[摘 要]數(shù)學(xué)物理方法是高校理工科專業(yè)的一門專業(yè)必修課，對學(xué)生后續(xù)理論和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力的培養(yǎng)都具有非常重要的作用。文章重點研究數(shù)學(xué)物理方法與后續(xù)理論物理專業(yè)課程之間的融合銜接，為適應(yīng)新時期的教學(xué)特點和要求，不斷提高課程的教學(xué)質(zhì)量和效果，提出了一些數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)改革的建議。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)物理方法;理論物理;專業(yè)課程;融合銜接

[基金項目]2020年中山大學(xué)校級本科教學(xué)質(zhì)量類工程項目“數(shù)學(xué)物理方法和專業(yè)課程的銜接研究”（76180-31911131）

[作者簡介]余招賢（1964—），男，湖北黃岡人，凝聚態(tài)物理博士，中山大學(xué)材料學(xué)院副教授，主要從事大學(xué)基礎(chǔ)物理和數(shù)學(xué)的教學(xué)工作。

[中圖分類號] G642.0[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）46-0-03[收稿日期] 2020-08-27

數(shù)學(xué)物理方法是高等院校理工科普遍開設(shè)的一門專業(yè)必修課，它既是高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的延續(xù)，又是在普通物理基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)理論物理和高級專業(yè)課程的前提和準(zhǔn)備，在大學(xué)基礎(chǔ)和專業(yè)課程中起到承前啟后的融合銜接作用。數(shù)學(xué)物理方法顧名思義是數(shù)學(xué)和物理的融合，是連通基礎(chǔ)和專業(yè)的橋梁，是在專業(yè)學(xué)習(xí)中解決和探索各種科學(xué)問題的知識庫，所以數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)目標(biāo)就是要重點介紹物理學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法[1，2]，包括如何把各種現(xiàn)實的物理問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)物理方程的定解問題，掌握求解這些定解問題的基本方法和技巧。通過數(shù)學(xué)物理方法的學(xué)習(xí)不僅要為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程提供足夠的數(shù)學(xué)儲備，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)和物理思想解決實際問題的能力，長遠目標(biāo)則是開拓創(chuàng)新思維的培養(yǎng)和高端創(chuàng)新人才的培育。

數(shù)學(xué)物理方法的中心主題是數(shù)學(xué)和物理，如何處理好數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，始終是一個關(guān)鍵中的關(guān)鍵問題。雖然數(shù)學(xué)物理方法的著力點看似在數(shù)學(xué)，但它與理論物理學(xué)的四大力學(xué)和許多進階專業(yè)課程息息相關(guān)，凸顯其在理論物理和專業(yè)課程中的基礎(chǔ)地位。只有學(xué)好數(shù)學(xué)物理方法，學(xué)生在四大力學(xué)和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中才能夠聚焦物理，得心應(yīng)手，事半功倍，否則將舉步維艱，難以順利完成四大力學(xué)和其他高級專業(yè)課程的學(xué)習(xí)任務(wù)。另外，數(shù)學(xué)物理方法尤其是數(shù)學(xué)物理方程在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力、理論分析能力和創(chuàng)新思維能力方面具有至關(guān)重要的作用，所以說數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)效果直接關(guān)系能否培養(yǎng)出高質(zhì)量的大學(xué)生和創(chuàng)新人才。由于數(shù)學(xué)物理方法的課程特點，它既與大量物理問題密切相關(guān)，同時又涉及廣泛的數(shù)學(xué)知識，加之教學(xué)時數(shù)限制，導(dǎo)致本課程被大家公認為大學(xué)本科階段教和學(xué)難度最高的課程之一。同時我們也要看到，在長期形成的數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)中還存在一些突出問題，例如教學(xué)內(nèi)容多而繁雜，部分內(nèi)容有點過時，與現(xiàn)今的理論和專業(yè)課程體系脫節(jié)，導(dǎo)致內(nèi)容與學(xué)時沖突;教學(xué)模式比較單一，教學(xué)方法比較陳舊，學(xué)生普遍畏難，教學(xué)效果欠佳[3，4]。如何改革這門難教難學(xué)的課程，如何使數(shù)學(xué)物理方法與后續(xù)課程更好地銜接，如何使教學(xué)內(nèi)容更加適應(yīng)現(xiàn)代化專業(yè)人才培養(yǎng)的需要，我們結(jié)合物理和材料專業(yè)的特點，針對教學(xué)實踐中出現(xiàn)的上述問題，對數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法進行了實踐和探索。

