(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昭通 657000)

德國數(shù)學(xué)家康托爾，1872年至1893年間發(fā)表了一系列著述，建立了集合論，他首次引進無窮集合的概念，并證明了實數(shù)集合的不可數(shù)性，創(chuàng)立“超窮數(shù)”理論，提出了自然數(shù)集的基數(shù)與實數(shù)集基數(shù)之間不存在中間基數(shù)的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”；為了將有窮集合的元素個數(shù)的概念推廣到無窮集合，他以一一對應(yīng)為原則，提出了集合等價的概念。證明了一般的N維空間可以與直線建立一一對應(yīng)。這一結(jié)果連他自己也感到莫名驚詫，他說：“我發(fā)現(xiàn)了它，但簡直不敢相信”?？低袪柹羁探沂玖藷o窮的本質(zhì)特性，從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，促進了數(shù)學(xué)新分支的建立和發(fā)展。

康托爾對于數(shù)學(xué)中無窮問題的深邃洞察力令數(shù)學(xué)、哲學(xué)界為之震驚，不僅成為數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，還給邏輯和哲學(xué)帶來了深遠的影響。他認(rèn)為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由”。希爾伯特認(rèn)為，關(guān)于無限的本性的根本的闡述，并非只屬于專門科學(xué)興趣的范圍，而是人類理智的尊嚴(yán)本身所需要的”。[1]212他稱贊康托爾的集合論“是人類理智活動最漂亮的成果”，羅素說康托爾的成就“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”。[2]

雖然康托爾的理論，受到一些數(shù)學(xué)家的反對與質(zhì)疑，如他的老師克羅內(nèi)克稱康托爾“走進了超限數(shù)的地獄”，攻擊康托爾的思想是“最具獸性的見解”。但仍有不少數(shù)學(xué)家堅定支持康托爾，并迫不及待地以他創(chuàng)立的集合論為思想武器，開展了重構(gòu)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論研究。第一個重大進展是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾所構(gòu)造的算術(shù)公理系統(tǒng)，他在1889年發(fā)表的《算術(shù)原理新方法》一書中，建立了嚴(yán)密的自然數(shù)理論，皮亞諾引入五條公理描述自然數(shù)的性質(zhì)：

1) 1是自然數(shù).

2) 每一個自然數(shù)n，其后繼數(shù)S(n)亦為自然數(shù).

3) 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù).

4) 不同自然數(shù)有不同的后繼者.

5) 數(shù)學(xué)歸納法原則.

皮亞諾自然數(shù)公理體系中的歸納公理，即：自然數(shù)N的任一子集M，如果1∈M，并且只要X在M中就能推出X的后繼者也在M中，那么M=N?？吕手赋觯骸熬拖窠邮芎唵蔚钠胀ㄟ壿嬕?guī)則那樣，我們將毫不猶豫地接受它，并把這作為數(shù)學(xué)推理的一個基本原則?！盵3]數(shù)學(xué)歸納法是以一種很不同的方式來證明無窮序列情形都是正確的數(shù)學(xué)定理。

在皮亞諾的自然數(shù)體系中，通過定義減法可以得到整數(shù)系，再引入除法可以很自然地建立有理數(shù)體系。皮亞諾公理系統(tǒng)極為簡明地給出了自然數(shù)集合的性質(zhì)，并深刻揭示了有限與無限之間的對立和統(tǒng)一。之后，康托爾通過有理數(shù)序列的極限，戴德金通過對有理數(shù)集合進行“分割”的思想，分別建立了理論完備的實數(shù)系，為微積分學(xué)建立了一個堅實的基礎(chǔ)。1900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國數(shù)學(xué)大師龐加萊曾滿懷信心地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格性已經(jīng)達到”。

