張寬橋,楊鎖昌,劉 暢

(陸軍工程大學(xué) 石家莊校區(qū)導(dǎo)彈工程系,河北 石家莊 050003)

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中,很多導(dǎo)彈需要以一定的攻擊角度命中目標(biāo),來增加戰(zhàn)斗部的毀傷效能。1973年,KIM首次將攻擊角度約束問題引入制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。其后經(jīng)過40多年的發(fā)展,針對帶攻擊角度約束制導(dǎo)律的研究成果豐碩[1]。由于滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動(dòng)模態(tài)對干擾具有不變性,因此被廣泛應(yīng)用在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[2]采用彈目視線角速率和攻擊角度約束項(xiàng)作為滑模面,結(jié)合自適應(yīng)指數(shù)趨近律,設(shè)計(jì)了帶攻擊角度約束的滑模制導(dǎo)律。

傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律采用線性滑模面,不能使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn),而終端滑模控制能使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂[3]。文獻(xiàn)[4]基于終端滑模控制,提出了帶攻擊角度約束的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律,使系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn),但制導(dǎo)指令中含有負(fù)指數(shù)項(xiàng),會(huì)存在奇異問題。文獻(xiàn)[5]改進(jìn)了一種非奇異終端滑模面函數(shù),解決了奇異問題,提出了非奇異終端滑?？刂品椒?。文獻(xiàn)[6]基于非奇異終端滑?？刂?提出了帶攻擊角度約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步提出了一種快速收斂的非奇異終端滑模面,具有比傳統(tǒng)非奇異終端滑模更快的收斂速度。

導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀并非一個(gè)理想環(huán)節(jié),它存在延遲等動(dòng)態(tài)特性,會(huì)一定程度上影響導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能,因此在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中需要加以考慮。文獻(xiàn)[8]將自動(dòng)駕駛儀近似為一階環(huán)節(jié),基于非奇異終端滑?？刂坪蛣?dòng)態(tài)面控制來設(shè)計(jì)制導(dǎo)律,具有良好的制導(dǎo)性能。實(shí)際上,導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀一般具有高階動(dòng)態(tài)特性。若將其近似為高階環(huán)節(jié),能夠很好地模擬駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性,但這會(huì)使制導(dǎo)律的形式過于復(fù)雜。為解決這個(gè)問題,有學(xué)者將駕駛儀近似為二階環(huán)節(jié),在貼近駕駛儀實(shí)際動(dòng)態(tài)特性的同時(shí),降低制導(dǎo)律形式的復(fù)雜程度。文獻(xiàn)[9]考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性,基于動(dòng)態(tài)面控制設(shè)計(jì)制導(dǎo)律,并未考慮攻擊角度約束問題。

本文針對攻擊角度約束的問題,選取了一種帶攻擊角度約束項(xiàng)的非奇異快速終端滑模面,將導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性近似為二階環(huán)節(jié),提出了帶攻擊角度約束的新型制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律不但克服了文獻(xiàn)[4]中制導(dǎo)律存在的奇異問題,還提高了系統(tǒng)狀態(tài)的全局快速收斂性,實(shí)現(xiàn)了對自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的有效補(bǔ)償。針對目標(biāo)加速度未知的問題,本文還設(shè)計(jì)了超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對目標(biāo)加速度進(jìn)行估計(jì)。仿真表明,所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律能夠滿足命中精度和攻擊角度約束的要求。

1 彈目相對運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)均為質(zhì)點(diǎn),在二維慣性坐標(biāo)系上建立彈目相對運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖,如圖1所示。圖中,vm和vt為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度,假設(shè)為常值;θm和θt為導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)的航跡傾角;r為彈目相對距離,q為彈目視線角。

圖1 彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系

因此,可構(gòu)建彈目相對運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:ηm=q-θm,ηt=q-θt。

對式(2)求導(dǎo),并結(jié)合式(1)得:

(5)

式中:atq=atcosηt,視為有界未知量來處理。

攻擊角度為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)導(dǎo)彈與目標(biāo)速度矢量方向之間的夾角,攻擊角度約束問題可以轉(zhuǎn)化為終端視線角約束問題。自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性對導(dǎo)彈的制導(dǎo)效果有很大的影響,需要加以考慮。導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀可用二階動(dòng)態(tài)特性來描述[10],表達(dá)式為

(6)

式中:ξ為導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的阻尼比,ωn為自振頻率,ac為導(dǎo)彈制導(dǎo)指令。

考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性帶攻擊角度約束的彈目相對運(yùn)動(dòng)模型可描述為

(7)

2 超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

在制導(dǎo)過程中,目標(biāo)的加速度信息往往是無法進(jìn)行測量的,因此需要對目標(biāo)機(jī)動(dòng)等信息進(jìn)行估計(jì)。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)是一種很好的估計(jì)系統(tǒng)不確定性的方法[11]。但傳統(tǒng)的ESO在設(shè)計(jì)時(shí),將總擾動(dòng)視為常值或者是慢變的量,故總擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)為0。在估計(jì)時(shí)變擾動(dòng)的時(shí)候,這種處理方式阻礙了ESO性能的進(jìn)一步提升。雖然針對時(shí)變的干擾,可以增大ESO的增益來獲得滿意的干擾估計(jì)效果。但是,當(dāng)系統(tǒng)的輸出存在測量噪聲時(shí),高增益會(huì)帶來測量噪聲的放大問題。借鑒ESO設(shè)計(jì)思想,將二階滑模超螺旋算法[12]與ESO相結(jié)合設(shè)計(jì)一種超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(STESO),具有ESO和滑模控制的優(yōu)點(diǎn),且采用超螺旋算法能夠降低滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。

考慮如下一階系統(tǒng):

(8)

式中:Y為系統(tǒng)輸出,u為系統(tǒng)輸入,w(t)為總擾動(dòng)。

|ζ|≤ζu

(9)

式中:ζu為ζ的上界。

定義新的狀態(tài)變量y1=Y,y2=w(t),則式(8)可描述為

(10)

基于超螺旋算法改進(jìn)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器,在超螺旋算法中引入了線性項(xiàng),進(jìn)一步加快觀測器的收斂速度,設(shè)計(jì)STESO為

(11)

結(jié)合式(10)和式(11)可得:

(12)

為證明方便,引入如下引理。

針對如下非線性系統(tǒng):

(13)

證明定義一組新的狀態(tài)變量:

(14)

微分得:

(15)

式中:

(16)

定義Lyapunov函數(shù):

V1=YTPY

(17)

(18)

易證P為正定矩陣,則下式成立:

λmin(P)‖Y‖2≤V1≤λmax(P)‖Y‖2

(19)

式中:λmax(P)和λmin(P)為矩陣的最大和最小特征值。

對式(17)微分得:

(20)

式中:

(21)

易證Q1為正定矩陣。由式(16)和式(18)可得:

(22)

定義Q=Q1+Q2,將式(22)代入式(20)得:

(23)

式中:

(24)

選取如下參數(shù):

(25)

易證Q為正定矩陣。

由式(19)可知:

(26)

式(23)可轉(zhuǎn)化為

(27)

針對式(5)可以建立如下STESO:

(28)

式中:z2為atq/r的估計(jì)值。

3 帶攻擊角度約束制導(dǎo)律

(29)

式中:k1>0,k2>0,α=p1/p2>1,β=p1/p2,1<β<2,p1、p2、p3、p4均為奇數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后,即:

(30)

則x1和x2可有限時(shí)間收斂至原點(diǎn),且比傳統(tǒng)非奇異終端滑模的收斂速度更快。具體證明參考文獻(xiàn)[7]。

為削弱抖振,同時(shí)加快滑模趨近速率,增強(qiáng)制導(dǎo)律的自適應(yīng)性,選取如下指數(shù)冪次趨近律:

(31)

式中:k3>0,k4>0,γ>0。

相比傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律,趨近律(31)的系數(shù)可隨彈目距離的變化而自適應(yīng)地調(diào)整。當(dāng)彈目距離較大時(shí),趨近律系數(shù)較小,制導(dǎo)指令較小,保證了導(dǎo)彈的飛行穩(wěn)定性;彈目距離逐漸減小時(shí),系數(shù)增大,收斂速度加快,保證了制導(dǎo)精度的要求。

定理2基于滑模面(29)和趨近律(31),利用STESO對目標(biāo)加速度信息進(jìn)行估計(jì),采用動(dòng)態(tài)面控制方法設(shè)計(jì)考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的攻擊角度約束制導(dǎo)律為

(32)

x3c和x4c為虛擬控制指令,τ3和τ4為濾波器的時(shí)間常數(shù),τ3>0,τ4>0,則滑模面S1能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至區(qū)域|S1|≤δ,其中δ為一較小正數(shù)。同時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至區(qū)域:

(33)

證明定義邊界層誤差:

σi=xid-xic,i=3,4

(34)

微分得:

(35)

選取Lyapunov函數(shù):

(36)

微分得:

(37)

將式(37)整理后得:

(38)

(39)

求解式(39)得:

0≤V2(t)≤1/(4K)+[V2(0)-1/(4K)]e-2Kt

(40)

由式(40)和引理3可知,V2是有限時(shí)間穩(wěn)定且有界的,因此,S1、S2、S3、σ3和σ4是有界的。若參數(shù)選擇適當(dāng),可使它們?nèi)我庑　Ｒ虼吮厝淮嬖谝粋€(gè)較小正數(shù)δ,使得在制導(dǎo)律(32)的作用下,滑模面S1可在有限時(shí)間內(nèi)收斂至區(qū)域|S1| ≤δ。當(dāng)S1進(jìn)入?yún)^(qū)域|S1| ≤δ,令S1=κ,其中|κ| ≤δ,可得:

(41)

式(41)可進(jìn)一步寫成:

(42)

|x2|≤(|κ|/k2)1/β≤(δ/k2)1/β

結(jié)合式(41)可得x1能夠有限時(shí)間內(nèi)收斂至區(qū)域:

|x1|≤|x1|+k1|x1|α≤k2|x2|β+|κ|≤2δ

證畢。

制導(dǎo)律(32)中存在x3d和x4d需要根據(jù)式(32)進(jìn)行求解。比較k5和1/τ3、k6和1/τ4的參數(shù)取值范圍,可以發(fā)現(xiàn)其取值范圍基本重合,因此可以令k5=1/τ3,k6=1/τ4,此時(shí)既可以消去制導(dǎo)律(32)中的x3d和x4d項(xiàng),又可以減少制導(dǎo)律中的參數(shù)數(shù)量,且不影響其整體性能。簡化后的制導(dǎo)律形式為

(43)

為敘述方便,將式(43)所示的考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的滑模制導(dǎo)律簡記為ADNTSMG。

4 仿真分析

本節(jié)基于彈道仿真,對所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的性能進(jìn)行對比仿真研究。導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始位置分別為(0,0)和(15 km,10 km),導(dǎo)彈的速度為vm=800 m/s,初始航跡角θm=45°,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度vt=300 m/s,初始航跡角θt=180°。導(dǎo)彈過載n=am/g,導(dǎo)彈的最大可用過載為20。設(shè)置自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)參數(shù)為ξ=0.8,ωn=8 rad/s。仿真中引入了文獻(xiàn)[2]提出的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律(ASMG)以及文獻(xiàn)[6]提出的非奇異終端滑模制導(dǎo)律(NTSMG)進(jìn)行對比仿真。為驗(yàn)證STESO的性能,引入傳統(tǒng)ESO進(jìn)行對比仿真分析。

