李榮玲

（滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 云南·臨滄 677099）

0 前言

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)強(qiáng)調(diào)“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，其中的基本思想就是數(shù)學(xué)思想。為了讓高校培養(yǎng)的師范生更快地適應(yīng)未來的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作，在教師專業(yè)化成長的第一個(gè)階段——師范教育階段的相應(yīng)課程教學(xué)中，教師要重視進(jìn)一步滲透相關(guān)數(shù)學(xué)思想。而作為高師小教理本專業(yè)課程設(shè)置中一門以自然界中的隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象的課程，概率論與人們的現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，教學(xué)過程當(dāng)然離不開問題解決。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家C.A.雅諾夫斯卡婭說過“解題就是把問題歸結(jié)為已經(jīng)解過的問題”。這里的歸結(jié)就是化歸，所以，解決任何一個(gè)問題的過程都是一個(gè)化歸的過程?；瘹w思想是本課程最根本的數(shù)學(xué)思想。概率論的核心思想—隨機(jī)思想是從個(gè)別到一般的轉(zhuǎn)化。概率論的基本思想—集合與映射思想、數(shù)形結(jié)合思想、公理化思想、分類思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)學(xué)建模思想等。其中集合與映射思想、分類思想體現(xiàn)的是局部與整體的互化；數(shù)形結(jié)合思想思想是數(shù)與形之間的互化；函數(shù)與方程思想是函數(shù)、方程與不等式之間的互化；公理化思想、數(shù)學(xué)建模思想是從特殊到一般，從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，因此，化歸思想統(tǒng)攬著本課程其他數(shù)學(xué)思想方法。毛澤東同志論述方法論時(shí)有一段名言：“我們的任務(wù)是過河，但是沒有橋或沒有船就不能過。不解決橋或船的問題，過河就是一句空話?！笨梢赃@樣說，數(shù)學(xué)思想就是教師教授概率論的“橋”和“船”。倘若高師教育不重視發(fā)展學(xué)生的化歸意識(shí)，未來的數(shù)學(xué)教師自己很缺乏對(duì)化歸思想的認(rèn)知，當(dāng)他們?nèi)?zhí)教時(shí)又教出對(duì)化歸思想無知無畏的下一代，這于基礎(chǔ)教育改革是非常不利的?；诖?，高師概率論教學(xué)不應(yīng)該只局限于傳授基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，特別是化歸思想的滲透。讓化歸思想的滲透貫穿于概率論教學(xué)的全部過程，使我們培養(yǎng)的未來教師有豐富的化歸意識(shí)能適應(yīng)基礎(chǔ)教育的改革與發(fā)展。

1 化歸思想概述

化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，客觀事物是不斷發(fā)展變化的，事物之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化是現(xiàn)實(shí)世界的普遍規(guī)律。數(shù)學(xué)中充滿了矛盾，如：已知與未知、復(fù)雜與簡單、熟悉與陌生、困難和容易等。實(shí)現(xiàn)這些矛盾的轉(zhuǎn)化、化未知為已知，化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易就是化歸思想實(shí)質(zhì)。[1]在對(duì)問題作仔細(xì)觀察的基礎(chǔ)上，展開豐富的聯(lián)想，以求喚起對(duì)有關(guān)舊知識(shí)的回憶，開啟思維的大門，順利地借助舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)來處理面臨的新問題，這種數(shù)學(xué)思想就是化歸思想。[2]它的基本思路是：人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常是將待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問題，而問題是相對(duì)較易解決或已有固定解決程序的問題，且通過對(duì)問題的解決可以得到原問題的解答。

2 高師概率論教學(xué)中滲透化歸思想的幾點(diǎn)策略

2.1 在概率論教材中充分挖掘蘊(yùn)含的化歸思想，化隱為顯

概率論的知識(shí)可分為表層知識(shí)和深層知識(shí)，像概念、公式、定理、法則這些知識(shí)，看得見，摸得著，是外顯的，叫表層知識(shí)；像數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)看不見，摸不著，是隱含的，叫深層知識(shí)。表層知識(shí)在明處，教學(xué)中較容易把握，深層知識(shí)在暗處，教學(xué)中把握起來較困難。[3]這就需要任課教師全面熟悉和掌控本課程知識(shí)結(jié)構(gòu)，感知課程知識(shí)的整體內(nèi)容、內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘蘊(yùn)含在表層知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，特別是統(tǒng)攬著本課程其他數(shù)學(xué)思想方法的化歸思想。比如，概率性質(zhì)5：對(duì)于任意事件，都有是表層知識(shí)，但此性質(zhì)中蘊(yùn)含著的化歸思想，教師要把其充分挖掘出來，即當(dāng)人們遇到的隨機(jī)事件越復(fù)雜時(shí)，他的對(duì)立面就越簡單，因此，當(dāng)正面求解一個(gè)事件的概率很難或不能求得時(shí)，往往轉(zhuǎn)而關(guān)注其對(duì)立面，像又如，分布函數(shù)法中，反復(fù)涉及化歸思想，教師應(yīng)該把其挖掘，化隱為顯。應(yīng)用分布函數(shù)的概率意義，建立等式把未知的用概率值轉(zhuǎn)化出來，這是第一次化歸；根據(jù)關(guān)系式得到在不等式中求出，找到與的聯(lián)系式，即用已知的表示未知的這是第二次化歸；求導(dǎo)固定這是第三次化歸；根據(jù)的分布，確定出的解析表達(dá)式，這是第四次化歸。通過這樣層層挖掘，化歸思想逐漸明朗。

