李東旭,王曉芳,林 海

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京 100081)

高超聲速導(dǎo)彈因其飛行速度快、作戰(zhàn)范圍廣等特點(diǎn)在近年來成為研究熱點(diǎn)。與此同時,美國正在研制和部署全球一體化反導(dǎo)系統(tǒng),單一高超聲速導(dǎo)彈的突防能力受到嚴(yán)峻考驗(yàn),多高超聲速導(dǎo)彈通過各彈之間的戰(zhàn)術(shù)、火力相互支援和協(xié)調(diào),形成有掩護(hù)的攻擊,更加符合未來戰(zhàn)場的作戰(zhàn)需要,是提升協(xié)同突防能力和攻擊能力的有效手段[1]。因此對多高超聲速導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)問題進(jìn)行深入研究具有十分重要的意義。

高超聲速導(dǎo)彈協(xié)同末制導(dǎo)技術(shù)是其協(xié)同作戰(zhàn)的核心關(guān)鍵技術(shù)。關(guān)于協(xié)同末制導(dǎo)律,目前針對常速飛行的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的研究比較多,根據(jù)彈間是否存在通訊,可以分為具有指定攻擊時間約束的末制導(dǎo)律[2-7]與存在彈間通訊的協(xié)同末制導(dǎo)律[8-9]。但高超聲速導(dǎo)彈具有飛行速度時變且不可控的特點(diǎn)[10-15],文獻(xiàn)[2-9]的方法并不適用。文獻(xiàn)[11]針對速度非定常的導(dǎo)彈,將攻擊時間控制問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)彈實(shí)際剩余航程對標(biāo)稱剩余航程的跟蹤問題,提出了2種分別滿足攻擊時間約束、攻擊時間與攻擊角度約束的導(dǎo)引律,但其只適用于導(dǎo)彈在二維平面內(nèi)運(yùn)動的情況。針對導(dǎo)彈在三維空間運(yùn)動的情況,文獻(xiàn)[12]提出了一種基于彈目距離的協(xié)同策略,根據(jù)當(dāng)前時刻的速度及彈目距離計(jì)算側(cè)向速度前置角,從而控制導(dǎo)彈側(cè)向機(jī)動,實(shí)現(xiàn)了多高超聲速導(dǎo)彈對目標(biāo)的協(xié)同打擊。文獻(xiàn)[13]基于每個時刻的狀態(tài)在線對剩余飛行時間進(jìn)行估計(jì),將其與給定攻擊時間的誤差作為反饋,實(shí)現(xiàn)對攻擊時間的控制。為了提高對目標(biāo)的攻擊效能,通常對攻擊落角有限制,而文獻(xiàn)[12-13]只考慮了攻擊時間的約束,并沒考慮攻擊角度的約束。另外,由于各導(dǎo)彈的速度、機(jī)動性都是有限的,因此,其并不是從任何位置開始末制導(dǎo)都可以實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊的,此時,需對導(dǎo)彈可行的末制導(dǎo)初始位置域進(jìn)行研究,而上述文獻(xiàn)均沒有涉及這一點(diǎn),故而針對多高超聲速導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)問題,設(shè)計(jì)能夠同時滿足攻擊時間和攻擊角度約束的三維協(xié)同制導(dǎo)律以及對各導(dǎo)彈的可行末制導(dǎo)初始位置域進(jìn)行研究是非常重要和必要的。

本文考慮高超聲速導(dǎo)彈速度時變且不可控的特點(diǎn),在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步研究,通過縱向制導(dǎo)指令控制落角、側(cè)向制導(dǎo)指令控制攻擊時間,從而得到同時滿足落角與攻擊時間約束的協(xié)同末制導(dǎo)律。在此基礎(chǔ)上,考慮各導(dǎo)彈的機(jī)動能力、末端速度約束,給出計(jì)算其攻擊時間范圍的方法和一維、二維可行末制導(dǎo)初始位置域的求解方法。最后通過仿真驗(yàn)證了協(xié)同末制導(dǎo)律的良好性能與可行域求解方法的有效性。

1 問題描述

在末制導(dǎo)段,假設(shè)導(dǎo)彈攻擊靜止目標(biāo),其在三維空間的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)相對運(yùn)動關(guān)系圖

