鄭 睿，余 童，程龍閱

（1.安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，蕪湖 241002；2.安徽省智能機(jī)器人信息融合與控制工程實(shí)驗(yàn)室，蕪湖 241000）

陀螺儀的精度直接影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的精度[1-3]。基于薩格納克干涉效應(yīng)，物質(zhì)波干涉式陀螺儀是新型的超高精度的陀螺儀[4-5]。超流體陀螺是物質(zhì)波干涉式陀螺儀的一種，其測(cè)量精度預(yù)期可達(dá)10-10rad/(s?Hz1/2)的數(shù)量級(jí)，將來可以應(yīng)用于航天、宇航、深海探測(cè)等領(lǐng)域[6-9]。

陀螺儀的精度與其噪聲有密切相關(guān)的聯(lián)系。研究表明，在不考慮環(huán)境干擾的情況下，超流體陀螺內(nèi)部存在熱能量、薄膜位移檢測(cè)系統(tǒng)的誤差等噪聲源，引起其輸出端產(chǎn)生數(shù)量級(jí)為 10-8～10-7rad/(s?Hz1/2)的近似白噪聲[10]，這嚴(yán)重影響了超流體陀螺的測(cè)量精度，因此需要開展超流體陀螺噪聲抑制的方法研究。

超流體物質(zhì)波是基于超流體在弱連接處發(fā)生約瑟夫森效應(yīng)而產(chǎn)生的。因而在超流體陀螺的結(jié)構(gòu)中，存在很多的微孔組成的微孔陣列，這也被稱為弱連接。Sato等[11]在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著微孔孔徑、微孔數(shù)量等參數(shù)的變化，超流體陀螺的噪聲也發(fā)生了變化。由此可以表明改變微孔參數(shù)可以抑制超流體陀螺的噪聲。但是，當(dāng)前對(duì)于該問題的認(rèn)識(shí)仍處于實(shí)驗(yàn)階段，微孔參數(shù)與超流體陀螺噪聲之間的數(shù)學(xué)模型尚不清楚[6]。

本文在分析了超流體陀螺噪聲的基礎(chǔ)上，構(gòu)建微孔參數(shù)與超流體陀螺噪聲之間的數(shù)學(xué)模型，提出基于微孔參數(shù)優(yōu)化的超流體陀螺噪聲抑制方法，從改變陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)的角度對(duì)其噪聲進(jìn)行抑制，從而挖掘超流體陀螺高測(cè)量精度的潛力。

1 超流體陀螺的噪聲分析

超流體陀螺的結(jié)構(gòu)如圖1所示，是由圖中虛線內(nèi)的超流體干涉儀、溫度控制系統(tǒng)、化學(xué)勢(shì)能差驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、位移檢測(cè)系統(tǒng)、幅值控制系統(tǒng)構(gòu)成的。其中超流體干涉儀是敏感角速度的核心部件，其它是輔助超流體干涉儀工作系統(tǒng)。

圖1 超流體陀螺結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of superfluid gyroscope

圖1中，超流體干涉儀中虛線所示的環(huán)形腔內(nèi)充滿超流體4He，“×”的位置表示數(shù)千個(gè)微孔組成的陣列，當(dāng)微孔孔徑d滿足如式(1)所示的關(guān)系時(shí)為弱連接[6]。

式中，4ξ表示弱連接的臨界孔徑，T表示當(dāng)前溫度，λT≈2.1716K表示超流體4He的臨界溫度。利用熱阻1加熱，弱連接兩側(cè)產(chǎn)生溫度差和壓力差，由此產(chǎn)生化學(xué)勢(shì)能差。在化學(xué)勢(shì)能差的作用下，超流體在弱連接處發(fā)生約瑟夫森效應(yīng)，產(chǎn)生兩路超流體物質(zhì)波（若微孔孔徑d不滿足式(1)，此時(shí)微孔陣列是強(qiáng)連接，則不能在化學(xué)勢(shì)能差的作用下發(fā)生約瑟夫森效應(yīng)）。這兩路物質(zhì)波可以表示為：

