李政廣， 袁長(zhǎng)清，于海莉，左晨熠

0 引 言

太陽帆是一種新型的航天器推進(jìn)方式，其推進(jìn)力來源于太陽的輻射光壓力.和電推進(jìn)、離子推進(jìn)等推進(jìn)方式一樣，太陽帆推進(jìn)同屬于連續(xù)小推力的推進(jìn)方式[1].相比傳統(tǒng)推進(jìn)方式，太陽帆推進(jìn)所需的能量從太陽光的輻射壓力中獲得，不需要消耗任何的燃料，航天器既不會(huì)產(chǎn)生羽流污染、同時(shí)也具有更長(zhǎng)的使用壽命.目前為止，如日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)研制的IKAROS[2]、美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)研制的NanoSail-D2[3]等太陽帆推進(jìn)航天器，均已成功發(fā)射并在軌展開，完成預(yù)定的科研任務(wù)，證明了太陽帆推進(jìn)的可行性.

太陽光輻射壓力產(chǎn)生的加速度遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的化學(xué)推進(jìn)器，但由于太陽光壓力可持續(xù)作用在太陽帆帆面上，在連續(xù)推力的作用下，航天器可以實(shí)現(xiàn)非開普勒軌道等特殊的軌道[4].行星懸浮軌道就是其中一類特殊的非開普勒軌道，它由航天器的推進(jìn)力與太陽、行星等天體的引力相互平衡，形成的垂直于太陽與行星連線方向的一種周期軌道，其軌道的獨(dú)特性可為深空探測(cè)、中繼通訊等航天任務(wù)提供理想的軌道平臺(tái)，在高分辨率深空探測(cè)、深空中繼通信等領(lǐng)域顯示出巨大的應(yīng)用前景.

在太陽帆航天器懸浮軌道的研究中，BOOKLESS等[5]研究總結(jié)了多種形式的行星懸浮軌道的動(dòng)力學(xué)特性，并歸納出懸浮軌道的穩(wěn)定區(qū)域.GONG等[6]針對(duì)地球及火星，推導(dǎo)出懸浮軌道附近編隊(duì)的線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，并對(duì)軌道穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行了分析.OZIMEK[7]基于地-月三體系統(tǒng)研究了懸浮于月球極地上空的懸浮軌道問題，并用數(shù)值方法對(duì)該問題進(jìn)行了求解.陳翠紅等[8]在Bookless等研究的基礎(chǔ)上，基于Hamilton方程及Hamilton-Jacobi理論，對(duì)行星懸浮軌道穩(wěn)定性進(jìn)行了進(jìn)一步的分析.覃曌華等[9]將太陽能電推進(jìn)與太陽帆推進(jìn)相結(jié)合，設(shè)計(jì)了地球同步懸浮軌道的控制率.錢航等[10]基于極坐標(biāo)系，對(duì)日心懸浮軌道的保持問題進(jìn)行了研究，根據(jù)推導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)方程提出了一種主動(dòng)控制律.張楷田等[11]基于圓形限制性三體問題(CRTBP)，對(duì)太陽帆推進(jìn)與電推進(jìn)組成的推力混合航天器在日心懸浮軌道處的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了探究，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的軌道保持方法對(duì)懸浮軌道進(jìn)行保持控制.其后，兩位學(xué)者又建立了懸浮軌道處的太陽帆編隊(duì)動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)編隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了相應(yīng)的控制研究[12].

本文以地球?yàn)槔诂F(xiàn)有基于二體動(dòng)力學(xué)模型研究的基礎(chǔ)上[4,5,6,10]，建立太陽帆在太陽-行星連線方向的懸浮軌道動(dòng)力學(xué)方程.針對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)特性并考慮軌道出現(xiàn)初始小擾動(dòng)的情況，設(shè)計(jì)LQR控制器與基于遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器，通過數(shù)值仿真對(duì)設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行分析對(duì)比，各狀態(tài)變量通過控制器快速收斂至期望值，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性.

1 太陽帆軌道動(dòng)力學(xué)

1.1 建立坐標(biāo)系

由于地球周圍太陽光的壓力場(chǎng)變化范圍僅有4×10-3，因此可以將地球周圍的光壓力場(chǎng)看作均勻分布的[4,6].因?yàn)榈厍蚬D(zhuǎn)角速度相比其周圍衛(wèi)星的角速度可忽略不計(jì)，故本文研究的問題中，地球繞太陽的旋轉(zhuǎn)可忽略.如圖1所示，以地球質(zhì)心為原點(diǎn)，建立慣性坐標(biāo)系O-XYZ：X軸指向地球公轉(zhuǎn)角速度方向，Z軸指向?yàn)槿?地連線方向，面YOZ在黃道面內(nèi)，且O-XYZ構(gòu)成右手坐標(biāo)系.

