（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，福建 漳州 363000）

新無(wú)窮理論體系的產(chǎn)生決定了“新數(shù)學(xué)分析理論”和“新集合論”的產(chǎn)生——我們將以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“第一、二、三代數(shù)學(xué)分析理論”（標(biāo)準(zhǔn)分析前的數(shù)學(xué)分析、標(biāo)準(zhǔn)分析、非標(biāo)準(zhǔn)分析）稱(chēng)之為“現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析理論（舊數(shù)學(xué)分析理論）”，將以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的新數(shù)學(xué)分析理論稱(chēng)之為“第四代數(shù)學(xué)分析理論”[1-6]，將以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮集合論稱(chēng)之為“第一代無(wú)窮集合論（舊無(wú)窮集合論）”，將以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的新無(wú)窮集合論稱(chēng)之為“第二代無(wú)窮集合論”[7-13].

1 “半阿基米德性”

研究證明，數(shù)學(xué)中存在一種“具有可定量認(rèn)知性質(zhì)的抽象概念與規(guī)律的數(shù)學(xué)載體（比如現(xiàn)有數(shù)學(xué)中的虛數(shù)、模糊數(shù)、無(wú)窮小變量、單子……）”，這些“數(shù)學(xué)載體”可參與有窮數(shù)量形式的任何運(yùn)算、卻又無(wú)法知道它們確切的數(shù)值，我們將這種“數(shù)學(xué)載體”定義為：具有“半阿基米德性”的數(shù)量形式.數(shù)學(xué)史證明，人們需要對(duì)那些具有“阿基米德性”或“半阿基米德性”的數(shù)量形式開(kāi)展各種各樣必要的定性、定量認(rèn)知與研究[20-41].

2 新、舊數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中的幾個(gè)同、異之處

2.1 新、舊數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中的主要相同之處

新、舊數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中存在相同的定性、定量認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)和相同的定量認(rèn)知工具，這兩個(gè)主要相同之處決定了“第四代數(shù)學(xué)分析理論”保留了“第一、二、三代數(shù)學(xué)分析理論”自古以來(lái)所積累的許多寶貴知識(shí)財(cái)富[25-34].

2.2 新、舊數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理論中的主要不同之處

雖然“第四代數(shù)學(xué)分析理論”保留了“第一、二、三代數(shù)學(xué)分析理論”自古以來(lái)所積累的許多寶貴知識(shí)財(cái)富，但是如下三個(gè)主要不同之處決定了許多工作思路、具體操作和認(rèn)知結(jié)果必然是不同的——基礎(chǔ)理論的幾個(gè)本質(zhì)性區(qū)別決定了新、舊數(shù)學(xué)分析理論之間是不可能完全等價(jià)的[13-35].

2.2.1 以不同的“無(wú)窮理論體系”為基礎(chǔ)理論

由于新數(shù)學(xué)分析以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，它必然與“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念毫無(wú)關(guān)系——不同的基礎(chǔ)理論決定了新、舊數(shù)學(xué)分析理論之間的不等價(jià)性.在新數(shù)學(xué)分析中，人們以新的、科學(xué)的“無(wú)窮載體理論”為基礎(chǔ)，在對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式”開(kāi)展定性、定量認(rèn)知和研究時(shí)，必然會(huì)產(chǎn)生一些與舊數(shù)學(xué)分析理論不同的過(guò)程與結(jié)果；最重要的是，在新數(shù)學(xué)分析中，不可能產(chǎn)生和滋養(yǎng)芝諾悖論家族的任何成員[13-35].

2.2.2 對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物（數(shù)量形式）”的定性認(rèn)知理論與結(jié)果的不同