式中，I1和I2為流過1號(hào)弱連接和2號(hào)弱連接的超流體的質(zhì)量流量，Ic1和Ic2分別為I1和I2的幅值，Δφ1和Δφ2表示兩個(gè)弱連接兩側(cè)的相位差。

根據(jù)圖1可以看出，總流量I是I1和I2的疊加，因此總流量將同樣以正弦變化，其幅值Im為[6]：

式中，Δφe= Δφ1- Δφ2表示超流體相移，它由薩格納克相移Δφs（角速度矢量 引起）和熱相移Δφh（熱阻2的加熱引起）共同組成[6]：

由式(3)(4)可知，外界角速度變化會(huì)引起超流體相移變化，從而使得超流體流量變化。因此檢測(cè)超流體流量即可測(cè)量角速度，這就是超流體陀螺測(cè)量角速度的原理。由于超流體的約瑟夫森效應(yīng)會(huì)引起薄膜位移變化，因此薄膜位移也呈現(xiàn)正弦變化，其幅值xm為：

式中，fJ為約瑟夫森頻率，ρ為超流體密度，Ad為薄膜表面積。

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的研究，熱能量、溫度控制系統(tǒng)的輸出波動(dòng)、化學(xué)勢(shì)能差驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出波動(dòng)、幅值控制系統(tǒng)的誤差、位移檢測(cè)系統(tǒng)的噪聲是超流體陀螺噪聲的主要來源。而對(duì)超流體陀螺影響最大的是位移檢測(cè)系統(tǒng)的噪聲，因此位移檢測(cè)系統(tǒng)的噪聲被視為超流體陀螺的主要噪聲源。

設(shè)位移檢測(cè)系統(tǒng)噪聲為δxmn，由式(4)和式(5)可知，角速度測(cè)量值Ωd與xm之間存在著非線性關(guān)系，利用非線性隨機(jī)變量方差的求解方法，由δxmn引起dΩ的噪聲Ωdn為：

由式(4)(6)可得，超流體陀螺的噪聲Ωdn為：

根據(jù)通用的參數(shù)[10]，超流體陀螺的噪聲為10-8～10-7rad/(s?Hz1/2)的數(shù)量級(jí)。超流體陀螺預(yù)期的測(cè)量精度是可以達(dá)到10-10rad/(s?Hz1/2)數(shù)量級(jí)的。因此輸出噪聲較高，使得其高測(cè)量精度的潛力不能發(fā)揮，這是超流體陀螺需解決的主要問題。

2 微孔參數(shù)與超流體陀螺噪聲之間的數(shù)學(xué)模型

圖2 弱連接處微孔陣列的示意圖Fig.2 Aperture arrays at the weak link

由圖2可以看出，微孔孔徑越大、微孔數(shù)量越多，就可使得Ic越大，從而抑制超流體陀螺噪聲。但由于微孔參數(shù)與超流體陀螺噪聲之間的定量關(guān)系還不清楚，因此本文首先研究微孔孔徑d以及微孔數(shù)量N與超流體流量幅值Ic的關(guān)系，構(gòu)建微孔參數(shù)與超流體陀螺噪聲之間的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究抑制的效果。

2.1 微孔孔徑與微孔流量幅值之間的關(guān)系

由于超流體流過單一微孔的速度幅值vc為[6]：

式中，κ4=h/m4，h是普朗克常數(shù)，m4是4He原子質(zhì)量。那么流過單一微孔的超流體質(zhì)量流量幅值Ic0為：

式中，ρs表示超流體中超流性成分的密度，a表示微孔面積。式(9)表示出微孔孔徑與微孔流量幅值之間的關(guān)系。

為了使得Ic變大，單一微孔中的Ic0也應(yīng)該變大，由式(9)可知，微孔孔徑d應(yīng)取最大值。由式(1)可知，d的最大值dmax=ξ4。把微孔孔徑用其最大值代替，由式(9)可得：

