉慌懦@兩個變量用其它字母替代，比如剛才這個案例中，自變量是誰，因變量是誰，變量可以分離意味著自變量和因變量可以分離，究竟怎么個分離法？接下來我們來看下它的一般形式：可分離變量微分方程的一般形式為：讓我們來分析下這個式子：首先來看等號右邊，對于f(x),大家比較熟悉，它是關(guān)于x的一個一元函數(shù)，可是g(y)是什么意思呢，在這里y是x的函數(shù)，外層的g也是一個函數(shù)，那么相當(dāng)于一個函數(shù)g里面又套了一個函數(shù)，那么g(y)就是關(guān)于x的一個復(fù)合函數(shù)（學(xué)生回答），再來看等號的左邊，dy/dx是什么意思呢？學(xué)生回答：是y對x的導(dǎo)數(shù)，對，它是導(dǎo)數(shù)也就是y撇，注意：在這里，dy/dx除了可以看成一個整體表示y對x的導(dǎo)數(shù)之外，它還有另外一層身份，就是表示兩項(xiàng)之商，也就是y的微分與x的微分之商，正因?yàn)樗倪@層身份才保證了y與x可以做變量分離，也就是將f(y)與dy寫到一起，f(x)與dx放到一起，這樣以來，可分離變量的一般形式就可以恒等變形為：，分離變量之后然后怎么做呢？接下來我們來看下它的求解方法：可分離變量微分方程求解分三步走：第一步：分離變量，第二步：兩邊積分，只需在第一步的基礎(chǔ)上兩邊各添一個不定積分號即可。最后，求出這兩個積分即得通解為：G(y)=F(x)+C,其中G(y)，F(xiàn)(x)分別為1/g(y)，f(x)的一個原函數(shù)，那么最后一句話告訴我們，

從第一步到第二步做起來很容易，可是要做證明并不簡單，在這里我們只來驗(yàn)證下G(y)=F(x)+C是否為原方程的通解呢？

4.4 課堂舉例

接下來看一個具體的例子：它是一個可分離變量微分方程嗎？是，那么f(x)是誰呢？g(y)呢？好！認(rèn)清楚形式之后，接下來按照它的求解方法分幾步走。三步.第一步：分離變量，其中d(y)和誰結(jié)合呢？那f(x)自然就和6x結(jié)合，第二步兩邊積分和第三步求出積分均采取在教師的引導(dǎo)下學(xué)生回答的形式進(jìn)行。

4.5 課堂練習(xí)

課堂練習(xí)部分，首先讓學(xué)生在限定的時間內(nèi)獨(dú)立完成這三道題目，其次讓學(xué)生離開座位來做一個旋轉(zhuǎn)木馬的活動，兩個小組圍成內(nèi)外兩個圈，然后讓內(nèi)圈的學(xué)生面對外圈的學(xué)生，兩人一組進(jìn)行對照學(xué)習(xí)，互相糾錯，找到自己的問題，然后讓外圈學(xué)生順時針旋轉(zhuǎn)，內(nèi)圈學(xué)生逆時針旋轉(zhuǎn)，再相互交流互相對照過程和答案找到自己的問題當(dāng)場糾正，這個時候老師應(yīng)該加入進(jìn)來但是不要打擾學(xué)生只是傾聽，待活動結(jié)束后：

好！現(xiàn)在同學(xué)們各自回自己的座位，通過剛才的互相找問題階段，我了解到大家存在的問題主要有以下幾個方面：（1）不會積分；（2）不是指數(shù)對數(shù)之間的互化，雖然這兩個知識都是以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是現(xiàn)在有所遺忘，應(yīng)該重新?lián)焓捌饋泶嬖诘牡谌齻€問題是有的同學(xué)兩邊同時出現(xiàn)加C，如果兩邊加常數(shù)，一個用C1，另一個用C2表示，但是我們最后把所有能和C1C2合并的常數(shù)都合并為右邊一個C上去，第四個問題是有同學(xué)加上對數(shù)后面加了絕對值，我們說這里應(yīng)該加上絕對值，只是因?yàn)榻^對值若能化簡的話，出現(xiàn)的正負(fù)號就和常數(shù)C合并了，因此，以后在求解常微分方程時，若出現(xiàn)了ln的原函數(shù)形式，在最終結(jié)果能化簡的情況下，絕對值可以去掉，不會影響結(jié)果。但是這里注意，最后的結(jié)果中必須不含有l(wèi)n才可以這么做。

4.6 乘勝追擊

首先讓學(xué)生觀察，第一個問題的g(y)是1要求第一小組做第一個題，第二個小組做第二個題目，這個問題大家在做的時候遇到問題可以討論，此環(huán)節(jié)采取大家一起來找茬的形式進(jìn)行，首先教師在藍(lán)墨云中分好組，建立上傳任務(wù)，學(xué)生做完之后隨機(jī)抽取每個小組的一名學(xué)生作為上傳的對象，然后所有同學(xué)一起來找問題，每找到一個問題小組每個成員扣一，找到問題的同學(xué)加兩分。

4.7 案例求解

案例的問題求解和前面乘勝追擊的其中一個問題很像，因此案例的求解勢在必得。對案例求解目的是對整個下潛過程實(shí)行精細(xì)化管理，這正是我們現(xiàn)在提倡的精益求精的“大國工匠”精神的體現(xiàn)。正所謂“工于形，匠于心，十年磨一劍，一劍傳古今”。

課堂思政在案例求解中自然形成，潤物細(xì)無聲，達(dá)到了教書育人的目的。

4.8 課堂小結(jié)

課堂小結(jié)采取問答式，課堂氣氛融為一體，重難點(diǎn)重現(xiàn)，加深學(xué)生印象，使課堂內(nèi)容形成一個有機(jī)整體，板書、學(xué)生、老師渾然一體。

5 課堂評價

5.1 學(xué)生對課堂評價

（1）通過藍(lán)墨云發(fā)起兩個課堂評價任務(wù)

選擇題：你認(rèn)為本節(jié)課的上課效果如何？

A．好 B.很好 C.一般 D.不好 E.我沒好好聽，所以不做評價。

答疑/討論題：談?wù)劚竟?jié)課給你印象最深的是哪個環(huán)節(jié)，為什么？

5.2 教師對學(xué)生的評價

（1）通過各小組利用資源平臺課前復(fù)習(xí)回顧微分方程的概念以及觀看本節(jié)課視頻情況給予一定的個人分?jǐn)?shù)，主要看學(xué)生對以往知識的掌握熟練程度和對以往知識的歸納總結(jié)能力。

（2）以小組為單位“捆綁式”的評分方式，以上課各個環(huán)節(jié)小組的表現(xiàn)最終評出積分最高的組，課下在藍(lán)墨云中給該組的每名學(xué)生課堂表現(xiàn)加分。

（3）在“大家一起來找茬”實(shí)行個人加分與小組扣分相結(jié)合。

（4）在課下思考題目的效果評價中，采取藍(lán)墨云答疑討論以及上傳任務(wù)的方式給與打分評價計入到個人經(jīng)驗(yàn)值中。

（5）將課堂所得的經(jīng)驗(yàn)值作為學(xué)生期末考試平時成績的主要來源。