“第四代數(shù)學(xué)分析理論”以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，新無(wú)窮理論體系只承認(rèn)一種“無(wú)窮”概念，與“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念毫無(wú)關(guān)系，與“變量、單子、潛無(wú)窮數(shù)、實(shí)無(wú)窮數(shù)”毫無(wú)關(guān)系.所以，不存在2500 多年來(lái)一直困擾舊數(shù)學(xué)分析的如上兩個(gè)與“無(wú)窮概念—無(wú)窮數(shù)量形式”相關(guān)的理論問(wèn)題.在新數(shù)學(xué)分析中，參與所有數(shù)量運(yùn)算的“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式”是一種用于表示抽象無(wú)窮規(guī)律（概念）的存在、具有數(shù)量意義性質(zhì)（半阿基米德性）的“抽象無(wú)窮規(guī)律的數(shù)學(xué)載體”.它們都是新數(shù)量體系中有明確定義的、具有明確數(shù)量性質(zhì)的數(shù)，而不是將“永遠(yuǎn)處于變化中的抽象無(wú)窮規(guī)律”作為數(shù)量來(lái)運(yùn)算.這種對(duì)“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”認(rèn)知與研究思路的改變，解決了舊數(shù)學(xué)分析理論體系中無(wú)法對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式”進(jìn)行科學(xué)、有效與系統(tǒng)的定性認(rèn)知的致命缺陷.新的“無(wú)窮載體理論”決定了在“第四代數(shù)學(xué)分析理論”中，人們應(yīng)該是對(duì)具體的“無(wú)窮載體”進(jìn)行定量認(rèn)知、而非對(duì)“既是潛無(wú)窮又是實(shí)無(wú)窮的數(shù)量形式（時(shí)隱時(shí)現(xiàn)的‘鬼魂’）”進(jìn)行定量認(rèn)知；是具體的“無(wú)窮載體”之間有數(shù)量上的不同、而非“既是潛無(wú)窮又是實(shí)無(wú)窮的數(shù)量形式（時(shí)隱時(shí)現(xiàn)的‘鬼魂’）”之間有數(shù)量上的不同.所以，在“第四代數(shù)學(xué)分析理論”中，不存在所有芝諾悖論新、舊家族成員，不存在貝克萊悖論家族中的所有成員；根本就不可能存在互相矛盾、五花八門(mén)的“無(wú)窮”概念及其相關(guān)的內(nèi)容.以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“第四代數(shù)學(xué)分析理論”依據(jù)“新載體理論”，在對(duì)“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”進(jìn)行定量認(rèn)知與研究前，先對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式”開(kāi)展定性研究，分析、了解、確認(rèn)它們?cè)谂c無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量類(lèi)型體系（數(shù)譜）中的位置，它們所具有的數(shù)量性質(zhì)、數(shù)量意義，從而保證了定量研究的科學(xué)性與有效性——因?yàn)榉浅Ｇ宄闹浪鼈兪鞘裁?所以新數(shù)學(xué)分析中不可能存在由于對(duì)“無(wú)窮事物”定性認(rèn)知的缺席所必然產(chǎn)生的與定量認(rèn)知相關(guān)的悖論[14-35].

2.2.3 對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物（數(shù)量形式）”的定量認(rèn)知理論與結(jié)果的不同