圖1中,Oxyz為地面坐標(biāo)系,M和T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo),r為彈目距離,φ和θ分別為俯仰、偏航方向視線角,圖示方向?yàn)檎?。v、γ和ψ分別為導(dǎo)彈速度、彈道傾角和彈道偏角,圖示γ方向?yàn)檎?ψ方向?yàn)樨?fù)。由圖1可得彈目相對運(yùn)動的方程組為

(1)

式中:η=θ+ψ+(π/2)為偏航方向速度前置角。

表征導(dǎo)彈運(yùn)動非線性傾斜轉(zhuǎn)彎模型[13]為

(2)

式中:FL、FD分別為導(dǎo)彈的升力與阻力,m為導(dǎo)彈質(zhì)量,g為重力加速度,σ為導(dǎo)彈的傾側(cè)角,由于采用BTT-90模式,有-90°≤σ≤90°,(x,y,z)為導(dǎo)彈位置。

多導(dǎo)彈要想在指定的時間td以指定的落角γ*對目標(biāo)進(jìn)行飽和攻擊,須滿足:

(x(td)y(td)z(td)γ(td))T=(0 0 0γ*)T

2 三維協(xié)同末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

高超聲速導(dǎo)彈的速度時變且不可控,給多導(dǎo)彈協(xié)同末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)帶來很大挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[13]通過預(yù)測值計(jì)算剩余飛行時間,將其與給定剩余攻擊時間的差作為反饋得到制導(dǎo)指令,實(shí)現(xiàn)攻擊時間控制。本文在此基礎(chǔ)上,考慮攻擊角度的約束,給出了能夠同時實(shí)現(xiàn)攻擊時間和攻擊角度約束的末制導(dǎo)律。

對于高超聲速導(dǎo)彈來講,其剩余飛行時間的高精度估計(jì)是一個難題,采用數(shù)值計(jì)算的方法對其進(jìn)行在線估計(jì)。具體過程為:

②為了得到剩余飛行時間預(yù)測值,建立性能指標(biāo)函數(shù)為

(3)

采用梯度下降法[13]對式(3)所示的無約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解,得到:

(4)

(5)

基于式(5)可對剩余飛行時間在線估計(jì)。

(6)

式中:γ*為理想落角,N1為比例系數(shù),K>0為制導(dǎo)參數(shù)。則導(dǎo)彈在預(yù)測時采用三維制導(dǎo)律表達(dá)式為

(7)

不同于文獻(xiàn)[13]中通過縱向彈道的調(diào)整實(shí)現(xiàn)攻擊時間約束,本文通過在側(cè)向制導(dǎo)指令中加入理想攻擊時間與預(yù)測攻擊時間的誤差作為反饋項(xiàng)實(shí)現(xiàn)對攻擊時間的控制,而在縱向采用式(6)所示的偏置比例導(dǎo)引律實(shí)現(xiàn)對攻擊落角的控制。

考慮攻擊時間約束,令攻擊時間誤差[13]:

(8)

式中:tr是為使導(dǎo)彈的指令較平滑而設(shè)計(jì)的理想攻擊時間函數(shù),其表達(dá)式為[13]

式中:t0為基于導(dǎo)彈初始狀態(tài)采用常規(guī)比例導(dǎo)引律的攻擊時間,tp為控制t0到td變化速度的時間參數(shù)。大量實(shí)證研究表明:令tp=2td/3可以消耗較小的控制能量[13]。

將式(8)所示的時間誤差作為反饋項(xiàng)引入側(cè)向比例導(dǎo)引律指令,有:

式中:N2為比例系數(shù),ku為設(shè)計(jì)參數(shù)。則側(cè)向攻擊時間控制思路為:在每個制導(dǎo)周期,基于式(7)制導(dǎo)律對剩余飛行時間進(jìn)行預(yù)測,將計(jì)算得到剩余飛行時間與理想剩余飛行時間的差et作為反饋項(xiàng)引入側(cè)向制導(dǎo),側(cè)向制導(dǎo)指令作用于彈體,在下一制導(dǎo)周期,基于新的導(dǎo)彈位置、速度等狀態(tài)再采用式(7)制導(dǎo)律對剩余飛行時間進(jìn)行預(yù)測,同時繼續(xù)通過et對導(dǎo)彈進(jìn)行控制,如此進(jìn)行,直至最終實(shí)現(xiàn)在理想攻擊時間擊中目標(biāo)。