正當(dāng)數(shù)學(xué)家們額手相慶，以為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立之際，1903年，“羅素悖論”的出現(xiàn)震驚了數(shù)學(xué)界，其直觀含義可用自然語言闡述為：把所有集合分為兩類：(1)正常集合，其特點是集合本身不能作為自己的一個元素。例如由個人組成的人類社會集合并不是一個人；所有自然數(shù)組成的集合并非自然數(shù)。(2)非正常集合，其特點是該集合本身也屬于自己的一個元素。如一切集合的集合仍舊是一個集合；所有觀念的集合仍然是一個觀念等?，F(xiàn)實生活中也存在非正常集合的例子，如所有市場組成的集合仍然是一個統(tǒng)一的大市場；由一切圖書館組成的聯(lián)盟仍可看作一個超大圖書館。

現(xiàn)假設(shè)S是由所有正常集合組成的一個集合，那么S究竟是正常集合還是非正常集合，或者說S屬不屬于它自身？若S∈S，則S是非正常集合，結(jié)果S∈S；如果S?S，則S是一正常集合，所以S∈S。不論S是否為正常集合都導(dǎo)致矛盾，其悖論性的表現(xiàn)正是：S屬于當(dāng)且僅當(dāng)S不屬于S。策梅羅也曾獨立地發(fā)現(xiàn)過這一悖論，故又稱之為“羅素—策梅羅悖論”。對此，丹齊克寫道：“這正好發(fā)生在當(dāng)康托爾征服了他的第一批反對者的頑強抵抗，有充分的理由相信他的原理已經(jīng)大獲全勝的時候。……這一回，就像應(yīng)用實際無限于數(shù)學(xué)是否合法的問題一樣，康托爾的方法和演繹是否有效的問題再次發(fā)生了?！盵4]187

1 無窮性問題引發(fā)的集合悖論

集合論的中心難點，也在于如何處理無窮集合的問題。正如希爾伯特所言：“數(shù)學(xué)文獻中充滿著許多源自無限的愚蠢和荒謬的東西”。他認(rèn)為“數(shù)學(xué)中的無限這一概念的意義一直沒有完全解釋清楚”[1]211。在羅素之前，集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。1897年，布拉里—福蒂提出了最大序數(shù)悖論。設(shè)W為由序數(shù)全體構(gòu)成的集合：W={0，1，2，3，…，w，…}，則W為良序集。又設(shè)Ω為W的序數(shù)，作為W元素的序數(shù)都比Ω小，但是，W是一切序數(shù)的集合，所以序數(shù)Ω也為W的元素，因此必然導(dǎo)致Ω<Ω的矛盾。

“一切”這個名詞如果要在數(shù)學(xué)上使用的話，應(yīng)該怎樣使用才對？如果這個名詞能夠自由地使用于心中所能設(shè)想的任何動作的話，那么我們便可以說一切集合的集合。現(xiàn)在，如果這是一個康托爾意義的集合，則它必定也有一個基數(shù)。這個超限數(shù)就是“所能設(shè)想的最大數(shù)”，因為，難道我們能夠設(shè)想出一個集合，其勢大于一切集合的集合嗎？所以，這個基數(shù)是最后的超限數(shù)，它是我們名之曰數(shù)的這個抽象物在其進化中的真正超終極的一步了！然而，剛剛不是說過：沒有最后的超限數(shù)嗎！[4]187-188

羅素悖論不僅觸動了邏輯學(xué)，而且沖擊了集合論，甚至動搖了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。希爾伯特就曾宣稱這個悖論對數(shù)學(xué)界有著災(zāi)難性的后果。既然非歐幾何的無矛盾性和微積分理論的基礎(chǔ)最終都化為對集合論的研究，若集合論出現(xiàn)了邏輯矛盾，那么幾何學(xué)和微積分的可靠性也將令人擔(dān)憂。

