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(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

醫(yī)用機(jī)械臂是放射治療系統(tǒng)中的主要組成部分之一，其作用是支撐患者進(jìn)行擺位將靶區(qū)(腫瘤)置于束流照射范圍內(nèi)[1-2]。關(guān)節(jié)主要由電機(jī)、RV減速器、連接法蘭等構(gòu)成。其大臂、小臂的臂桿較長(zhǎng)，重量較大且其運(yùn)動(dòng)平面與地面平行，因此在關(guān)節(jié)鉸接圓柱面及端面都會(huì)出現(xiàn)摩擦，造成大量能量損失。文獻(xiàn)[3]表明,機(jī)械臂關(guān)節(jié)上的驅(qū)動(dòng)力矩(驅(qū)動(dòng)力)大約有20%消耗在克服摩擦阻力上，關(guān)節(jié)摩擦不僅造成能量損耗還對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[4]表明關(guān)節(jié)摩擦的存在對(duì)機(jī)械臂速度及加速度的影響明顯。文獻(xiàn)[5]得出關(guān)節(jié)摩擦存在時(shí)，機(jī)器人低速的運(yùn)動(dòng)性能會(huì)惡化且對(duì)作業(yè)精確度影響較大。

在此，以醫(yī)用機(jī)械臂為研究對(duì)象，基于庫(kù)侖摩擦模型，利用拉格朗日方程分別建立不包含摩擦和包含關(guān)節(jié)鉸接圓柱面及端面摩擦的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行仿真分析這2處摩擦對(duì)關(guān)節(jié)輸出扭矩及機(jī)械臂末端位置軌跡的影響。

1 不考慮摩擦?xí)r三桿醫(yī)用機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

醫(yī)用機(jī)械臂三維模型如圖1所示，對(duì)醫(yī)用機(jī)械臂做如下假設(shè)：每個(gè)桿和關(guān)節(jié)都是剛性體；每個(gè)關(guān)節(jié)都只有1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。

圖1 醫(yī)用機(jī)械臂三維模型

由于拉格朗日法在分析多關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)特性上不涉及到約束力[6]，所以采用拉格朗日法來建立動(dòng)力學(xué)模型。保守系統(tǒng)的拉格朗日方程形式為[7]

(1)

L=T-V

(2)

T為系統(tǒng)總的動(dòng)能；V為系統(tǒng)總的勢(shì)能。

將醫(yī)用機(jī)械臂簡(jiǎn)化成如圖2 所示的三桿結(jié)構(gòu)，并建立固定坐標(biāo)系OXY及參考坐標(biāo)系O1X1Y1Z1,O2X2Y2Z2,O3X3Y3Z3，如圖3所示。

圖2 醫(yī)用機(jī)械臂簡(jiǎn)化示意

各桿質(zhì)心位置分別為m1,m2,m3;繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IC1,IC2,IC3；LC1,LC2,LC3為各關(guān)節(jié)軸中心到相對(duì)應(yīng)桿質(zhì)心的距離；L1,L2,L3為各關(guān)節(jié)中心垂直距離。根據(jù)圖3利用幾何法求得各桿質(zhì)心坐標(biāo)位置矢量。

圖3 醫(yī)用機(jī)械臂坐標(biāo)系

桿1質(zhì)心坐標(biāo)為

(3)

桿2質(zhì)心坐標(biāo)為

(4)

桿3質(zhì)心坐標(biāo)為

(5)

因?yàn)楦鳁U繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，所以系統(tǒng)總動(dòng)能為

(6)

系統(tǒng)總勢(shì)能為

(7)

(8)

2 含摩擦的動(dòng)力學(xué)建模

含摩擦的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型基本形式為[8]

(9)

(10)

Tf1,Tf2,Tf3為各關(guān)節(jié)處總摩擦力矩，大小與所選的摩擦模型有關(guān)。本文選取庫(kù)倫摩擦模型[9]為

(11)

Tn=Fnr

(12)

Fn為法向接觸力；r為作用半徑。

2.1 法向接觸力求解

首先將三桿醫(yī)用機(jī)械臂各關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化成如圖4所示的接觸形式，并將鉸接圓柱面及端面描述成接觸面1和接觸面2。利用達(dá)朗伯定理對(duì)其進(jìn)行動(dòng)靜力學(xué)分析，分別如圖5和圖6所示。

圖4 鉸接簡(jiǎn)化示意

圖5 B向醫(yī)用機(jī)械臂受力分析

圖6 A向醫(yī)用機(jī)械臂受力分析

以桿1為研究對(duì)象：

(13)

以桿2為研究對(duì)象：

(14)

以桿3為研究對(duì)象：

(15)

(16)

(17)

(18)

現(xiàn)定義接觸系數(shù)α1和α2分別表示關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的鉸接接觸面2的接觸程度，其值與關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)、剛度、臂桿長(zhǎng)度、裝配精度等有關(guān)，且接觸面2實(shí)際接觸力與α1和α2成正比，則關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2鉸接接觸面2上接觸力為

(19)

2.2 摩擦力矩求解

桿2與桿3之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度較慢，所以忽略關(guān)節(jié)3處摩擦以簡(jiǎn)化問題的研究。庫(kù)倫摩擦模型下關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2與接觸面1上摩擦力引起摩擦力矩分別為：

(20)