定義太陽帆運(yùn)行在與日-地連線(即Z軸)垂直的平面上，軌道高度矢量為z，軌道半徑矢量為r，假設(shè)太陽帆運(yùn)行角速度ω為定值，且方向同Z軸相同.

1.2 太陽帆動(dòng)力學(xué)建模

假設(shè)太陽光沿Z軸平行射向航天器，只考慮地球引力及太陽光壓力作用，地球與太陽帆構(gòu)成的二體系統(tǒng)中，太陽帆的動(dòng)力學(xué)方程可寫為

(1)

式中，地心指向航天器的位置矢量由r表示；μ為地心引力常數(shù)；β為太陽帆的光壓因子；μs為日心引力常數(shù)；rs表示日心到太陽帆的距離.

圖1 行星懸浮軌道坐標(biāo)系Fig.1 Planet-centred non-Keplerian orbit frame of reference

在描述太陽帆姿態(tài)時(shí)，通常使用錐角α和轉(zhuǎn)角δ來表述[13].錐角α為太陽帆面法向矢量n與太陽光線矢量l之間的夾角，轉(zhuǎn)角δ表示從某一參考位置出發(fā)太陽帆法線繞太陽光線轉(zhuǎn)過的角度.本文取X軸為轉(zhuǎn)角δ的參考方向，由于太陽帆軌道角速度為定值，因此本文中轉(zhuǎn)角δ可由太陽帆在XOY平面上投影角度θ來表示.由于假設(shè)地球周圍太陽光壓場(chǎng)均勻，太陽光線矢量可表示為l=[0 0 1]T.根據(jù)定義，在慣性系O-XYZ中，太陽帆面法向量n可表示為

(2)

轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)形式，n可表示為

(3)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將ρ和z分別對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù)，得

(4)

(5)

由圖1中的幾何關(guān)系可以得到

r=ρ+z

(6)

將式(5)帶入式(6)，得到太陽帆懸浮軌道動(dòng)力學(xué)方程

(7)

設(shè)ρ0和ω0分別為初始的懸浮半徑和角速度大小，對(duì)式(7)中的輻角公式運(yùn)用常數(shù)變易法進(jìn)行積分可得

(8)

由結(jié)果易得，太陽帆所在軌道平面運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量是守恒的，記太陽帆角動(dòng)量為

(9)

為保證太陽帆運(yùn)行在特定軌道上，所需的太陽帆姿態(tài)角α可由式(10)求出，即[4]

(10)

1.3 系統(tǒng)線性化

將單位進(jìn)行歸一化處理，取地球半徑為單位長(zhǎng)度L，地心引力常數(shù)μ=1，用無量綱化的太陽光壓加速度κ表示以1個(gè)地球半徑的重力加速度為單位的太陽輻射壓力加速度.

由于假定太陽帆沿軌道平面運(yùn)行的角速度是恒定的，軌道的幅角θ不需要控制，因此太陽帆動(dòng)力學(xué)方程(7)中的幅角θ項(xiàng)可忽略不做考慮.將太陽帆角動(dòng)量方程(9)帶入動(dòng)力學(xué)方程(7)，太陽帆動(dòng)力學(xué)方程可由軌道半徑ρ和高度z表示為

(11)

將位置攝動(dòng)ρ、z表示為ρ=ρ0+δp和z=z0+δz；將姿態(tài)角攝動(dòng)α表示為α=α0+δα，作為系統(tǒng)內(nèi)控制輸入.對(duì)式(11)使用泰勒展開并忽略高階項(xiàng)，可得線性動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 LQR控制器

動(dòng)力學(xué)方程(12)可寫成狀態(tài)方程的形式

(13)

狀態(tài)誤差方程如式(13)～(15)所示，x0為初始誤差.取如下二次型性能指標(biāo)函數(shù)

(16)

式中,分別用矩陣Q和R來描述狀態(tài)變量和控制變量的加權(quán)矩陣.其中，Q為半正定矩陣、R為正定矩陣.此LQR問題相應(yīng)的代數(shù)Riccati方程為

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(17)

通過求該代數(shù)方程，可以得到P矩陣，從而得到最優(yōu)控制

u=-R-1BTPx

(18)

2.2 遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器

傳統(tǒng)LQR控制器中，其最優(yōu)性完全取決于加權(quán)矩陣Q、R的選擇.而Q、R的確定并沒有具體的解析方法，只能通過“人為的”經(jīng)驗(yàn)來選擇，根據(jù)系統(tǒng)的輸出結(jié)果，不斷調(diào)整加權(quán)矩陣，得到滿意的輸出響應(yīng).這種方法既費(fèi)時(shí)又無法獲得最優(yōu)的加權(quán)矩陣.