羅素認(rèn)為，集合論產(chǎn)生悖論的根源在于使用了自我指稱的定義，即一個總體的元素、分子或部分直接或間接地又指稱這個總體本身，或者要通過這個總體來定義或說明。如：由多于5個元素的集合組成的集合，這一定義也包含了該集合自身；由所有不多于25個字可以定義的集合S，也包含S。羅素說：“一切悖論……都有一個共同的特征，我們稱之為自我指稱性或自返性?！薄斑@種惡性循環(huán)起源于這樣的假定：對象的一個匯集可以包含只能用作為一個整體的匯集加以定義的那些分子”。[7]策梅羅指出古典分析也使用了自我指稱的定義，可能包含著悖論，但并非所有的自我指稱的定義都會導(dǎo)致悖論。

羅素認(rèn)為數(shù)學(xué)只不過是邏輯的一個分支，或者說，數(shù)學(xué)可以化歸為邏輯。數(shù)學(xué)的概念須用邏輯的概念而定義，數(shù)學(xué)的定理須作為邏輯的定理而證明。對此，外爾評論說：“古典邏輯是從有窮集及其子集的數(shù)學(xué)中抽象出來的，……后來人們忘記了這個有限的來源了，誤把邏輯當(dāng)作高于一切數(shù)學(xué)的東西，最后又毫無根據(jù)地把它應(yīng)用到無窮集的數(shù)學(xué)上去”。他說：“把所有自然數(shù)的全體當(dāng)作是具有存在的特性的，……，這是我們的困難的根源，悖論的根源也在這里——這個根源比之羅素的惡性循環(huán)原則所指出的具有更根本的性質(zhì)”。[8]50康托爾不可數(shù)無限集合極其豐富的內(nèi)容，實質(zhì)上已成為有別于數(shù)論的關(guān)于無限的數(shù)學(xué)理論。許多長期困擾數(shù)學(xué)家的疑難問題，歸根到底其實是對無限集合系統(tǒng)認(rèn)識的不完全性問題而不是方法的局限所致。[9]

2 語義悖論與集合的定義

羅素悖論與其他悖論不同，它非常淺顯易懂，只與“集合”、“元素”、“屬于”和一個基本集合論原則——概括原則有關(guān)。其構(gòu)成也十分清楚明白，與任何“技術(shù)性”問題無關(guān)。只要把羅素悖論的陳述稍加修改，也可用邏輯學(xué)的術(shù)語代替集合論中的術(shù)語，即可在最基本的邏輯形式中得出羅素悖論：一個性質(zhì)叫做“自謂的”，如果它可以施用于自己，例如“抽象”一詞的性質(zhì)是抽象的，它本身是自謂的；不能施用于自己則是“非自謂的”，如“具體”一詞的含義仍然是抽象的，故其性質(zhì)是非自謂的。[8]38那么“非自謂的”這一性質(zhì)究竟是自謂的還是非自謂的？

1925年，英國數(shù)學(xué)家拉姆塞首次把當(dāng)時已知的悖論分為邏輯—數(shù)學(xué)悖論及語義悖論兩大類。邏輯—數(shù)學(xué)悖論出現(xiàn)于數(shù)學(xué)中，與元素、類、或集合、屬于和不屬于、基數(shù)和序數(shù)等數(shù)學(xué)概念相關(guān)，因為不涉及具體事物的內(nèi)容，可用符號邏輯體系語言表達，又稱為“語形悖論”。語義悖論則并非純邏輯和純數(shù)學(xué)的，而是與一些心理或語義概念密切相關(guān)，涉及意義、指稱、斷定、真假等問題。羅素悖論、布拉里—福蒂悖論、康托爾最大基數(shù)悖論等都屬于“語形悖論”。歷史上最著名的語義悖論是“說謊者悖論”，此外還有古希臘哲學(xué)家歐布利德提出的“谷堆悖論”及“貝里悖論”等。