根據(jù)目標(biāo)圓弧機(jī)動(dòng)和蛇形機(jī)動(dòng)2種機(jī)動(dòng)方式,分2種情形進(jìn)行仿真。其中圓弧機(jī)動(dòng)時(shí),at=10 m/s2,蛇形機(jī)動(dòng)時(shí),at=20sin(πt/5)。仿真結(jié)果如圖2～圖6和表1所示,表中,tf為攻擊時(shí)間,D為脫靶量。

表1 攻擊時(shí)間和脫靶量的仿真結(jié)果

圖2為目標(biāo)加速度的估計(jì)曲線,可以看出,STESO相比傳統(tǒng)ESO能夠更快、更準(zhǔn)確地對目標(biāo)的加速度信息進(jìn)行實(shí)時(shí)在線估計(jì),具有較快的收斂特性和較強(qiáng)的魯棒性。

圖2 目標(biāo)加速度估計(jì)

由圖3可以看出,在ADNTSMG作用下,導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡較為光滑,在末段較為平直,這是由于ADNTSMG采用了非奇異快速終端滑模面,使得彈目視線角速率能夠在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂至0附近。在ASMG的作用下,導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率整體較大。在NTSMG的作用下,導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡在制導(dǎo)末段曲率變化較為劇烈。

圖3 彈目運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖4可知,ASMG和ADNTSMG能使彈目視線角收斂至90°附近,但ASMG存在抖振和發(fā)散現(xiàn)象,主要由于滑模制導(dǎo)律固有的抖振問題和自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的影響。而ADNTSMG對自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行補(bǔ)償且采用了自適應(yīng)指數(shù)趨近律削弱了抖振現(xiàn)象。NTSMG彈目視線角不能達(dá)到期望角度,且逐漸發(fā)散。

由圖5和圖6可以看出,ASMG和NTSMG均不能使彈目視線角速率及導(dǎo)彈過載收斂至0附近,且有抖振現(xiàn)象和發(fā)散趨勢,這將增大導(dǎo)彈的脫靶量(見表1)。而ADNTSMG能使彈目視線角速率及導(dǎo)彈過載有效收斂至0附近。ADNTSMG在末端需用過載較小,有足夠的過載余量應(yīng)對各種干擾,進(jìn)而能提高導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度(見表1)。由表1可以看出,ADNTSMG的攻擊時(shí)間和脫靶量明顯小于ASMG和NTSMG。

綜上所述,ADNTSMG能補(bǔ)償自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性,攻擊時(shí)間和脫靶量均小于ASMG和NTSMG,且彈目視線角及角速率能有限時(shí)間內(nèi)收斂至期望值附近,驗(yàn)證了ADNTSMG的有效性及優(yōu)越性。

圖4 彈目視線角

圖5 彈目視線角速率

圖6 導(dǎo)彈法向過載

5 結(jié)束語

本文針對攻擊角度的問題,提出了一種帶攻擊角度約束考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的滑模制導(dǎo)律。通過理論分析和仿真驗(yàn)證,可以得出以下結(jié)論:

①快速收斂的非奇異終端滑模面,能夠?qū)崿F(xiàn)制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間快速收斂,自適應(yīng)指數(shù)趨近律能削弱抖振,增強(qiáng)滑?？刂频淖赃m應(yīng)性。

②超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測器STESO估計(jì)精度高,收斂速度快,能有效估計(jì)系統(tǒng)未知干擾。

③考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的制導(dǎo)律ADNTSMG能夠?qū)ψ詣?dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行有效補(bǔ)償,增強(qiáng)制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性,提高導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能。

制導(dǎo)參數(shù)的選取會(huì)影響制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能,后續(xù)還需要針對制導(dǎo)參數(shù)優(yōu)化方面進(jìn)行研究。