“第四代數(shù)學(xué)分析理論”以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，所以，新數(shù)學(xué)分析中的所有定量認(rèn)知理論與操作（比如極限論及其相關(guān)的操作）不會(huì)受到“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念的任何不良影響與束縛.新“抽象無(wú)窮規(guī)律（概念）的載體”理論的構(gòu)建與開(kāi)發(fā)引領(lǐng)我們進(jìn)入一個(gè)新的、系統(tǒng)的對(duì)數(shù)學(xué)分析中各種各樣“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式（抽象‘無(wú)窮’概念的載體）”的定量認(rèn)知領(lǐng)域.人類(lèi)數(shù)學(xué)的性質(zhì)與特點(diǎn)決定了人們必須用適合自己的“數(shù)學(xué)載體”來(lái)表現(xiàn)數(shù)學(xué)中所有抽象的“自然規(guī)律、數(shù)學(xué)性質(zhì)、概念……”.正是由于這種“抽象事物的載體（比如數(shù)量形式）”的存在，使許許多多“看不見(jiàn)、摸不著的抽象數(shù)學(xué)事物”成了“看得見(jiàn)、摸得著的數(shù)學(xué)載體”.“無(wú)窮”概念進(jìn)入數(shù)學(xué)后，人們只能（必須）用“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量載體”來(lái)對(duì)“無(wú)窮性質(zhì)、無(wú)窮概念、與無(wú)窮相關(guān)的抽象事物”進(jìn)行定量認(rèn)知.科學(xué)家的使命就是不斷研究、了解、完善這種無(wú)法拒絕的“抽象事物—抽象事物的載體”科學(xué)內(nèi)容，研究相關(guān)的載體處理理論與操作技術(shù)，使這些科學(xué)內(nèi)容可以幫助人類(lèi)更好的開(kāi)展對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的客觀事物”的科學(xué)、系統(tǒng)定量認(rèn)知活動(dòng).新發(fā)現(xiàn)的“過(guò)渡數(shù)、非確切數(shù)”，是人類(lèi)科學(xué)里的一種新的“科學(xué)抽象物載體”，是與無(wú)窮相關(guān)的新數(shù)譜中用來(lái)表示“與無(wú)窮相關(guān)的某類(lèi)客觀事物”的一種數(shù)量形式、一種“數(shù)學(xué)載體”，是極限論所處理的數(shù)學(xué)內(nèi)容.“與無(wú)窮相關(guān)的新數(shù)量體系”是極限論的重要基礎(chǔ)理論之一.新數(shù)學(xué)載體“過(guò)渡數(shù)、非確切數(shù)”的產(chǎn)生與存在決定了與無(wú)窮相關(guān)的新數(shù)量體系（數(shù)譜）的產(chǎn)生與存在：零數(shù)、絕對(duì)的無(wú)0（Number of Zero），無(wú)窮小數(shù)（Number of Infinitesimal），過(guò)渡小數(shù)（Interim-Small Number，Non-Definite-Small Number），有窮數(shù)Δ（Finite Number），過(guò)渡大數(shù)（Interim-Great Number，Non-Definite-Great Number），無(wú)窮大數(shù)（Number of Interim-Great），彥數(shù)、絕對(duì)的有∞（Number of Yan）.在這個(gè)新構(gòu)建的“與無(wú)窮相關(guān)的新數(shù)量體系”中：“絕對(duì)的無(wú)”就是“數(shù)0”的唯一的“數(shù)量性質(zhì)”，就是人們對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式的唯一定量認(rèn)知結(jié)果，這決定了人們不需要、不可能對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式進(jìn)行更多的定量認(rèn)知與研究；由于“有窮數(shù)Δ”是“與‘可定量認(rèn)知性質(zhì)（阿基米德性）’相關(guān)的數(shù)量形式”，這決定了人們必然要對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式進(jìn)行定量認(rèn)知與各種各樣的研究；由于“過(guò)渡數(shù)、非確切數(shù)（比如過(guò)渡小數(shù)、過(guò)渡大數(shù)”是“與‘可定量認(rèn)知性質(zhì)（半阿基米德性）’相關(guān)的‘無(wú)窮規(guī)律’的載體”，所以人們也必然要對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式進(jìn)行定量認(rèn)知與各種各樣的研究；由于“無(wú)窮數(shù)（比如無(wú)窮小數(shù)、無(wú)窮大數(shù)”是“與‘可定量認(rèn)知性質(zhì)’無(wú)關(guān)的‘無(wú)窮規(guī)律’的載體”，無(wú)法定量認(rèn)知與研究的“無(wú)窮無(wú)盡”規(guī)律是這類(lèi)數(shù)量形式的唯一的“數(shù)量性質(zhì)”，決定了人們不需要、不可能對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式進(jìn)行與“可定量認(rèn)知載體”相關(guān)的任何定量認(rèn)知與研究；“絕對(duì)的有”就是“彥數(shù)∞”的唯一“數(shù)量性質(zhì)”，就是人們對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式的唯一定量認(rèn)知結(jié)果，這決定了人們不需要、不可能對(duì)這類(lèi)數(shù)量形式進(jìn)行更多的定量認(rèn)知與研究[1-35].

新數(shù)譜的開(kāi)發(fā)與應(yīng)用解決了2500 多年來(lái)在與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式定量認(rèn)知過(guò)程中致命的“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體缺失”缺陷[20-35].在對(duì)數(shù)學(xué)分析這個(gè)數(shù)學(xué)分支中的任何內(nèi)容進(jìn)行實(shí)際定量認(rèn)知操作之前，人們必須先按“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)載體理論（數(shù)譜）”對(duì)它們進(jìn)行真正意義上的“數(shù)學(xué)分析”，分析那些“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量載體”在與無(wú)窮相關(guān)的新數(shù)譜中所處的位置，它們所具有的數(shù)量性質(zhì)、數(shù)量意義、表現(xiàn)形式，然后才進(jìn)行有針對(duì)性的定量認(rèn)知操作（比如在新數(shù)量體系中，許多“x→0 無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”屬于“過(guò)渡數(shù)”、被稱(chēng)之為“過(guò)渡小”）.我們的研究證明，正是整個(gè)“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體理論（無(wú)窮載體—與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量體系）”缺失，才導(dǎo)致人們?cè)谂f數(shù)學(xué)分析具體的定量認(rèn)知過(guò)程中，往往混淆了“抽象無(wú)窮概念”與“抽象無(wú)窮概念的載體”這兩種不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)事物，混淆了“數(shù)0”、“過(guò)渡數(shù)”、“無(wú)窮數(shù)”與“彥數(shù)∞”這四種不同類(lèi)型的數(shù)量形式，使人們根本就不可能對(duì)各種各樣與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式開(kāi)展科學(xué)、有效的定量認(rèn)知與研究活動(dòng)，這是導(dǎo)致“第一、二、三代數(shù)學(xué)分析理論”中那些懸而未決的悖論家族產(chǎn)生并且繁榮昌盛的一個(gè)重要原因[15-17].新構(gòu)建的“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)譜”的產(chǎn)生（特別是“過(guò)渡小數(shù)、過(guò)渡大數(shù)、彥數(shù)”三種新數(shù)量形式的發(fā)現(xiàn)），填補(bǔ)了三代舊數(shù)學(xué)分析理論體系中對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量形式”性質(zhì)與存在形式認(rèn)知上的一個(gè)空白，解決了自數(shù)學(xué)分析理論創(chuàng)立以來(lái)對(duì)各種“無(wú)窮事物”定量認(rèn)知過(guò)程中各種各樣致命的“‘潛無(wú)窮—實(shí)無(wú)窮’混亂”缺陷[1-35].