2.2 在表層知識(shí)的教學(xué)中逐步滲透化歸思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

教授表層知識(shí)時(shí)，因?yàn)槠涫峭怙@的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用觀察、試驗(yàn)、、猜測(cè)、直覺、歸納和類比等思維形式，順利地將舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)與將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)聯(lián)系起來，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，順利滲透化歸思想。例如隨機(jī)事件概念教學(xué)時(shí)，教材里是這樣解釋隨機(jī)事件的：在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把可能發(fā)生也可能不發(fā)生的一些結(jié)果堆放在一起構(gòu)成一個(gè)整體，這個(gè)整體就稱為該隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件。教師通過引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)隨機(jī)事件都是由隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)或者多個(gè)不能再分解的結(jié)果所組成的，也就是說，隨機(jī)事件是將一些具有共同特征的研究對(duì)象堆積在一起構(gòu)成的一個(gè)整體。因此隨機(jī)事件就是集合，把事件化歸成集合后，事件之間的關(guān)系、運(yùn)算和運(yùn)算律這些新知識(shí)全部化歸為集合之間的關(guān)系、運(yùn)算和運(yùn)算律這些舊知識(shí)。運(yùn)用化歸思想對(duì)表層知識(shí)進(jìn)行消化、整理、歸納，將零散的新知識(shí)納入原有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，最終發(fā)展師范生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

2.3 在典型例題的解答中反復(fù)運(yùn)用化歸思想，深化師范生化歸意識(shí)

解答典型例題的過程，就是化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化新為舊的過程。這一過程就是反復(fù)運(yùn)用化歸思想的過程，解題時(shí)，通過觀察、聯(lián)想、分析、類比題目的條件、已知信息、要達(dá)成的目的，聯(lián)想到與之有關(guān)的概念、定理、法則、公式、其他數(shù)學(xué)思想或之前會(huì)解的具有相同或相似已知量或未知量的問題，通過化歸，建立起已知信息和要達(dá)成的目的之間的聯(lián)系，從而找到解決典型題的思路或方法。例如，期望的性質(zhì)后的典型例題：用表示擲1500個(gè)骰子時(shí)的點(diǎn)數(shù)和，求。根據(jù)題意，雖然是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，但的分布非常復(fù)雜，難以得到。利用期望的原始計(jì)算公式計(jì)算行不通。實(shí)際上，如用表示擲第 個(gè)骰子時(shí)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，把進(jìn)行分解，則轉(zhuǎn)化為的和。聯(lián)想到期望性質(zhì)3，歸結(jié)為和的期望，而的概率分布已知，其期望易得，所以，化歸為已知的的和，問題完美解答。

2.4 在課外作業(yè)的求解中讓師范生內(nèi)化化歸思想，提升數(shù)學(xué)能力

課外作業(yè)的求解關(guān)鍵在于尋找解法，此時(shí)，學(xué)生可以向自己提出一系列問題：見過這個(gè)問題嗎？見過類似的問題嗎？見過與之相關(guān)的問題嗎？通過不斷變更問題，尋找到解決問題的方法，而變更就是化歸，學(xué)生通過課外探索，不斷內(nèi)化化歸思想，最終提升數(shù)學(xué)能力。例如，中心極限定理課題后的課外作業(yè)：（1）拉普拉斯的研究結(jié)果表明，自然狀態(tài)下婦女受孕后生男嬰的概率為51.2%，今年某市有6000名產(chǎn)婦，試求出生男嬰數(shù)超過3100人的概率。（2）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的零件組成，每一個(gè)零件的可靠性（即零件正常工作的概率）為0.9，為使整個(gè)系統(tǒng)可靠，至少須有85個(gè)零件正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)的可靠性。（3）某心理學(xué)家研究6歲兒童的智商，他利用去估計(jì)智商的均值，若為使對(duì)的估計(jì)精度在±10之間的概率不低于0.95，問他至少要測(cè)試幾個(gè)兒童？這些實(shí)際問題的解決無疑都要利用化歸思想，通過課外作業(yè)不斷內(nèi)化化歸思想，提升數(shù)學(xué)能力。

3 結(jié)語

在高師概率論課程教學(xué)中繼續(xù)滲透化歸思想，既是當(dāng)前高等教育的任務(wù)，又符合基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程改革和社會(huì)發(fā)展的需求。形成數(shù)學(xué)能力固然離不開數(shù)學(xué)知識(shí)，但僅有數(shù)學(xué)知識(shí)是不可能形成數(shù)學(xué)能力的，知識(shí)僅僅是能力的基礎(chǔ)，具有轉(zhuǎn)化為能力的潛在性，有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，未必有相應(yīng)的能力，因而在數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力之間還應(yīng)有數(shù)學(xué)思想方法的作用。本文結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)探討了概率論教學(xué)中滲透化歸思想的幾點(diǎn)策略。通過在概率論課程教學(xué)中不斷滲透化歸思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，為未來教師專業(yè)和終身學(xué)習(xí)提供動(dòng)力。