式(10)表明，當(dāng)微孔孔徑取最大值時(shí)，可以使得Ic0達(dá)到最大值。

2.2 微孔數(shù)量與微孔流量幅值之間的關(guān)系

在弱連接兩側(cè)存在化學(xué)勢(shì)能差的情況下，超流體在弱連接處的每個(gè)微孔處發(fā)生約瑟夫森效應(yīng)：

式中，I(1),I(2),…,I(N)表示流過1號(hào)微孔、2號(hào)微孔、N號(hào)微孔的超流體的質(zhì)量流量；Δφ(1),Δφ(2),…,Δφ(N)表示每個(gè)微孔兩側(cè)的超流體相位差。

由圖2可知，流過1號(hào)弱連接的流量I1是由流過所有微孔的流量之和，即

但在超流體陀螺中，熱噪聲始終存在。受到熱噪聲影響，Δφ(1),Δφ(2),…,Δφ(N)上面疊加了白噪聲，因此它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。為精確研究Ic與N的關(guān)系，必須考慮熱噪聲的影響。

因此利用復(fù)數(shù)表示式(12)中各正弦量，比如，Icsin(Δφ)表示為Ic∠Δφ，Ic0sin(Δφ(1))表示為那么式(12)的復(fù)數(shù)形式為：

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)，式(13)等號(hào)左邊復(fù)數(shù)的模為Ic，為計(jì)算式(13)等號(hào)右邊所描述的復(fù)數(shù)的模，對(duì)式(13)等號(hào)右邊所描述的復(fù)數(shù)采用代數(shù)式表示：

式中，j表示復(fù)數(shù)算子(j2=-1)。式(13)等號(hào)左右兩邊的復(fù)數(shù)的模應(yīng)相等，因此由式(14)可得：

式(16)表示微孔數(shù)量與Ic之間的關(guān)系。由式(16)可以看出，Ic隨著N的增大而增大。

2.3 微孔參數(shù)與陀螺噪聲之間數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

基于上述研究，把式(9)(16)代入式(7)可得，超流體陀螺噪聲與微孔孔徑、微孔數(shù)量之間的關(guān)系為：

由式(17)可知，隨著微孔孔徑和微孔數(shù)量的增加，超流體陀螺輸出噪聲將逐漸減少，因此增大微孔孔徑和微孔數(shù)量對(duì)超流體陀螺的噪聲有抑制效果。

根據(jù)式(10)可知，微孔孔徑的最優(yōu)值是其最大值ξ4。由于超流體陀螺的管路受到尺寸的限制[12]，因此微孔數(shù)量也是要受到限制的，設(shè)其最優(yōu)值也是其最大值，設(shè)為Nmax。把微孔陣列參數(shù)的最優(yōu)值代入式(17)，可得此時(shí)超流體陀螺的噪聲達(dá)到最小值Ωdn(min)為：

式(18)是微孔陣列參數(shù)取最優(yōu)值時(shí)，超流體陀螺噪聲的數(shù)學(xué)模型。

3 仿真與分析

為驗(yàn)證基于微孔參數(shù)優(yōu)化的超流體陀螺噪聲抑制方法的有效性，利用超流體陀螺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，開展實(shí)驗(yàn)與分析。首先分析微孔參數(shù)的變化范圍，研究在微孔參數(shù)的變化范圍陀螺噪聲的變化規(guī)律；接著選擇輸入為典型的角速度，在取通用微孔參數(shù)和最優(yōu)微孔參數(shù)兩種情況下，分別對(duì)角速度測(cè)量值誤差進(jìn)行分析。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

超流體陀螺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。在該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，基于大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在計(jì)算機(jī)上模擬超流體干涉儀的工作過程，這部分的主要環(huán)節(jié)包括熱驅(qū)動(dòng)模塊、熱相移輸入模塊、角速度敏感模塊和薄膜位移產(chǎn)生模塊等幾個(gè)部分。超流體陀螺的相移控制系統(tǒng)則由硬件實(shí)現(xiàn)，包括角速度信息提取模塊、高精度反饋熱相移處理電路和熱相移控制電路等部分。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中各部分之間的關(guān)聯(lián)如圖3中箭頭指向所示。

圖3 超流體陀螺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure of superfluid gyroscope simulation experimental platform