故而三維空間的同時具有攻擊時間和攻擊角度約束的制導(dǎo)律為

(9)

在Matlab環(huán)境中調(diào)用fmincon函數(shù)尋優(yōu)得到攻角指令,有:

αd=arg min|FL-FLd|

在本文中,假設(shè)實(shí)際攻角與傾側(cè)角能夠完全跟蹤攻角指令與傾側(cè)角指令,即:

3 末制導(dǎo)可行初始位置域研究

由于各導(dǎo)彈的機(jī)動能力有限,且通常對其末速有要求,因此,其并不是從任何位置開始末制導(dǎo)都能同時擊中目標(biāo),實(shí)現(xiàn)協(xié)同,有必要在考慮導(dǎo)彈有限機(jī)動能力和末速約束的前提下研究各自在不同協(xié)同攻擊時間對應(yīng)的末制導(dǎo)可行初始位置域。當(dāng)導(dǎo)彈滑翔至z0=h0的高度時轉(zhuǎn)入末制導(dǎo),且假設(shè)導(dǎo)彈初始速度大小和方向已確定。接下來選定合適的理想攻擊時間,再在y=y0的前提下求解理想攻擊時間對應(yīng)的x方向一維可行位置域;最后求解x,y方向二維可行位置域。

3.1 攻擊時間范圍求解

當(dāng)目標(biāo)信息和末制導(dǎo)初期導(dǎo)彈的位置及速度已確定時,受可用過載和末速的約束,導(dǎo)彈能夠?qū)崿F(xiàn)的飛行時間是有限的,即存在最小攻擊時間和最大攻擊時間。

由于高超聲速導(dǎo)彈速度時變且不可控,其攻擊時間范圍[tmin,tmax]無法采用解析方法進(jìn)行求解,因此本文采用數(shù)值計(jì)算方法。當(dāng)導(dǎo)彈采用式(7)所示帶落角約束的三維比例導(dǎo)引律時,其攻擊時間t0為最小攻擊時間,即tmin=t0。在最小時間的基礎(chǔ)上,令td=t0+iΔt(i=1,2,…,Δt為時間間隔)。從i=1開始計(jì)算td,此時通過仿真判斷導(dǎo)彈采用式(9)所示的協(xié)同末制導(dǎo)律時是否滿足可用過載n≤nmax及末速約束vf≥vfmin,如滿足,則增加i,從而增大td進(jìn)行再次仿真;如不滿足,則輸出上一步滿足約束的td作為最大攻擊時間tmax。由以上方法可求得在某個末制導(dǎo)初始位置下導(dǎo)彈的攻擊時間范圍。

3.2 一維可行位置域求解

首先求解一維可行位置域。假定導(dǎo)彈末制導(dǎo)初始位置y0、z0確定,選取合理的理想?yún)f(xié)同攻擊時間td1,求解能以td1實(shí)現(xiàn)協(xié)同的x0的精確范圍,即一維可行初始位置域。

研究導(dǎo)彈位于不同末制導(dǎo)初始位置時的協(xié)同可行性。假設(shè)兩枚導(dǎo)彈A、B分別位于M1(x01A,y0,z0)和M2(x01B,y0,z0),且0t1Bmin時,導(dǎo)彈能以[t1Bmin,t1Amax]中任一時間實(shí)現(xiàn)協(xié)同。當(dāng)t1Amax=t1Bmin=td1時,導(dǎo)彈僅能以td1實(shí)現(xiàn)協(xié)同?？紤]多彈協(xié)同,由上述分析可知,當(dāng)t1Amax=t1Bmin=td1且多彈初始位置在M1與M2之間時,其均可以td1實(shí)現(xiàn)協(xié)同,此時M1與M2在x方向坐標(biāo)范圍[x01A,x01B]為最大可行末制導(dǎo)初始位置域。

綜上所述,對一維可行位置域的求解可以轉(zhuǎn)化為求解最大攻擊時間等于td1的x01A與最小攻擊時間等于td1的x01B。以導(dǎo)彈x方向初始位置x0為設(shè)計(jì)變量,即:

X=x0

(10)

考慮導(dǎo)彈的可用過載與末速約束有:

(11)

式中:nmax為可用過載,vfmin為最小末速。

導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)協(xié)同的條件為以相同攻擊時間td1擊中目標(biāo),則性能指標(biāo)函數(shù)可設(shè)為

minF1(X)=|t1-td1|

(12)

式中:t1為實(shí)際飛行時間。

式(10)～式(12)構(gòu)成了優(yōu)化模型,采用優(yōu)化算法對其求解。在每次優(yōu)化過程中,計(jì)算設(shè)計(jì)變量對應(yīng)的攻擊時間范圍[t1jmin,t1jmax](j=1,2,…,p),令性能指標(biāo)函數(shù)中t1=t1jmin,則優(yōu)化計(jì)算得到x01max;令t1=t1jmax,則優(yōu)化計(jì)算得到x01min。此時得到攻擊時間td1所對應(yīng)的一維末制導(dǎo)可行初始位置域[x01min,x01max]。改變期望協(xié)同攻擊時間td1,可分別計(jì)算其對應(yīng)的初始位置域。

3.3 二維可行位置域求解

仍然假設(shè)末制導(dǎo)初始時刻導(dǎo)彈的飛行高度z0=h0確定。考慮導(dǎo)引頭的作用距離、開始末制導(dǎo)時的高度、導(dǎo)彈側(cè)向機(jī)動能力等因素,設(shè)定x方向的初始位置范圍[x02min,x02max],在此基礎(chǔ)上,將二維可行域的求解問題轉(zhuǎn)化為一維可行域的求解,即取x02k∈[x02min,x02max](k=1,2,…,q),基于3.2節(jié)的方法可求解導(dǎo)彈的初始x0=x02k,z0=h0時,對應(yīng)于理想攻擊時間td2的y方向坐標(biāo)范圍[y02kmin,y02kmax]。考慮在整個[x02min,x02max]范圍內(nèi)對應(yīng)的[y02kmin,y02kmax],則可獲得二維末制導(dǎo)可行初始位置域。

4 仿真與分析

4.1 協(xié)同末制導(dǎo)律性能分析

假設(shè)目標(biāo)位于原點(diǎn),導(dǎo)彈A和B的初始位置為M1(x0A,y0A,z0A)=(25 km,5 km,20 km),M2(x0B,y0B,z0B)=(28 km,-10 km,20 km)。兩枚彈的初始速度均為v0=1 600 m/s,初始彈道傾角均為γ0=-10°,初始彈道偏角均為ψ0=-80°。升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD[13]為

導(dǎo)彈的質(zhì)量m=1 600 kg,參考面積S=0.502 6 m2。攻角允許范圍為[-15°,15°]。式(7)、式(9)制導(dǎo)律中的N1=N2=3,κ=8×10-6,ku=10,K=-1.5。理想攻擊時間td=30 s,理想落角γ*=-80°。仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。

圖2 兩枚導(dǎo)彈彈道曲線

圖3 兩枚導(dǎo)彈彈道傾角變化曲線

圖4 兩枚導(dǎo)彈彈道偏角變化曲線

圖5 兩枚導(dǎo)彈攻角變化曲線

圖6 兩枚導(dǎo)彈傾側(cè)角變化曲線

圖7 兩枚導(dǎo)彈et變化曲線

4.2 一維可行域仿真及分析

假設(shè)高超聲速導(dǎo)彈滑翔至h0=20 km時轉(zhuǎn)入末制導(dǎo),令初始側(cè)向坐標(biāo)y0=0,分別設(shè)導(dǎo)彈C與導(dǎo)彈D的初始速度為v0C=1 600 m/s與v0D=1 500 m/s。其他初始條件與4.1中相同。為了研究方便,令理想攻擊時間td1在[26 s,34 s]中每隔1 s取值。約束條件:vfmin==700 m/s,nmax=30。優(yōu)化結(jié)果如表1與圖8所示。