3 “第一代無(wú)窮集合論”和“第二代無(wú)窮集合論”基礎(chǔ)理論中的同、異之處

以新的無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，我們得到新的無(wú)窮集合定義；

（1）每一個(gè)“無(wú)窮集合”由“無(wú)窮多個(gè)元素（無(wú)窮載體）”構(gòu)成；

（2）每一類(lèi)“具有特殊性質(zhì)、特殊存在條件、特殊表現(xiàn)形式和特殊關(guān)系的無(wú)窮載體（無(wú)窮元素）”構(gòu)成了“每一個(gè)與眾不同的無(wú)窮集合”[13-31].

我們的研究證明，新、舊兩代無(wú)窮集合論基礎(chǔ)理論中存在著同、異之處.

3.1 新、舊集合論基礎(chǔ)理論的兩個(gè)主要相同之處

新、舊集合論基礎(chǔ)理論有相同的定性、定量認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)和相同的定量認(rèn)知工具，這兩個(gè)主要相同之處決定了“第二代無(wú)窮集合論”保留了“第一代無(wú)窮集合論”自古以來(lái)所積累的許多寶貴知識(shí)財(cái)富[25-34].

3.2 新、舊集合論基礎(chǔ)理論的三個(gè)主要不同之處

雖然“第二代無(wú)窮集合論”保留了“第一代無(wú)窮集合論”自古以來(lái)所積累的許多寶貴知識(shí)財(cái)富，但是如下三個(gè)主要不同之處決定了新、舊集合論的許多工作思路、具體操作和認(rèn)知結(jié)果必然是不同的——基礎(chǔ)理論的幾個(gè)本質(zhì)性區(qū)別決定了新、舊兩代無(wú)窮集合論之間不可能是完全等價(jià)的[25-34].

3.2.1 以不同的“無(wú)窮理論體系”為基礎(chǔ)理論

由于“第二代無(wú)窮集合論”以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，它必然與“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念毫無(wú)關(guān)系，所以必然不存在“第一代無(wú)窮集合論”中無(wú)法避免的與“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念共存的如上那些導(dǎo)致悖論的因素.“第二代無(wú)窮集合論”以新的、科學(xué)的“無(wú)窮載體理論”為基礎(chǔ)，必然會(huì)淘汰“第一代無(wú)窮集合論”中的許多錯(cuò)誤的內(nèi)容、必然會(huì)產(chǎn)生一些新的過(guò)程與結(jié)果.最重要的是，在“第二代無(wú)窮集合論”中不可能產(chǎn)生和滋養(yǎng)任何與“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念相關(guān)的羅素悖論家族成員[24-35].

3.2.2 對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”定性認(rèn)知理論與結(jié)果的不同

由于以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“第一代無(wú)窮集合論”無(wú)法擺脫“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念混淆的束縛，在許多場(chǎng)合中，人們不得不將無(wú)窮集合中各種各樣“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”都當(dāng)做由“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”這兩個(gè)概念所衍生的“潛無(wú)窮數(shù)學(xué)事物、實(shí)無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”混雜在一起的數(shù)學(xué)事物.在“第一代無(wú)窮集合論”中，人們無(wú)法自圓其說(shuō)的回答如下兩個(gè)與“無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”性質(zhì)相關(guān)的認(rèn)知問(wèn)題：

（1）應(yīng)該如何科學(xué)認(rèn)知無(wú)窮集合的第二個(gè)性質(zhì)——不知如何科學(xué)認(rèn)知互相矛盾的“潛無(wú)窮數(shù)學(xué)事物、實(shí)無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”?