說謊者悖論據(jù)《圣經(jīng)·新約·提多書》記載，早在公元前六世紀(jì)，克里特島的先知(埃匹門尼德)說過一句著名的話：“克里特人總是說謊者……”這其中包含了一個有趣的悖論。如果我們堅信這句話，那么作為克里特島人的埃匹門尼德也必然是個說謊者，結(jié)果他的話又不能當(dāng)真了；若他說的是假話，則有的克里特島人不說謊，他又可能是說真話的人。雖然假設(shè)該話為假，未必會導(dǎo)致矛盾，但設(shè)它為真，卻可推出其必然為假的結(jié)論，也足以令人稱奇了。如果我們想依靠有些克里特島人曾經(jīng)有時說過真話的歷史事實，來解脫這個悖論，在邏輯上是不能令人滿意的。公元前四世紀(jì)，麥加拉派的歐布里德斯把埃匹門尼德的話，改為一個更加嚴(yán)格的悖論命題：

一個人說：我現(xiàn)在說的這句話是假話。

由這句話可以斷定，這個人說真話，當(dāng)且僅當(dāng)這個人說假話。對此，古希臘哲人克呂西波認(rèn)為說這句話的人只不過是發(fā)出一些聲音罷了，除此之外什么也沒表示[10]。歷史上，說謊者悖論有許多變形，歐洲中世紀(jì)的哲學(xué)家對此做過許多專門而精深的研究。悖論一直是邏輯學(xué)家、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家研究的熱門話題。

谷堆悖論歐布利德認(rèn)為：一粒谷子是不能形成谷堆的，再加一粒也不能形成谷堆，如果每次只加一粒谷子，而每粒谷子都是不能成為谷堆的，所以，谷子是不能成堆的。

貝里悖論1906年，劍橋大學(xué)圖書館員貝里提出一個語義悖論，其意思若用漢語表述則為：“不能用少于二十二個字而命名的最小自然數(shù)”。但實際上這個表達式只用了19個字就確定了一個自然數(shù)，可是依照定義，該自然數(shù)是不能由少于二十二個字而確定的！

上述語義悖論雖然不是數(shù)學(xué)問題，但同時也都涉及元素與集合的概念，如克里特島人、谷堆、被刮臉人等分別組成的集合。而且在所涉及的集合中，命題都是自相矛盾的，這無疑對康托爾集合論構(gòu)成了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。

最大基數(shù)悖論、布拉里—福蒂悖論以及羅素悖論，都揭示了在康托爾樸素集合論中，存在邏輯基礎(chǔ)不夠嚴(yán)密的問題。羅素和懷特海認(rèn)為，悖論的根源在于集合的定義中出現(xiàn)循環(huán)定義，即一個對象集合包含著只能用該集合自身才能定義的元素，或者說，用某一對象類定義一個對象，而這個對象又包含著所要定義的對象。1899年，康托爾在給戴德金的信中曾提到，不能談?wù)摗耙磺屑辖M成的集合”，但禁止所有集合的集合是與康托爾定義的集合相沖突的。

康托爾曾經(jīng)把集合定義為“把我們的感覺或思維所確定的不同對象(稱之為集合的元素)匯合成一個總體?！边@并不是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是描述性的說明。康托爾集合由外延原則(集合是由它的元素完全決定的)和概括原則(亦即一條性質(zhì)決定一個集合)所確定。

根據(jù)概括原則，任意的對象都可以作為集合的元素，集合也可以作為集合的元素。特別是如果允許存在“所有集合的集合”，那么將導(dǎo)致康托爾的最大基數(shù)悖論。如禁止所有基數(shù)的集，便不能引入所有自然數(shù)集。此外，由概括原則可得到如下集合：

T={x|x?x}

那么T是否屬于T呢？這就是羅素悖論的根源之所在。該悖論的出現(xiàn)說明應(yīng)當(dāng)修改概括原則。對此，數(shù)學(xué)家提出了不同的方案對集合定義加以限制，希望以此消除其中的悖論。