3.2 微孔參數(shù)變化范圍內(nèi)噪聲的變化規(guī)律

基于上述實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)的基本參數(shù)設(shè)置為：

① 微孔孔徑[6]：取工作溫度為T=2.1712K，根據(jù)式(1)可知在該溫度下dmax=95 nm。另外，由于微孔孔徑最小可以為 50 nm，因此設(shè)置微孔孔徑的變化范圍為50 nm到95 nm。

② 微孔數(shù)量：弱連接處的微孔必須大于一定數(shù)量，否則流過弱連接的超流體流量較少，使得薄膜位移過小而無法被檢測(cè)到。當(dāng)前微孔數(shù)量最小為 2500個(gè)。受到超流體管路尺寸的限制，微孔的數(shù)量也不能很大，當(dāng)前報(bào)道的微孔數(shù)量最多為5625個(gè)[6]。

除了微孔參數(shù)，其它相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：

③ 結(jié)構(gòu)參數(shù)[6]：超流體管路半徑Rc=2×10-2m,θ= 0，薄膜面積為Ad=5×10-5m2。

④ 工作參數(shù)[6]：工作溫度為T=2.1712K，約瑟夫森頻率為fJ=1000 Hz，超流體相移Δφe的鎖定值設(shè)置為π/2，系統(tǒng)的測(cè)量帶寬為1000 Hz。

⑤ 噪聲源[10]：位移檢測(cè)系統(tǒng)噪聲δxmn=10-15m/Hz1/2；

基于上述參數(shù)，根據(jù)式(17)可得在微孔孔徑和微孔數(shù)量的變化范圍內(nèi)，超流體陀螺的噪聲變化規(guī)律如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著微孔數(shù)量由2500增加到5625，微孔孔徑由50 nm增加到95 nm，超流體陀螺的噪聲從超流體陀螺的噪聲由6.3×10-7rad/(s?Hz1/2)逐漸減小為7.7×10-8rad/(s?Hz1/2)，因此超流體陀螺的噪聲呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢(shì)。由此表明增大微孔孔徑和增加微孔數(shù)量可以有效抑制超流體陀螺噪聲。因此為抑制超流體噪聲，微孔孔徑和微孔數(shù)量應(yīng)盡可能取較大的值。

圖4 微孔陣列參數(shù)對(duì)超流體噪聲的影響曲線Fig.4 Curve of Influence on superfluid gyroscope noise with aperture array parameters

3.3 兩種典型輸入角速度情況下噪聲的抑制效果

為進(jìn)一步研究微孔陣列對(duì)超流體陀螺噪聲的抑制效果，在兩種典型輸入角速度情況下，取通用微孔參數(shù)和最優(yōu)微孔參數(shù)，觀察超流體陀螺的噪聲情況。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：

① 通用微孔參數(shù)：根據(jù)3.2節(jié)的研究可知，微孔孔徑的變化范圍為50 nm到95 nm微孔數(shù)量的變化范圍為2500到5625。在國(guó)內(nèi)外的研究中，最為常見的一組參數(shù)是：微孔孔徑為70 nm，微孔數(shù)量為4225，如文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]都選擇的是這組數(shù)值，因此本文把這組參數(shù)稱為通用微孔參數(shù)。微孔孔徑為70 nm，微孔數(shù)量為4225；

② 最優(yōu)微孔參數(shù)：根據(jù)上文分析可知，微孔孔徑取最大值95 nm，微孔數(shù)量取最大值5625，這時(shí)的微孔參數(shù)達(dá)到最優(yōu)；

③ 輸入角速度Ω設(shè)置為兩種典型的類型：第一種是恒定角速度，Ω=2×10-6rad/s；第二種是正弦輸入，Ω=2×10-5sin(2πt) rad/s。仿真時(shí)間為 1 s。