這必然導(dǎo)致互相矛盾的兩種認(rèn)知行為：一方面否認(rèn)無(wú)窮集合第二個(gè)性質(zhì)中“元素—集合”之間的必然關(guān)系（完全不知道是因?yàn)椤熬哂胁煌匦缘脑亍钡拇嬖诓艑?dǎo)致不同無(wú)窮集合的存在？），堅(jiān)決否認(rèn)不同無(wú)窮集合中各自所含元素所具備的存在意義、表現(xiàn)形式、存在條件、相互關(guān)系等方面的本質(zhì)性區(qū)別，構(gòu)造出一種與無(wú)窮集合的第二個(gè)性質(zhì)相悖的“二次抽象”基數(shù)理論；通過(guò)“二次抽象”，將許多無(wú)窮集合中各自所含的元素都變成了一堆堆“毫無(wú)性質(zhì)區(qū)別、毫無(wú)存在條件區(qū)別、毫無(wú)表現(xiàn)形式區(qū)別和相互關(guān)系區(qū)別、毫無(wú)數(shù)量意義的、抽象存在的無(wú)窮無(wú)盡的‘幾何點(diǎn)’”，保證它們都具有相同的“基數(shù)”而使許多不同的無(wú)窮集合中所含的元素?cái)?shù)量都相等.集合中所含的元素經(jīng)過(guò)“二次抽象”以后，就都失去了它們?cè)械母鞣N性質(zhì)（包括“數(shù)量”性質(zhì)），“無(wú)窮無(wú)盡”成了許多不同無(wú)窮集合中各自所含元素?cái)?shù)量的唯一性質(zhì)（正如我們所知道的那樣，所有線段上的點(diǎn)都只是一堆堆“毫無(wú)性質(zhì)區(qū)別、毫無(wú)存在條件區(qū)別、毫無(wú)表現(xiàn)形式區(qū)別和相互關(guān)系區(qū)別、毫無(wú)數(shù)量意義的、抽象存在的無(wú)窮無(wú)盡的事物”，所有線段上的點(diǎn)都具有相同的“基數(shù)”，它們的數(shù)量都統(tǒng)一是“無(wú)窮無(wú)盡”）.所以，在現(xiàn)有經(jīng)典集合論中，通過(guò)“二次抽象”后，許多子集與母集中所含的元素?cái)?shù)量都一樣多——許多集合中所含的元素都具有相同的“基數(shù)”，沒(méi)有數(shù)量區(qū)別的“無(wú)窮無(wú)盡”成了它們所含元素?cái)?shù)量的唯一性質(zhì).另一方面卻是突然承認(rèn)無(wú)窮集合第二個(gè)性質(zhì)中“元素—集合”之間必然關(guān)系，堅(jiān)決承認(rèn)無(wú)窮集合中元素的性質(zhì)、表現(xiàn)形式、存在條件、相互關(guān)系的本質(zhì)性區(qū)別的重要性，承認(rèn)正是因?yàn)椤熬哂胁煌匦缘脑亍钡拇嬖诓艑?dǎo)致不同無(wú)窮集合的存在；突然否認(rèn)“二次抽象”理論，不打算對(duì)所要認(rèn)知的無(wú)窮集合中所含的元素進(jìn)行“二次抽象”，從而保證可以應(yīng)用與“二次抽象”完全無(wú)關(guān)的T={x|x?x} 理論來(lái)找到某些無(wú)窮集合中沒(méi)有經(jīng)過(guò)“二次抽象”、仍然具備其原始特殊性質(zhì)的元素，完成某些無(wú)窮集合比另一些無(wú)窮集合含有更多元素的證明.比如，實(shí)數(shù)集合中所含的無(wú)窮多元素比自然數(shù)集合中所含的無(wú)窮多元素更多、任何無(wú)窮集合中所含的無(wú)窮元素比其冪集中所含的無(wú)窮元素更少——無(wú)窮實(shí)數(shù)集合比無(wú)窮自然數(shù)集合更無(wú)窮、任何無(wú)窮集合比其冪集更不無(wú)窮…….實(shí)際上，在人類(lèi)數(shù)學(xué)現(xiàn)有的數(shù)量體系（數(shù)譜）中根本就不存在沒(méi)有具體數(shù)量意義的“基數(shù)”這類(lèi)數(shù)量形式.研究證明，經(jīng)典無(wú)窮理論體系中無(wú)法擺脫的“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念混淆，決定了康托的“二次抽象”基數(shù)理論與操作無(wú)法自圓其說(shuō)、不具科學(xué)性與系統(tǒng)性，這必然導(dǎo)致人們根本就不可能對(duì)不同無(wú)窮集合中所含元素開(kāi)展科學(xué)、有效、系統(tǒng)的定性與定量研究.