3 公理集合論對悖論的規(guī)避

集合論產(chǎn)生悖論的根源在于集合定義中的自我指稱、否定性概念以及與總體、無限的關(guān)系?？肆种赋觥胺侵敝^”的定義為：如一集M與一特定客體m用下法定義，一方面m為M的元素，另一方面，m的定義依賴于M，就說這種定義是非直謂的。與之相反的“直謂定義”則是：當(dāng)需要給出一個整體對象的定義時，要求定義該整體對象的謂詞必須與要定義的對象的整體性內(nèi)容完全獨立。從邏輯的觀點看，非直謂是自我纏繞或循環(huán)的，因為被定義的東西已經(jīng)滲透到定義中去了。羅素指出，沒有一個總體能夠包含下列兩種元素：它只能由該總體而定義，它或者包括或者預(yù)先假定該總體。但經(jīng)典數(shù)學(xué)中就有不少非直謂性的定義，著名數(shù)學(xué)家外爾曾做過巨大的努力，希望清除或改寫這些定義，雖然成果豐碩，但未能徹底解決。[8]44

1908年，德國數(shù)學(xué)家策梅羅首先提出公理集合論思想，為了排除“所有集合的集合”那樣的超大集合，避免矛盾，對集合作了一些必要的限制。他提出七條公理：

(1)外延公理：對集合S和T，如果S?T且T?S，那么S=T。

(2)初等集合公理：存在一個沒有元素的集合，叫做空集。對任一集合中的元素a和b，存在集合{a}，{a,b}。

(3)分離公理：對于集合S，命題函數(shù)是確定的p(x)，那么有集合T，它恰好只包含了那些x∈S，使得p(x)為真。

(4)冪集合公理：若S是一個集合，則S的冪集p(S)是一個集合。(S的冪集即S的所有子集構(gòu)成的集合)

(5)并集合公理：若S是一個集合，則S的并是一個集合。

(6)選擇公理：若S是非空集合的一個不交集，則有S的并的一個子集T，它與S中的每一個成員恰有一個公共元。

(7)無窮公理：存在一個包含空集的集合Z，使得對每一個對象a，若a∈Z，則{a}∈Z。[11]

策梅羅并未區(qū)分集合與集合的屬性，兩者被視為同義語使用。1922年，弗蘭克找出了集合的屬性與集合本身之間的區(qū)別，對策梅羅公理進行補充和改進，使之成為了現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的策梅羅——弗蘭克公理系統(tǒng)，簡記為ZF統(tǒng)(增加了正則公理、無序?qū)洗嬖诠砗吞鎿Q公理)。ZF系統(tǒng)一般不包括有爭議的選擇公理，因為從選擇公理中推出了所謂的“分球悖論”，即把一個球面經(jīng)過有限剖分之后，可再拼成同半徑的兩個球面。這個結(jié)果明顯與人們的經(jīng)驗及經(jīng)典的數(shù)學(xué)相矛盾。但選擇公理又是許多學(xué)科基本定理的前提，特別是抽象代數(shù)中更是必不可少的重要公理。如果加上選擇公理(記作AC)，則稱其為ZFC系統(tǒng)。策梅羅的集合公理化系統(tǒng)，彌補了康托爾樸素集合論的缺陷，成功地消除了所有已知的集合論悖論。

此外，還有一些數(shù)學(xué)家，也提出和建立了不同的公理集合論。例如，馮諾依曼認(rèn)為產(chǎn)生悖論的原因不是由于使用了太大的集合，而是由于這些集合被用作了別的集合的元素。只要不承認(rèn)任何集合都可以作為個體而成為別的集合的元素就行了。據(jù)馮諾依曼分析，集合論中悖論的產(chǎn)生，并非由于承認(rèn)了類作為集合的地位，而在于將其視作別的類的元素，他對“類”與“集合”做出區(qū)分，類是大到不能包含在別的集合或類中的集合，而集合是限于可作為類的元素的類。如此，集合就是安全的類。由馮諾依曼、伯爾奈斯、哥德爾等數(shù)學(xué)家建立的理論被稱為NBG系統(tǒng)或BG系統(tǒng)。后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，ZF系統(tǒng)中的任何一個定理也是BG系統(tǒng)中的一個定理，反之亦然。公理化集合論的構(gòu)建，為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)開辟了一個全新的平臺。