(21)

u1,u2為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的兩觸面摩擦系數(shù)；r1和r2為作用半徑;Tf′1X,Tf′1Y,Tf′2X,Tf′2Y為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2在X軸、Y軸上的接觸力作用下產(chǎn)生的摩擦力矩。接觸面2摩擦力產(chǎn)生摩擦力矩為：

(22)

(23)

Tf″1為關(guān)節(jié)1與接觸面2處的摩擦力矩；Tf″2為關(guān)節(jié)2與接觸面2處的摩擦力矩；R1為關(guān)節(jié)1與接觸面2的外徑；R2為關(guān)節(jié)2與接觸面2的外徑；u3為關(guān)節(jié)1與接觸面2的摩擦系數(shù)；u4為關(guān)節(jié)2與接觸面2的摩擦系數(shù)。

庫(kù)侖摩擦模型下各關(guān)節(jié)總摩擦力矩為

(24)

3 仿真分析

利用MATLAB對(duì)不含摩擦模型及含有庫(kù)倫摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程下的關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2輸出扭矩進(jìn)行仿真分析，表1為機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)，表2為機(jī)械臂仿真運(yùn)動(dòng)參數(shù)。令R1=20 cm，R2=15 cm；r1=r2=10 cm。

表1 醫(yī)用機(jī)械臂主要參數(shù)

圖7和圖8為醫(yī)用機(jī)械臂在表2的運(yùn)動(dòng)參數(shù)下，不考慮摩擦及分別考慮接觸面1和接觸面2摩

表2 醫(yī)用機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)

擦?xí)r，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2在1～10 s的輸出轉(zhuǎn)矩。由圖7和圖8可以看出：在相同摩擦系數(shù)下， 當(dāng)接觸面系數(shù)α大于0.01時(shí)接觸面2對(duì)關(guān)節(jié)輸出扭矩的影響大于接觸面1，隨著α增大影響更加明顯，而接觸面1對(duì)輸出扭矩的影響隨著摩擦系數(shù)增大變化不明顯，與現(xiàn)實(shí)情況比較相符。

圖7 關(guān)節(jié)1輸出轉(zhuǎn)矩

圖8 關(guān)節(jié)2輸出轉(zhuǎn)矩

圖9～圖14為3個(gè)關(guān)節(jié)輸出扭矩分別為T1=300 N·m，T2=200 N·m，T3=10 N·m下不考慮摩擦及不同摩擦狀況下的末端位置仿真結(jié)果。圖9和圖10分別考慮關(guān)節(jié)1處接觸面1和接觸面2時(shí)機(jī)械臂末端軌跡，從圖9～圖10中看出，接觸面1對(duì)機(jī)械臂末端軌跡影響遠(yuǎn)小于接觸面2，隨著接觸面系數(shù)增大影響越來越明顯，軌跡呈現(xiàn)不規(guī)則現(xiàn)象。圖11～圖14為考慮關(guān)節(jié)1的2個(gè)接觸面摩擦分別與關(guān)節(jié)2的2個(gè)接觸面摩擦耦合下的機(jī)械臂末端軌跡，可以看出當(dāng)2個(gè)面都為接觸面1時(shí)軌跡變化最小。

圖9 關(guān)節(jié)1處接觸面1摩擦?xí)r機(jī)械臂末端軌跡

圖10 關(guān)節(jié)1處接觸面2摩擦?xí)r機(jī)械臂末端軌跡

圖11 關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2處接觸面1摩擦?xí)r機(jī)械臂末端軌跡

圖12 關(guān)節(jié)1處接觸面1及關(guān)節(jié)2接觸面2摩擦?xí)r機(jī)械臂末端軌跡

圖13 關(guān)節(jié)1處與接觸面2及關(guān)節(jié)2接觸面1摩擦?xí)r機(jī)械臂末端軌跡

圖14 關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2處接與觸面2摩擦?xí)r機(jī)械臂末端軌跡

4 結(jié)束語

以醫(yī)用機(jī)械臂為研究對(duì)象，基于拉格朗日方程并利用達(dá)朗伯定理建立了不包含摩擦及包含摩擦的2種動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)引入接觸面系數(shù)α1和α2。通過仿真分析得出當(dāng)關(guān)節(jié)鉸接的2個(gè)接觸面摩擦系數(shù)相同時(shí)，鉸接端面(接觸面2)的接觸面系數(shù)超過一定范圍時(shí)對(duì)關(guān)節(jié)輸出扭矩影響明顯大于鉸接圓柱面(接觸面1)影響，同時(shí)也會(huì)造成巨大的能量損失，因此在設(shè)計(jì)制造過程中可以通過提高關(guān)節(jié)剛度，減小桿的長(zhǎng)度，提高裝配精度等方法減小關(guān)節(jié)鉸接端面的接觸程度。通過對(duì)機(jī)械臂末端軌跡仿真分析可知：鉸接端面對(duì)機(jī)械臂末端軌跡影響明顯大于鉸接圓柱面，因此在精度要求較高的情況下，對(duì)于與本文的醫(yī)用機(jī)械臂及結(jié)構(gòu)相類似的機(jī)械臂，對(duì)其建模時(shí)應(yīng)該著重分析關(guān)節(jié)鉸接端面的接觸程度且不可以忽略，以免造成巨大的能量損失及誤差。