（2）為什么會(huì)有互相矛盾、五花八門(mén)的“無(wú)窮”概念？

由于“第一代無(wú)窮集合論”以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，人們可以用“生成原理”制造“超窮數(shù)、超超窮數(shù)、超超超窮數(shù)……”的“無(wú)窮”概念，也可以用“冪集定理”編造“比較無(wú)窮、比較不無(wú)窮、更無(wú)窮、更更無(wú)窮、更更更無(wú)窮……”的“無(wú)窮”概念.幾百年來(lái)，人們一直在努力研究、編造各種各樣的“無(wú)窮概念”，在努力研究、編造與“互相矛盾、五彩繽紛的‘無(wú)窮’概念”相關(guān)的各種形式邏輯、形式語(yǔ)言與“流水線”操作.“第二代無(wú)窮集合論”以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，新無(wú)窮理論體系只承認(rèn)一種“無(wú)窮”概念，與“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念毫無(wú)關(guān)系.“第二代無(wú)窮集合論”不僅認(rèn)為必須對(duì)不同無(wú)窮集合中的元素進(jìn)行定量認(rèn)知與研究，而且認(rèn)為最重要的是必須對(duì)它們的各種性質(zhì)開(kāi)展科學(xué)的定性認(rèn)知與研究.它始終如一的承認(rèn)無(wú)窮集合第二個(gè)性質(zhì)的必要性和科學(xué)性，承認(rèn)“正是與‘二次抽象’完全無(wú)關(guān)的各種不同類(lèi)別的無(wú)窮元素的存在，才構(gòu)成各種不同無(wú)窮集合”這個(gè)科學(xué)事實(shí).所以，新集合論中淘汰了“二次抽象”的基數(shù)理論，肯定不同無(wú)窮集合中元素的表現(xiàn)形式、存在意義、之間關(guān)系的本質(zhì)性區(qū)別與無(wú)窮集合之間的必然關(guān)系.這種對(duì)“元素—集合”之間關(guān)系的認(rèn)知與研究思路的變革，根除了“第一代無(wú)窮集合論”沒(méi)有對(duì)集合中所含元素進(jìn)行科學(xué)、有效與系統(tǒng)的定性認(rèn)知的致命缺陷.新的“無(wú)窮載體理論”決定了在“第二代無(wú)窮集合論”中，人們應(yīng)該是對(duì)具體的“無(wú)窮載體”進(jìn)行定量認(rèn)知、而非對(duì)“既是潛無(wú)窮又是實(shí)無(wú)窮的抽象物（時(shí)隱時(shí)現(xiàn)的‘鬼魂’）”進(jìn)行定量認(rèn)知；是具體的“無(wú)窮載體”之間有數(shù)量上的不同、而非“既是潛無(wú)窮又是實(shí)無(wú)窮的抽象物（時(shí)隱時(shí)現(xiàn)的‘鬼魂’）”之間有數(shù)量上的不同.所以，在“第二代無(wú)窮集合論”中，必然存在許許多多數(shù)量上“大—小，多—少”不同的“無(wú)窮載體”；實(shí)數(shù)集合中的元素（無(wú)窮載體）比自然數(shù)集合中的元素（無(wú)窮載體）多，任何集合中的元素（無(wú)窮載體）比其冪集中的元素（無(wú)窮載體）少，許多母集中的元素（無(wú)窮載體）必然會(huì)比子集中的元素（無(wú)窮載體）多…….集合論中根本就不應(yīng)該存在各種各樣的“無(wú)窮”概念、不應(yīng)該存在“超窮數(shù)、超超窮數(shù)、超超超窮數(shù)……”、“更無(wú)窮、更更無(wú)窮、更更更無(wú)窮”……這類(lèi)內(nèi)容.“第二代無(wú)窮集合論”在新無(wú)窮理論體系的框架內(nèi)承認(rèn)如上所述無(wú)窮集合的三個(gè)性質(zhì).依據(jù)“新無(wú)窮載體理論”，人們?cè)趯?duì)集合論中與“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)事物進(jìn)行定量認(rèn)知與研究前，必須先對(duì)它們開(kāi)展定性研究，從而保證了定量認(rèn)知的科學(xué)性與有效性——因?yàn)槿藗兛梢苑浅Ｇ宄闹兰险撝信c“無(wú)窮”概念相關(guān)的數(shù)學(xué)事物是什么，所以新集合論中不可能存在由于對(duì)“無(wú)窮事物”定性認(rèn)知的缺席所必然產(chǎn)生的與定量認(rèn)知相關(guān)的悖論[19-34].