那么，公理集合論是否完全避免了悖論？對此，龐加萊曾說：“為了防備狼，羊群已用籬笆圈起來了，但卻不知道在圈內(nèi)有沒有狼。”[12]著名的數(shù)理邏輯學(xué)家克林在其所著的《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》一書中也指出：“假設(shè)集論公理化中悖論是避免了——關(guān)于這點我們所得到的保證只是消極的，即迄今尚未遇見悖論?！彪m然在ZF系統(tǒng)中至今尚未發(fā)現(xiàn)矛盾，但其無矛盾性的問題并未最終證明，所以仍舊不能肯定是否會出現(xiàn)新的悖論。在一定意義上說，公理集合論只是繞過了悖論，并沒有“解決”悖論。

4 結(jié)語

如希爾伯特所言：“自從遠古以來，無限問題就比任何其他問題更加激動人的情感。幾乎沒有任何其他概念如此有成效地刺激著心智”。無限性導(dǎo)致的悖論是數(shù)學(xué)研究無法回避的問題，它也激起數(shù)學(xué)家巨大的熱情。希爾伯特指出：“必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能容忍的”。他在《論無限》一文中寫道：

試想：在數(shù)學(xué)這個真理性和可靠性的典范里，每一個人所學(xué)的、所教的和所用的那些定義和演繹法竟然導(dǎo)致謬論！如果數(shù)學(xué)思維也有缺點，那么我們應(yīng)該到哪里去尋找真理性和可靠性呢？[1]219

面對集合論中羅素悖論的漏洞，20世紀(jì)上半葉，羅素、布勞威爾、希爾伯特等數(shù)學(xué)大師各自提出了不同的解決方案，形成了邏輯主義、形式主義、直覺主義三大著名數(shù)學(xué)哲學(xué)流派。邏輯主義學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的全部內(nèi)涵都可以從純粹邏輯中推導(dǎo)出來，而不必依賴任何特定的數(shù)學(xué)概念。形式主義流派則認(rèn)為全部數(shù)學(xué)都能夠由操作數(shù)學(xué)形式表達的規(guī)則所得到，數(shù)學(xué)思維的基本對象正是這些數(shù)學(xué)形式符號本身，而不是借用它們來表達的那些數(shù)學(xué)含義。直覺主義不同意無限制地使用排中律，反對歸謬論的證明方法(反證法)。

1922年，希爾伯特提出了一個宏偉的計劃重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他希望通過對數(shù)學(xué)的完全形式化，進而證明數(shù)學(xué)理論體系的“完全性”、“相容性”和“可判定性”。1931年，年輕數(shù)學(xué)家哥德爾的“不完全性定理”表明，一個包含算術(shù)的形式化理論不可能證明自身的相容性，“希爾伯特計劃”最終未能如愿。哥德爾在1938年證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論的公理是一致的，即如果集合論的公理是一致的，則推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定。1963年，美國數(shù)學(xué)家科恩證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能由ZF系統(tǒng)推演出來，即在ZF系統(tǒng)內(nèi)，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是不可判定的。這意味著在一個公理集合論中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是正確的，而在另外的集合論系統(tǒng)中則可能不成立。

正如平行公理在歐氏幾何中成立，但在非歐幾何中不成立一樣，數(shù)學(xué)中也存在著若干種互不相同的集合論。從科恩的結(jié)論中還可以得出，對于任何一個數(shù)學(xué)問題并非都是可以證明或否定的，因為數(shù)學(xué)中的命題除了真、假之外，還存在不可判定的命題。通過集合論的公理化，確實降低了悖論對數(shù)學(xué)的威脅，數(shù)學(xué)家終于獲得了幾分安全感，但這在一定程度上也削弱了人們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的興趣。