劉曉玉 黃定江

摘要：在線投資組合是近年來計算金融領域熱門的研究課題.目前已有的策略，對股票價格的預測效果并不十分理想，而對股價的準確預測對投資組合方式有重要的指導意義.考慮到股價的滯后性及其分布的復雜性，首次利用股價中的二階信息，提出了DMAR（DMA（Doublemoving Average）Reversion）、DEAR（DEA（Double Exponential Average）Reversion）、GMR（GM Reversion）、DA-GMR（DA-GM Reversion）4種投資組合策略：分別通過二次移動平均法、二次指數(shù)滑動預測法、灰色預測法，對下一期的價格數(shù)據(jù)進行了預測、集成學習;將二次平滑預測和灰色預測的結果進行了優(yōu)化，得到了下一期的預測價格;再利用被動攻擊（Passive-Aggressive，PA）算法更新投資組合，最終得到了4種投資組合策略，并在真實的金融市場的數(shù)據(jù)集中驗證了策略的有效性.結果表明，與已有的算法相比，在NYSE（O）、NYSE（N）、DJIA和MSCI這4個真實的金融市場的數(shù)據(jù)集上，所提出的4種投資組合策略都達到了較高的累計收益.

關鍵詞：在線學習;投資組合選擇;二次平滑預測

中圖分類號：TP399

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5641（2020）06-0115-14

0引言

投資組合（Portfolio）是指在不確定的金融市場情形下，投資者通過選擇一系列的投資組合策略，達到整個交易期累計收益最大化的金融問題.解決該問題一般有兩種模型：Markowitz的均值方差模型和Kelly的資本增長理論模型.相較于前者，Kelly的資本增長理論模型更多地關注多期序列化的投資組合選擇問題.隨著機器學習的迅猛發(fā)展，計算金融領域的學者也開始嘗試利用在線學習理論解決投資組合選擇問題.

在投資組合選擇中，購買持有策略（Buy and Hold，BAH）和最佳股票策略（Best Stock，BS）是最常見的基準策略.1991年，Cover等建立了投資組合框架，并首次提出了帶邊信息的投資組合策略.基于Cover等的理論框架，學者們開始研究在線投資組合策略.Singer在1997年構建了可跟蹤市場變化的貝葉斯在線投資組合策略.Helmbold等在1998年提出了指數(shù)梯度策略.Gaivoronski等在2000年構建了連續(xù)固定再平衡投資組合策略（Successive，Constant Rebalanced Portfolio，SCRP）和加權連續(xù)固定再平衡投資組合策略，并證明了SCRP策略是一種泛化投資組合策略，WSCRP策略是SCRP投資組合向量和上一期的投資組合向量的凸組合.Fagiuoli等在2007年提出了基于SCRP策略的帶邊信息的在線投資組合策略.Agarwal等在2006年提出了在線牛頓步算法（On the Newtonmetod，ONS）.金融學者們在后續(xù)的研究中發(fā)現(xiàn)金融市場中除了存在動量效應外，還存在著反轉效應.考慮到反轉現(xiàn)象，學者們開始探索基于反轉效應的在線投資組合策略.Borodin等在2004年提出了反相關策略（Anticor），將增長快的股票權重轉移到增長較慢的股票上，并且Anticor策略的表現(xiàn)優(yōu)于泛化投資組合（Universal Portfolios，UP）和EG策略.2012年，李斌等利用被動攻擊算法來探索金融市場中的反轉現(xiàn)象，提出了被動主動均值反轉策略;在2013年提出了置信加權均值反轉策略（Confidence Weightedmean Reversion，CWMR），該策略同時利用投資組合的一階和二階信息來更新下一期的投資組合相量;又在2015年提出了在線移動平均反轉策略，該策略通過簡單移動平均預測下一期的相對價格，再利用被動攻擊算法更新投資組合.黃定江等在2016年提出了魯棒中位數(shù)反轉策略，該策略考慮到估計量的魯棒性，利用L1中位數(shù)預測下一期的相對價格;然而在真實的金融市場中，投資者必然需要考慮交易成本對累計收益的影響.因此，李斌等在2017年提出了交易成本優(yōu)化框架，解決了目前現(xiàn)存的在線投資組合模型不考慮成本的弊端.除了上述策略外，還有一類策略是模式匹配策略，主要包括非參最近鄰策略、非參核策略，以及相關驅動非參學習策略.

綜上可以看出，若能更準確地估計下一期的相對價格，將容易找到更優(yōu)的投資組合.大量的研究表明，金融市場股價不具有穩(wěn)定的分布，有著較大的復雜性與未知性;不同時間窗口對當期的價格的影響不同，距離下一期越近的時間窗口的價格與下一期的價格相關性越大.近些年追蹤低收益策略并未著重考慮以下兩點：①數(shù)據(jù)集中存在一定的噪聲數(shù)據(jù)，預測方法過于簡單、單一;②股價數(shù)據(jù)分布的不確定性和復雜性.

針對上述問題，本文考慮結合二次平滑預測與灰色預測法來更好地預測下一期的價格，從而提出了更有效的投資組合策略.二次平滑預測能一定程度上解決一次簡單平均不能用于有明顯趨勢變化的市場序列的問題，并可以通過調節(jié)平滑系數(shù)進一步調整相近時間窗口的權重值，從而可以更好地預測下一期的價格.當系統(tǒng)未知信息或不確定信息較多時，灰色預測是一種較好的預測方法，該模型不要求數(shù)據(jù)序列具有典型的分布，且對中短期的預測都有較好的效果，集成兩種預測方法便能更好地解決上述兩個問題.因此，本文首次結合時間序列預測中的二次滑動預測和用于預測不確定系統(tǒng)的灰色預測來預測下一期的相對價格數(shù)據(jù)，再通過PA算法更新下一期的投資組合，在4個真實的金融數(shù)據(jù)集上進行的大量實驗，證實了本文策略的有效性.

2基于二次平滑一灰色預測的投資組合策略

本章分別通過二次移動平均法、二次指數(shù)滑動預測法、灰色預測法對下一期的價格數(shù)據(jù)進行預測、集成學習;將二次平滑預測和灰色預測的結果進行優(yōu)化，得到下一期的預測價格后;再利用PA算法更新投資組合，最終得到4種投資組合策略.