3.2.3 對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”定量認(rèn)知理論與結(jié)果的不同

由于“第一代無(wú)窮集合論”以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)，互相矛盾的“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念使人們?cè)趯?duì)無(wú)窮集合中的元素進(jìn)行定量認(rèn)知、研究時(shí)，根本就不可能知道所認(rèn)知的數(shù)學(xué)事物是“潛無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”或“實(shí)無(wú)窮數(shù)學(xué)事物”或是二者的混合物或者二者都不是的數(shù)學(xué)事物.所以，人們?cè)凇暗谝淮鸁o(wú)窮集合論”中對(duì)數(shù)學(xué)事物進(jìn)行定量認(rèn)知、研究時(shí)，非常自由、隨心所欲：既可以證明有理數(shù)集合中所含元素與自然數(shù)集合中所含元素一樣多，也可以證明有理數(shù)集合中所含元素比自然數(shù)集合中所含元素多；既可以用T={x|x?x}理論來(lái)制造羅素悖論，也可以用T={x|x?x}理論來(lái)制造“冪集定理”、編造“永遠(yuǎn)有空房間的希爾伯特旅館”故事——將羅素悖論家族中的所有悖論成員都“嚴(yán)格數(shù)學(xué)化”而將它們都變成各種各樣的“羅素定理”！由于與應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)系不大，人們根本就無(wú)法驗(yàn)證集合論中許多實(shí)際定量認(rèn)知操作與結(jié)果的科學(xué)性.所以，在現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮集合論的定量認(rèn)知過(guò)程中所存在的不科學(xué)內(nèi)容遠(yuǎn)比現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中的多、定量認(rèn)知行為可以更隨心所欲[1-35].

在以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“第二代無(wú)窮集合論”中，“無(wú)窮載體理論”是人們?cè)趯?duì)無(wú)窮集合中的許多“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”進(jìn)行定量認(rèn)知、研究的基礎(chǔ)理論.新數(shù)學(xué)載體“過(guò)渡集（Non-Definite-Set，Interim-Set）”的產(chǎn)生與存在決定了新集合類(lèi)型體系（集合譜系）的產(chǎn)生與存在：空集（Empty Set），有窮集（Finite-Set），過(guò)渡集（Non-Definite-Set、Interim-Set），無(wú)窮集（Infinite Set），彥集（Yan Set）[7-41].在這個(gè)新構(gòu)建的“與無(wú)窮相關(guān)的集合譜系”中，由于“空集”中不含有任何元素，“元素?cái)?shù)量為零”就是人們對(duì)這類(lèi)集合中所含元素?cái)?shù)量的唯一認(rèn)知結(jié)果，決定了人們不需要、不可能對(duì)這類(lèi)集合中所含元素?cái)?shù)量進(jìn)行更多的定量認(rèn)知與研究；由于“有窮集”中含有“與‘可定量認(rèn)知性質(zhì)（阿基米德性）’相關(guān)的數(shù)學(xué)載體”，許多不同的有窮集合中含有數(shù)量不同的元素，人們必然要對(duì)這類(lèi)集合中所含元素?cái)?shù)量進(jìn)行定量認(rèn)知與各種各樣的研究；由于“過(guò)渡集”中所含的元素是“與‘可定量認(rèn)知性質(zhì)（半阿基米德性）’相關(guān)的‘無(wú)窮規(guī)律’的載體”，所以人們也必然要對(duì)這類(lèi)集合中所含元素?cái)?shù)量進(jìn)行定量認(rèn)知與各種各樣的研究；由于“無(wú)窮集”中所含的元素是“與‘可定量認(rèn)知性質(zhì)’無(wú)關(guān)的‘無(wú)窮規(guī)律’的載體”，無(wú)法定量認(rèn)知與研究的“無(wú)窮無(wú)盡”規(guī)律是這類(lèi)集合中所含元素的唯一的“數(shù)量性質(zhì)”，決定了人們不需要、不可能對(duì)這類(lèi)集合中所含元素?cái)?shù)量進(jìn)行更多的定量認(rèn)知與研究；而在“彥集”中，“毫無(wú)類(lèi)別、性質(zhì)之差的宇宙萬(wàn)物”就是這種集合所含的元素（只承認(rèn)萬(wàn)物的存在），決定了人們不需要、不可能對(duì)這類(lèi)集合中所含元素?cái)?shù)量進(jìn)行任何定量認(rèn)知與研究.我們的研究證明，“第一代無(wú)窮集合論”中整個(gè)“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體理論（無(wú)窮載體—集合譜系）”缺失，導(dǎo)致人們?cè)诰唧w的定量認(rèn)知過(guò)程中，往往混淆了“抽象無(wú)窮概念”與“抽象無(wú)窮概念的載體”這兩種不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)事物，混淆了“過(guò)渡集”、“無(wú)窮集”與“彥集”這三種不同類(lèi)型的集合，使人們根本就不可能對(duì)各種各樣無(wú)窮集合中所含的元素開(kāi)展科學(xué)、有效的定量認(rèn)知與研究活動(dòng)，這是導(dǎo)致“第一代無(wú)窮集合論”中那些懸而未決的悖論家族產(chǎn)生的重要原因之一[15-17].