一、數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系

對材料和物理專業(yè)來說，數(shù)學(xué)物理方法決不能簡單當(dāng)作一門數(shù)學(xué)課程進行教學(xué)，因為它不僅是數(shù)學(xué)課程，更應(yīng)該看作是數(shù)學(xué)物理交叉課程。在組織數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)時，可以首先確定兩條平行主線。第一條是物理的主線，就是把物理分析始終滲透到課程的各個教學(xué)環(huán)節(jié)中。作為具有物理背景的教師，在進行數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)過程中，切忌花費太多時間和精力在數(shù)學(xué)公式證明和運算之上，應(yīng)該更多地強調(diào)和挖掘課程的物理內(nèi)涵，充分考慮材料和物理專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)和課程設(shè)置，在確保數(shù)學(xué)知識完整性和準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，加強對運用數(shù)學(xué)知識處理實際問題的物理背景的闡述，側(cè)重物理思想和數(shù)學(xué)方法之間的有效融合，強調(diào)最終得到問題解和結(jié)論的物理意義。另外一條教學(xué)主線，可以考慮以本征值本征函數(shù)為核心進行課程串聯(lián)，因為本征值本征函數(shù)和函數(shù)按本征函數(shù)展開的思想在數(shù)學(xué)物理方程中有著廣泛的應(yīng)用。例如求解數(shù)學(xué)物理方程定解問題的主要方法是分離變量法，而分離變量法的核心思想就是求解本征值，在不同的坐標(biāo)系中有完全不同的本征值問題，得到的本征函數(shù)包括三角函數(shù)、勒讓德函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、球函數(shù)等，這些本征函數(shù)具有正交性、完備性和歸一性。在此基礎(chǔ)上對各種數(shù)理方程定解問題的求解都變成順理成章的事情了，只要熟練掌握本征值本征函數(shù)以及函數(shù)按本征函數(shù)展開這些知識點，對于學(xué)好用好數(shù)學(xué)物理方程解決各種物理問題都有巨大的幫助，這樣我們的教學(xué)內(nèi)容和方法不僅有清晰的主線，而且符合物理和數(shù)學(xué)彼此相長的融合關(guān)系。

在確定教學(xué)主線的前提下，對于具體教學(xué)內(nèi)容的增減，都要以處理好數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系為原則。例如在介紹解析函數(shù)的時候，除了因為它在復(fù)變函數(shù)中的核心地位之外，還要特別強調(diào)它在表達無源無旋平面場的特殊優(yōu)勢，使其能夠簡單高效地處理電磁學(xué)、流體力學(xué)等相關(guān)平面場問題。在介紹復(fù)變函數(shù)留數(shù)定理時，不僅要闡明它在復(fù)變函數(shù)積分和廣義積分計算中的重要作用，更要突出它能夠解決這些反常積分大多來源于物理各學(xué)科，對它們的定量和解析計算非常有益于理論分析和研究。數(shù)學(xué)物理方程就是物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達，它往往反映的是此點此時刻的物理量與其臨近點和臨近時刻物理量之間的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)上體現(xiàn)出來的就是微分或偏微分方程，這些方程能夠描述一大類廣泛物理現(xiàn)象的共性。在教學(xué)中重點介紹波動方程、輸運方程和穩(wěn)定場方程三大類經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程。這里首先要使學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)這三類方程，在推導(dǎo)這些方程時不必強調(diào)數(shù)學(xué)建模方法，必須要強調(diào)的是隱藏在方程后面的物理背景和物理規(guī)律，為了簡化問題的復(fù)雜性而忽略了哪些次要的因素，從而得到了簡單而又不失代表性的方程。例如張緊的一維均勻柔軟弦的橫向振動，一維均勻彈性桿的縱向振動都滿足一維波動方程，二維均勻薄膜的自由橫向振動則滿足二維波動方程，聲波和水波同樣滿足三維波動方程。根據(jù)麥克斯韋電磁理論，真空或介質(zhì)中變化的電場和磁場可以相互激發(fā)，自然形成由波源向外傳播的電磁波，它們當(dāng)然也滿足三維波動方程。所以說波動方程描述了大量的物理現(xiàn)象，本質(zhì)上都是表示物理量的振動狀態(tài)的傳播，這些物理現(xiàn)象和過程都有一定的共性，滿足相同形式的波動方程，所以在數(shù)學(xué)物理方程中介紹波動方程及其解法具有非常重要的理論和現(xiàn)實意義。在教學(xué)中我們一定要講清楚數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，使學(xué)生明白這里的數(shù)學(xué)源自物理問題，是為解決物理問題而引進的，是物理中的數(shù)學(xué)。

二、與專業(yè)課程的關(guān)系

數(shù)學(xué)物理方法作為數(shù)學(xué)聯(lián)系物理、材料、工程和技術(shù)等學(xué)科的橋梁，不僅是理工科學(xué)生進一步學(xué)習(xí)各種專業(yè)課程的必備基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)和物理知識解決實際問題關(guān)鍵能力的重要途徑。數(shù)學(xué)物理方法既涉及大學(xué)初級課程，如高等數(shù)學(xué)和普通物理，又與后續(xù)高級課程理論物理四大力學(xué)等密切相關(guān)，對這門課程的學(xué)習(xí)效果如何，將直接影響到理論物理和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)能否順利完成，也關(guān)系到學(xué)生運用理論知識定量分析和解決問題的能力培養(yǎng)。

