孫承輝

立體幾何是發(fā)展同學(xué)們空間想象能力與邏輯推理能力的重要載體。高考對(duì)立體幾何的考查主要由三部分組成：一是計(jì)算空間幾何體的表面積和體積;二是證明空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系;三是計(jì)算空間角等問題。本文結(jié)合典型例題對(duì)立體幾何的考查重點(diǎn)進(jìn)行剖析，總結(jié)解題方法，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。

高頻考點(diǎn)1：空間幾何體的結(jié)構(gòu)

高考通常以空間幾何體為載體，考查與此相關(guān)的三視圖、表面積和體積等知識(shí)，題型以客觀題為主。解題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，理解幾何體表面積和體積的計(jì)算公式。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)正△ABC及O是PC的中點(diǎn)，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)三棱錐O -ABC是正三棱錐，從而找到三棱錐P-ABC的體積與其外接圓半徑R之間的等量關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：本題以空間幾何體的三視圖為載體，考查幾何體表面上的最短距離，基本思路是根據(jù)三視圖得出展開圖，再利用平面幾何關(guān)系求出最短距離，體現(xiàn)了化折為直、化曲為直的思想。

高頻考點(diǎn)2：空間中的平行與垂直關(guān)系

在探究線面平行或垂直關(guān)系時(shí)，同學(xué)們既要熟悉與平行、垂直相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，也要認(rèn)真體會(huì)“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法，這種轉(zhuǎn)化思想不僅體現(xiàn)在平行（或垂直）內(nèi)部，也體現(xiàn)在平行與垂直之間的互相轉(zhuǎn)化。

例3 （2020年山西五地聯(lián)考）如圖3，在矩形ABCD中，AB=2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE。若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE的翻折過程中，下面四個(gè)命題中不正確的是（

）。

A. | BM|是定值

B.點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

C.存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C

D.存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE

解析：如圖4，取CD的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN∥DA1，BN∥DE，容易得到平面MNB∥平面A1 DE，所以MB∥平面A1 DE，故D正確。

由∠A1DE= ∠MNB ，MN=1/2 A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+ NB2-2MN . NB .cos∠MNB，所以MB是定值，故A正確。

因?yàn)锽是定點(diǎn)，所以M在以B為圓心，MB為半徑的球上，故B正確。

因?yàn)锳1C在平面ABCD中的射影為AC，而AC與DE不垂直，可得C不正確。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間位置關(guān)系的判定，處理翻折問題時(shí)要明確翻折過程中哪些量發(fā)生了變化。判斷C選項(xiàng)時(shí)用到了三垂線定理及其逆定理，這有助于迅速判斷兩條直線是否具有垂直關(guān)系。

例4（2020年濱海模擬）如圖5，在三棱錐A-BCD中，點(diǎn)M，N分別在棱AC，CD上，且N為CD的中點(diǎn)。

（1）當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AD∥平面BMN：

（2）若平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BC，求證：BC⊥AD。

解析：（1）在△ACD中，因?yàn)镸，N分別為棱AC，CD的中點(diǎn)，所以MN //AD。又AD≮平面BMN，MN（平面BMN，所以AD//平面BMN。

（2）如圖6，在平面ADB內(nèi)，作AO⊥BD，垂足為O。因?yàn)槠矫鍭BD上平面BCD，平面ABDn平面BCD=BD，AO（平面ABD，所以AO⊥平面BCD。因?yàn)锽C[平面BCD，所以AO⊥BC。又AB⊥BC，AO，AB（平面ABD，AO∩ AB=A，所以BC⊥平面ABD。又AD（平面ABD，所以BC⊥AD。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定、面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用及通過證明線面垂直得到線線垂直的過程，條件中的面面垂直通常轉(zhuǎn)化為線面垂直。

高頻考點(diǎn)3：空間中角的計(jì)算

空間角包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，在高考中經(jīng)常以解答題的形式出現(xiàn)。正確求解此類問題的關(guān)鍵是明確上述空間角的范圍，通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后利用向量方法進(jìn)行計(jì)算。

例5（2020年浙江義烏模擬）如圖7.在多面體ABCDEF中，正方形ABCD和矩形BDEF垂直，G，H分另U是DE和BC的中點(diǎn)，AB=BF=2。

（1）求證：DE⊥平面ABCD;

（2）若在BC邊所在的直線上存在一點(diǎn)P，使得FP∥平面AGH，求FP的長(zhǎng);

（3）求直線AF與平面AGH所成角的正弦值。

解析：（l）因?yàn)槠矫鍭BCD上平面BDEF，平面ABCD n平面BDEF=BD，DE（平面BDEF，DE⊥BD，所以DE⊥平

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)、線面角的求解及線面平行的應(yīng)用。本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略線面角的取值范圍，造成正弦值為負(fù)值。

點(diǎn)評(píng)：通過直線的平移，把異面直線BC與PD所成的角轉(zhuǎn)化成∠ADP=120度，再根據(jù)條件中的垂直關(guān)系建立合適的空間直角坐標(biāo)系，用向量法求立體幾何中的線線角、線面角和二面角。

（責(zé)任編輯 王福華）