遺傳算法是一種通過模擬生物進(jìn)化理論發(fā)展而來的全局搜索的尋優(yōu)算法.采用適者生存的原則，在迭代的過程中通過變異、交叉等手段，使種群向最優(yōu)發(fā)展，以此獲得最優(yōu)解.本節(jié)利用遺傳算法對(duì)LQR控制器中的加權(quán)矩陣進(jìn)行尋優(yōu)搜索，提高LQR的控制效率[16].

為使航天器軌道的位置擾動(dòng)δρ和δz快速趨于0，并使整個(gè)控制過程中所消耗控制能量降到最低，由此，設(shè)計(jì)LQR控制器的性能指標(biāo)為

(19)

將式(13)帶入式(19)，有

(20)

其中，

最優(yōu)控制反饋增益矩陣K可調(diào)用MATLAB的線性二次最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)函數(shù)獲得：

K=LQR(A,B,Q,R)

(21)

由此，所設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器控制效果完全取決于加權(quán)系數(shù)q1、q2、q3的選擇，基于遺傳算法的LQR控制器加權(quán)系數(shù)優(yōu)化過程示意圖如圖2所示[16].

圖2 遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)LQR控制器示意圖Fig.2 Procedure of genetic algorithm

3 仿真分析

考慮懸浮軌道位置保持問題，選取數(shù)值仿真條件如下：標(biāo)稱懸浮軌道半徑ρ0=60L(1L=6.371 393×106m)，標(biāo)稱懸浮軌道高度z0=20L；通過公式(10)計(jì)算得到維持該軌道穩(wěn)定時(shí)所需的姿態(tài)角α=38.214 3°；太陽帆軌道周期與半徑為70L的開普勒軌道同步；選取無量綱化的太陽光壓加速度κ=2.348×10-4[5].

為驗(yàn)證上述設(shè)計(jì)的控制器的有效性，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真分析.設(shè)定懸浮軌道半徑及高度的初始擾動(dòng)為δρ=0.001L、δz=0.001L.仿真過程中，將本文設(shè)計(jì)的遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器同傳統(tǒng)LQR控制器進(jìn)行了比較.仿真結(jié)果如圖3～8所示.

圖3 軌道半徑變化曲線Fig.3 Track radius graph

圖4 軌道高度變化曲線Fig.4 Track altitude graph

圖5 傳統(tǒng)LQR控制器下姿態(tài)角變化曲線Fig.5 Attitude angle curve by LQR

圖6 改進(jìn)的LQR控制器下姿態(tài)角變化曲線Fig.6 Attitude angle curve by GA-LQR

圖7 LQR控制器下的軌道變化曲線Fig.7 Track graph by LQR

圖8 遺傳算法改進(jìn)控制器下的軌道變化曲線Fig.8 Track graph by GA-LQR

圖3、圖4為傳統(tǒng)LQR控制和遺傳算法改進(jìn)的LQR控制下的航天器軌道位置ρ、z隨軌道周期的變化曲線圖，由圖可以看出采用兩種控制器均能夠使航天器按照預(yù)期要求達(dá)到期望狀態(tài)，在0～5個(gè)周期內(nèi)，位置距離逐漸由初始誤差趨近于穩(wěn)定的理想位置，并保持平衡穩(wěn)定.同時(shí)，比較圖5、圖6可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的LQR控制器下，姿態(tài)角能夠在較短的軌道周期內(nèi)快速響應(yīng)，加快軌道保持穩(wěn)定.綜合對(duì)比，在兩種控制策略下，遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器在控制穩(wěn)定性和調(diào)節(jié)時(shí)間方面都優(yōu)于傳統(tǒng)LQR控制器.可以看出，遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器超調(diào)量小，調(diào)節(jié)時(shí)間較短.

圖7、圖8分別為傳統(tǒng)LQR控制器及遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器控制后的軌道仿真圖，由該圖更能直觀的看出遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器調(diào)節(jié)時(shí)間較短，能夠在2.5個(gè)軌道周期恢復(fù)穩(wěn)定(傳統(tǒng)LQR需4個(gè)周期)，控制性能優(yōu)于傳統(tǒng)LQR控制器.

4 結(jié) 論

本文主要研究了太陽帆航天器在行星懸浮軌道上的動(dòng)力學(xué)與控制問題.首先推導(dǎo)出行星懸浮軌道處太陽帆動(dòng)力學(xué)方程，考慮該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非線性，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了線性化處理，并設(shè)計(jì)了遺傳算法改進(jìn)的LQR控制器.為驗(yàn)證該控制器的有效性與控制性能，基于MATLAB/Simulink平臺(tái)進(jìn)行數(shù)值仿真，與傳統(tǒng)LQR控制器進(jìn)行對(duì)比，改進(jìn)的LQR控制器調(diào)解時(shí)間短、恢復(fù)穩(wěn)定速度快，性能優(yōu)于傳統(tǒng)LQR控制器.