首先，數(shù)學(xué)物理方法是普通物理和四大力學(xué)的黏合劑。普通物理的力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、原子物理升級到理論力學(xué)（分析力學(xué)）、熱力學(xué)和統(tǒng)計物理、電動力學(xué)和量子力學(xué)，不僅是物理規(guī)律的總結(jié)和提高，更多表現(xiàn)出來的是數(shù)學(xué)工具的升級。簡單統(tǒng)計一下就可以看到四大力學(xué)的數(shù)學(xué)清單：調(diào)和函數(shù)、級數(shù)展開、廣義積分、留數(shù)定理、數(shù)理方程、分離變量法、格林函數(shù)法、正交曲線坐標(biāo)系、泛函與變分、傅里葉變換、拉普拉斯變換、δ函數(shù)、特殊函數(shù)等。這些在四大力學(xué)中頻頻出現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識必須作為數(shù)學(xué)物理方法的核心內(nèi)容保留，它們是理論物理課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和必要工具。

其次，除了四大力學(xué)之外，還要處理好數(shù)學(xué)物理方法與后續(xù)專業(yè)課程之間的關(guān)系，以更全面更專業(yè)的視角處理教學(xué)內(nèi)容，需要了解本專業(yè)后續(xù)課程的數(shù)學(xué)使用情況，根據(jù)后續(xù)專業(yè)課程的特點適當(dāng)補充和刪減教學(xué)內(nèi)容是極其重要的。把數(shù)學(xué)物理方法中的知識與其他課程的內(nèi)容緊密聯(lián)系起來，針對學(xué)生們不明白這些數(shù)學(xué)知識與物理有哪些關(guān)系的困惑，我們在對物理學(xué)和材料專業(yè)的學(xué)生授課中講到解析函數(shù)中的實部和虛部可以代表物理中的平面場，介紹拉普拉斯方程和泊松方程時，強調(diào)它們可以用來描述電動力學(xué)中的靜電場和靜磁場問題，這些方程可用分離變量法、格林函數(shù)法、電象法對其進行求解和研究。在介紹輸運方程時，指明它不僅能夠描述物質(zhì)和熱量的擴散，而且由于擴散方程的形式和量子力學(xué)的薛定諤方程很相似，所以它的解法同樣可以推廣至量子力學(xué)方程的求解。這樣學(xué)生們清楚地認識到，這不只是一門單純的數(shù)學(xué)課程，以后他們有能力也有必要把數(shù)學(xué)物理方法中學(xué)到的知識應(yīng)用到其他課程的學(xué)習(xí)當(dāng)中，順利完成大學(xué)階段的學(xué)習(xí)任務(wù)就有了堅實基礎(chǔ)。

三、與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法對高等數(shù)學(xué)知識有著較高的要求，首先檢驗的就是學(xué)生的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是否全面和扎實，對于基礎(chǔ)薄弱的部分應(yīng)該補充和加強，特別是那些因為各種原因被淡化甚至忽略的知識，在數(shù)學(xué)物理方法的學(xué)習(xí)中可能是必不可少的重要工具。例如傅里葉級數(shù)在高等數(shù)學(xué)中可能只是簡單提及，但在分離變量法求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問題時，由于本征函數(shù)往往是三角函數(shù)，根據(jù)定解條件定解時，需要將函數(shù)按本征函數(shù)展開為無窮級數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級數(shù)。即使本征函數(shù)不是三角函數(shù)，而是勒讓德函數(shù)、貝塞爾函數(shù)之類的其他函數(shù)，這種函數(shù)按本征函數(shù)展開的方法仍然適用，這時可稱為廣義傅里葉級數(shù)，所以傅里葉級數(shù)所對應(yīng)的三角函數(shù)系是更廣泛的本征函數(shù)系的一個特例，它們都具有本征函數(shù)的正交歸一和完備性，從這個角度理解和加強學(xué)生對傅里葉級數(shù)的認識和應(yīng)用是非常必要的。另外為了得到本征值和本征函數(shù)，求解本征值問題是關(guān)鍵，其核心就是求解常（變）系數(shù)微分方程，所以不僅要對高數(shù)中未能重視的常系數(shù)微分方程求解復(fù)習(xí)和鞏固，還要對一些特殊變系數(shù)微分方程的解法予以特別重視，例如勒讓德方程、貝塞爾方程和歐拉方程等。另外還可以補充一些非齊次微分方程的解法和應(yīng)用。通過對上述高數(shù)知識點的補充和加強，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的過程中克服學(xué)習(xí)恐懼，事倍功半，盡快地進入到數(shù)學(xué)物理方法的正常學(xué)習(xí)狀態(tài)。