④ 其它參數(shù)同3.2節(jié)中的設(shè)置。

根據(jù)上述參數(shù)模擬超流體陀螺的工作過程，可得兩種典型輸入角速度情況下角速度測(cè)量值、角速度測(cè)量值的誤差如圖5～8所示。

由圖5可知，角速度恒定的情況下：超流體陀螺輸出的角速度測(cè)量值存在隨機(jī)波動(dòng)的噪聲。而取最優(yōu)微孔參數(shù)時(shí)，噪聲波動(dòng)的幅度要小于取通用微孔參數(shù)時(shí)。進(jìn)一步由圖6中的數(shù)據(jù)精確分析可知，取通用微孔參數(shù)時(shí)，角速度測(cè)量值誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差為5.7×10-8rad/(s?Hz1/2)，由于統(tǒng)計(jì)時(shí)間是 1s，此時(shí)超流體陀螺的噪聲是5.7×10-8rad/(s?Hz1/2)；取最優(yōu)微孔陣列參數(shù)時(shí)，角速度測(cè)量值誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.8×10-8rad/(s?Hz1/2)，在1 s的統(tǒng)計(jì)時(shí)間下，超流體陀螺的噪聲為 2.8×10-8rad/(s?Hz1/2)，是取通用微孔陣列參數(shù)時(shí)的約1/2。

圖5 角速度測(cè)量值（角速度恒定）Fig.5 Curve of superfluid gyroscope detecting value(the angular velocity is constant)

圖6 角速度測(cè)量值的誤差（角速度恒定）Fig.6 Curve of superfluid gyroscope detecting value error (the angular velocity is constant)

由圖7可知，角速度正弦變化的情況下，超流體陀螺輸出的角速度測(cè)量值在正弦變化的基礎(chǔ)上疊加了隨機(jī)噪聲。同樣，取最優(yōu)微孔參數(shù)時(shí)，噪聲波動(dòng)的幅度要小于取通用微孔參數(shù)時(shí)。由圖8中的數(shù)據(jù)分析可知，由于此時(shí)的角速度是時(shí)變的，通過超流體陀螺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的解算，角速度測(cè)量值誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差比測(cè)量恒定角速度時(shí)要大一些，約為9.2×10-8rad/(s?Hz1/2)。在1 s的統(tǒng)計(jì)時(shí)間里，超流體陀螺的噪聲為 9.2×10-8rad/(s?Hz1/2)。采用最優(yōu)微孔陣列參數(shù)，角速度測(cè)量值誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差約為4.7×10-8rad/(s?Hz1/2)。在1 s的統(tǒng)計(jì)時(shí)間內(nèi)，超流體陀螺的噪聲為4.7×10-8rad/(s?Hz1/2)，也是取通用微孔陣列參數(shù)時(shí)的約1/2。

圖7 角速度測(cè)量值（角速度正弦變化）Fig.7 Curve of superfluid gyroscope detecting value (the angular velocity is sinusoidal change)

圖8 角速度測(cè)量值的誤差（角速度正弦變化）Fig.8 Curve of superfluid gyroscope detecting value error(the angular velocity is sinusoidal change)

根據(jù)以上分析可知，采用最優(yōu)微孔陣列參數(shù)，在角速度恒定和角速度時(shí)變兩種典型情況下，超流體陀螺的噪聲得到了有效抑制。

4 結(jié) 論

為了使得超流體陀螺能發(fā)揮其高測(cè)量精度的潛力，提出了基于微孔參數(shù)優(yōu)化的超流體陀螺噪聲抑制方法。由分析結(jié)果可知，隨著微孔孔徑和微孔數(shù)量的增加，超流體陀螺的噪聲逐漸減小。

微孔孔徑最大只能達(dá)到弱連接的臨界孔徑。受到超流體管路尺寸的限制，微孔數(shù)量也只能在一定范圍之內(nèi)。通過對(duì)微孔參數(shù)變化范圍的研究，當(dāng)前最優(yōu)的陣列參數(shù)是：微孔孔徑為95 nm，微孔數(shù)量為5625?；谧顑?yōu)微孔參數(shù)，超流體陀螺的噪聲被抑制為取通用參數(shù)（微孔孔徑為70 nm，微孔數(shù)量為4225）時(shí)的1/2，超流體陀螺的測(cè)量精度得到了顯著提高。