以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的“第二代無(wú)窮集合論”中的所有定量認(rèn)知理論與操作（比如“一一對(duì)應(yīng)理論”和“極限論”）不可能受到“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”概念的任何不良影響與束縛.新“無(wú)窮載體（比如與無(wú)窮相關(guān)的新集合譜系、新數(shù)譜）”理論的構(gòu)建與開(kāi)發(fā)引領(lǐng)我們進(jìn)入一個(gè)新的、系統(tǒng)的對(duì)“無(wú)窮集合中所含元素?cái)?shù)量”的定量認(rèn)知領(lǐng)域，使我們可以對(duì)集合論中各種各樣的“‘無(wú)窮’載體”開(kāi)展科學(xué)、有效、系統(tǒng)的定量認(rèn)知與研究.在對(duì)“集合論”這個(gè)數(shù)學(xué)分支中的任何內(nèi)容進(jìn)行實(shí)際定量認(rèn)知操作之前，人們必須先按“無(wú)窮載體理論”對(duì)它們進(jìn)行真正意義上的“數(shù)學(xué)分析”，核對(duì)、分析這些以“無(wú)窮數(shù)學(xué)載體”形式存在的“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”在與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)量類(lèi)型體系（數(shù)譜）、集合類(lèi)型體系（集合譜）中的位置，它們所具有的數(shù)量性質(zhì)、數(shù)量意義、表現(xiàn)形式，然后才進(jìn)行有針對(duì)性的定量認(rèn)知操作（比如有理數(shù)集合、實(shí)數(shù)集合、自然數(shù)集合就屬于，它們各自所含的元素?cái)?shù)量不同；而由“幾何點(diǎn)”、“常數(shù)1”所構(gòu)成的無(wú)窮集合就都屬于，“無(wú)窮無(wú)盡”是這類(lèi)無(wú)窮集合中所含元素的唯一“數(shù)量性質(zhì)”）.新構(gòu)建的與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)譜和集合譜的產(chǎn)生，填補(bǔ)了“第一代無(wú)窮集合論”中對(duì)“與無(wú)窮相關(guān)的數(shù)學(xué)事物”性質(zhì)與存在形式認(rèn)知上的一個(gè)空白，解決了自無(wú)窮集合論創(chuàng)立以來(lái)對(duì)各種“無(wú)窮事物”定量認(rèn)知過(guò)程中各種各樣致命的“‘潛無(wú)窮’—‘實(shí)無(wú)窮’混亂”所導(dǎo)致的缺陷.

4 結(jié)論

我們的研究證明，自古以來(lái)人們一直沒(méi)有注意到以“潛無(wú)窮、實(shí)無(wú)窮”為基礎(chǔ)的現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮理論體系基礎(chǔ)理論中的缺陷.所以，不可能了解到以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有經(jīng)典無(wú)窮集合論和經(jīng)典數(shù)學(xué)分析理論中存在完全相同的“無(wú)窮事物”定量認(rèn)知缺陷，不可能了解到這兩個(gè)數(shù)學(xué)分支中與“無(wú)窮”概念相關(guān)的各種懸而未決的悖論家族之間的必然關(guān)系，根本就不可能找到解決這些悖論家族成員的科學(xué)方法——第二次、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)在以經(jīng)典無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的現(xiàn)有哲學(xué)和數(shù)學(xué)理論體系中是不可解的.以新無(wú)窮理論體系為基礎(chǔ)的第四代數(shù)學(xué)分析和第二代無(wú)窮集合論的產(chǎn)生，是人類(lèi)科學(xué)中正常（必然）發(fā)生的新陳代謝活動(dòng)，而非對(duì)現(xiàn)有經(jīng)典數(shù)學(xué)分析與集合論的全盤(pán)否定.但是，不同的基礎(chǔ)理論決定了新、舊數(shù)學(xué)分析之間不可能完全等價(jià)，決定了新、舊無(wú)窮集合論之間也不可能完全等價(jià).