四、與多媒體教學(xué)的關(guān)系

數(shù)學(xué)物理方法是一門難度較高的專業(yè)課程，因其公式繁多，計算復(fù)雜，內(nèi)容廣泛，抽象晦澀，學(xué)生怕學(xué)，教師難教，對教和學(xué)都是一個挑戰(zhàn)。在傳統(tǒng)教學(xué)方法中一般采用教師板書為主，學(xué)生記錄筆記以備課后之需。這種教學(xué)方式有其優(yōu)勢，教師能夠突出重點，學(xué)生有足夠的時間消化課堂內(nèi)容，當(dāng)然缺點也是明顯的，就是課堂效率不高，課程進度緩慢，在理論課時普遍壓縮的大環(huán)境下，矛盾尤其突出。隨著計算機和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的普及應(yīng)用，多媒體教學(xué)已經(jīng)成為新的潮流，它具有信息豐富，圖文并茂，互動性強等優(yōu)點，大大提高教學(xué)效率，為課堂教學(xué)改革開辟了新的路徑，理所當(dāng)然地受到越來越多老師和學(xué)生的歡迎。不過我們也要清醒地認識到，多媒體教學(xué)有利有弊，特別是在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)過程中如何適度使用多媒體，是一個值得認真探討和實踐的問題。

首先，需要研究在數(shù)學(xué)物理方法中哪些特定內(nèi)容適合多媒體教學(xué)，才能達到理想的學(xué)習(xí)效果。具體考慮就是把數(shù)學(xué)軟件Matlab，Mathcad等引入教學(xué)，可以將課程中一些抽象的理論結(jié)果和復(fù)雜公式等借助數(shù)值和圖形演示出來。例如分離變量法得到的解析解，一般都是非常復(fù)雜的無窮級數(shù)，很難直接看清它的變化趨勢和物理意義，如果通過數(shù)值計算和圖形技術(shù)把結(jié)果直觀地演示，不僅能夠幫助學(xué)生理解和接受解的物理意義，還有助于引導(dǎo)學(xué)生的形象思維和節(jié)省板書時間。再如應(yīng)用分離變量法求解數(shù)學(xué)物理方程得到的都是解析解，分離變量法適用的情況畢竟是有限的，更多的情況是我們無法得到解析解。這時候我們還可以利用數(shù)學(xué)軟件自帶的強大計算功能，只要輸入方程和定解條件，就可以快速得到數(shù)學(xué)物理方程的近似解，并且在屏幕上把解的圖像直接呈現(xiàn)，使學(xué)生了解解析解和近似解的區(qū)別和用途。

其次，考慮到本課程注重培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和分析問題的能力，所以對一些重點和難點內(nèi)容，還是要結(jié)合較多的板書推算，否則教學(xué)效果是不理想的。多媒體教學(xué)的最大短板就是學(xué)生在課堂上接收信息太多太快，記憶和理解時間太短，思維無法跟上課堂節(jié)奏，課后也不能很好地消化吸收，使多媒體教學(xué)的效果大打折扣。為了克服多媒體教學(xué)的不足，板書在數(shù)學(xué)物理方法課堂上仍然不能缺席，教師在使用多媒體教學(xué)時，同步配合板書講解重點和難點，強化學(xué)生對重點內(nèi)容的理解與掌握還是非常必要的。

五、結(jié)論

本文重點討論了數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)中的幾個熱點問題，包括數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，數(shù)學(xué)物理方法與理論物理、高等數(shù)學(xué)、其他專業(yè)課程的銜接。通過多學(xué)期理論物理和數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)實踐，初步確定一套符合現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)人才培養(yǎng)的專業(yè)需要，滿足后續(xù)理論物理和專業(yè)課程的數(shù)學(xué)需求，與現(xiàn)時的教學(xué)時數(shù)相適應(yīng)的教學(xué)方案。同時引進數(shù)學(xué)軟件和多媒體技術(shù)制作部分內(nèi)容課件和演示，結(jié)合傳統(tǒng)板書講解重點難點，以期達到良好的教學(xué)效果和效率。

參考文獻

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Abstract： Methods of Mathematical Physics is a required course for science and engineering majors in colleges and universities， which plays an important role in the study of students' subsequent theoretical and professional courses， as well as the cultivation of innovative thinking and application ability. This paper focuses on the integration and connection of Methods of Mathematical Physics and subsequent theoretical physics courses. In order to adapt to the teaching features and requirements of the new era and constantly improve the teaching quality and effect， this paper proposes some ideas and suggestions on the teaching reform of the course of Methods of Mathematical Physics.

Key words： Methods of Mathematical Physics; theoretical physics; professional courses; integration and connection