表1 一維協(xié)同可行初始位置域

圖8 兩枚導(dǎo)彈一維可行初始位置域

由表1與圖8可知,對應(yīng)不同理想攻擊時間,2個導(dǎo)彈均具有各自的可行初始位置域。由表1可知,由于導(dǎo)彈C的初速大于導(dǎo)彈D的初速,因此有x01Cmin>x01Dmin,x01Cmax>x01Dmax。由于導(dǎo)彈D初始速度較小,但其也必須滿足末速要求,因此其初始位置域較小,如當(dāng)td1=30 s時,導(dǎo)彈C可行位置域范圍為8.065 km,導(dǎo)彈D只有7.721 km。另一方面,理想攻擊時間越大,導(dǎo)彈可調(diào)整的范圍越大,其可行初始位置域越大。

4.3 二維可行位置域仿真及分析

以導(dǎo)彈C為例,求解其二維可行位置域。同樣假設(shè)其在高度為20 km處轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)。參考4.2節(jié)中求得的一維可行位置域,同時為了計(jì)算方便,設(shè)導(dǎo)彈C在x方向的初始坐標(biāo)x02C∈[x02Cmin,x02Cmax]=[20 km,30 km]。令x02C在[x02Cmin,x02Cmax]中每隔1 km取值,其他初始條件與4.2中相同,求對應(yīng)的側(cè)向坐標(biāo)范圍。設(shè)定理想攻擊時間td2分別為28 s、30 s和32 s,得到二維可行位置域如圖9所示。

圖9 不同td2時的二維可行初始位置域

當(dāng)td2=28 s時,由表1可知,在y01C=0前提下,x01C范圍為[20.986 km,28.564 km],當(dāng)沒有y02C=0的約束,求取二維可行初始位置域時,在20 km≤x02C<20.986 km也存在可行位置域,但是由圖9可知此時可行的y02C是不連續(xù)的。較小的x02C對應(yīng)的可行|y02C|較大,隨著x02C的減小,可行y02C的范圍減小,這是因?yàn)樾〉膞02C和大的|y02C|對應(yīng)著相差不大的初始距離,才有可能實(shí)現(xiàn)同一攻擊時間。當(dāng)20.986 km≤x02C≤28.564 km時,其對應(yīng)著連續(xù)可行y02C,隨著x02C的增大,可行y02C的范圍減小,同樣是因?yàn)橄嗖畈淮蟮某跏紡椖烤嚯x才有可能達(dá)到相同的攻擊時間。而當(dāng)x02C>28.564 km時,初始彈目距離較大,導(dǎo)彈不做機(jī)動時的攻擊時間已經(jīng)大于理想攻擊時間,故而無可行初始位置域。當(dāng)td2=30 s和32 s時,與上述分析類似。

由表1可見,td2=28 s,30 s和32 s時,其一維可行初始位置域的交集為[25.197 km,28.564 km],在此范圍內(nèi),同一x02C對應(yīng)的y02C范圍越大,這是因?yàn)槔硐牍魰r間長,給導(dǎo)彈進(jìn)行調(diào)節(jié)的時間和余地就大,因此,其可行初始位置域也大。

5 結(jié)束語

本文針對速度時變且不可控的多高超聲速導(dǎo)彈,研究了能夠使其在指定的時間以指定的落角對目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同打擊的三維末制導(dǎo)律。基于此末制導(dǎo)律,考慮多導(dǎo)彈各自的末制導(dǎo)初始速度大小及方向、可用過載約束和末速約束,提出了可實(shí)現(xiàn)協(xié)同飛行的各導(dǎo)彈的一維和二維的末制導(dǎo)可行初始位置域求解方法,并通過仿真進(jìn)行了分析。相對于前人所做的工作,本文的貢獻(xiàn)在于:

①針對高超聲速導(dǎo)彈,基于縱向指令控制落角、側(cè)向指令控制攻擊時間的思路,對文獻(xiàn)[13]進(jìn)行改進(jìn),提出了同時具有攻擊時間和攻擊角度約束的三維協(xié)同末制導(dǎo)律。

②考慮各導(dǎo)彈的末制導(dǎo)初始速度大小及方向、機(jī)動能力和末速要求,提出求解其一維和二維的末制導(dǎo)可行初始位置域的方法。

本文的方法適用于多同構(gòu)或異構(gòu)速度時變且不可控的導(dǎo)彈協(xié)同飛行的情況,具有廣闊的軍事應(yīng)用前景。