周一覽，劉 曉，黃守道，陳泳丹

(1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410082； 2.中國北方車輛研究所，北京 100072)

0 引 言

齒輪是一種應(yīng)用范圍較廣的傳動裝置，廣泛存在于各類機(jī)械設(shè)備中，常用來變換速度和傳遞轉(zhuǎn)矩。機(jī)械齒輪是依靠主動輪與從動輪的物理嚙合來實現(xiàn)速度變換和轉(zhuǎn)矩傳遞，磁齒輪則是利用磁場耦合來變換速度和傳遞力矩。因此，磁齒輪具有機(jī)械齒輪無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，例如無需潤滑，便于維護(hù)，噪聲低，可靠性高，壽命長和固有的過載保護(hù)[1]，已引起大家的普遍關(guān)注。

磁齒輪已經(jīng)被應(yīng)用到一些行業(yè)。在風(fēng)力發(fā)電中用磁齒輪代替機(jī)械齒輪箱，既可以充分利用磁齒輪的優(yōu)點(diǎn)減少風(fēng)機(jī)的維護(hù)，又有效地減小風(fēng)力發(fā)電機(jī)的體積，提高風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的效率和運(yùn)行的可靠性[2]。同時，磁齒輪也被用于水下推進(jìn)裝置，可有效降低噪聲[3]。

自從2001年英國謝菲爾德大學(xué)Atallah K等學(xué)者把磁場調(diào)制原理應(yīng)用到磁齒輪中[4]，不同類型的磁齒輪[5-8]和磁齒輪電機(jī)[9-11]相繼被提出，軸向磁齒輪是其中的一種。軸向磁齒輪的軸向力比較大，會給它的制造增加困難。然而，軸向磁齒輪在需要密封隔離的應(yīng)用中具有優(yōu)勢，它正在引起人們的注意。

根據(jù)永磁體充磁方向和排列方式的不同，軸向磁齒輪可以分為軸向充磁磁齒輪[12](以下簡稱AFMG)、聚磁式軸向磁齒輪[13-14](以下簡稱AFFMG)和Halbach式軸向磁齒輪[15](以下簡稱HAMG)。本文利用Ansoft軟件建立了3種軸向磁齒輪的3D有限元模型并分析比較了相應(yīng)的磁場、轉(zhuǎn)矩特性和軸向力。為了研究3種軸向磁齒輪的轉(zhuǎn)矩傳遞原理，基于對磁齒輪氣隙磁場的諧波分析，利用解析法計算各次諧波磁場對轉(zhuǎn)矩和軸向力的貢獻(xiàn)。

1 軸向磁齒輪的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

3種軸向磁齒輪都由3部分組成：高速永磁轉(zhuǎn)子、低速永磁轉(zhuǎn)子以及夾在兩個轉(zhuǎn)子之間的調(diào)磁環(huán)，形成的兩個氣隙將上述3個組件隔離開來。3種軸向磁齒輪的不同之處在于永磁體的充磁方向及排列方式。圖1為AFMG的結(jié)構(gòu)示意圖，它的永磁體沿軸向充磁。AFFMG的結(jié)構(gòu)如圖2所示，它的永磁體沿切向充磁，任意相鄰的兩塊永磁體中間夾著聚磁的鐵心。圖3為HAMG的結(jié)構(gòu)圖，高速轉(zhuǎn)子和低速轉(zhuǎn)子的永磁體按一定順序排列，使得氣隙側(cè)的磁場增強(qiáng)，而軛部側(cè)的磁場減弱。HAMG的軛部可以使用非導(dǎo)磁材料，以減少鐵耗。本文研究的HAMG的高速永磁轉(zhuǎn)子每個磁極由3塊永磁體組成，而低速永磁轉(zhuǎn)子每個磁極由2塊永磁體組成。

圖1 AFMG

圖2 AFFMG

圖3 HAMG

軸向磁齒輪的氣隙磁密所含各諧波磁場的次數(shù)可由下式表示：

(1)

式中：p為高速轉(zhuǎn)子或低速轉(zhuǎn)子永磁體的磁極對數(shù)；ns為調(diào)磁環(huán)的調(diào)磁鐵塊數(shù)。當(dāng)調(diào)磁環(huán)靜止時，氣隙磁密所含的諧波磁場的旋轉(zhuǎn)速度：

(2)

式中：Ωr為高速轉(zhuǎn)子或低速轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度。由式(2)可知，由于調(diào)磁鐵塊的存在，使得空間諧波磁場的旋轉(zhuǎn)速度不同于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度。因此，要實現(xiàn)變速傳動，應(yīng)選擇k≠ 0。當(dāng)m= 1，k= -1時，諧波磁場的幅值最大，能夠傳遞的轉(zhuǎn)矩最大。軸向磁齒輪的傳動比：

(3)

當(dāng)ph為高速轉(zhuǎn)子永磁體的極對數(shù)，pl為低速轉(zhuǎn)子永磁體的極對數(shù)，由式(3)可得軸向磁齒輪的傳動比：

(4)

負(fù)號表示高速轉(zhuǎn)子和低速轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度相反。本文中3種軸向磁齒輪的高速轉(zhuǎn)子永磁體的極對數(shù)ph= 4，低速轉(zhuǎn)子永磁體的極對數(shù)pl= 13，調(diào)磁鐵塊數(shù)ns= 17。因此，3種軸向磁齒輪的傳動比的理論值為3.25。表1給出了3種軸向磁齒輪的關(guān)鍵參數(shù)。

表1 3種軸向磁齒輪的關(guān)鍵參數(shù)

2 磁場諧波分析

為了研究3種軸向磁齒輪的轉(zhuǎn)矩傳遞原理，首先需要利用有限元軟件分析軸向磁齒輪氣隙磁密的諧波分量。由式(1)可知，當(dāng)p為3種軸向磁齒輪的高速轉(zhuǎn)子永磁體極對數(shù)時，4次(m= 1，k= 0)，13次(m= 1,k= -1)，21次(m= 1，k= 1)，30次(m= 1，k= -2)，38次(m= -1，k= -2)和47次(m= 1，k= -3)等諧波磁場是有效諧波，這些諧波磁場將有助于轉(zhuǎn)矩傳遞。

比起徑向磁齒輪，軸向磁齒輪的氣隙磁密不僅包含徑向分量、切向分量，還包含軸向分量。氣隙磁密的軸向分量(軸向磁密)是最主要的分量，它對轉(zhuǎn)矩能力影響最大；氣隙磁密的切向分量(切向磁密)對轉(zhuǎn)矩能力也有影響，轉(zhuǎn)矩能力與氣隙磁密的徑向分量無關(guān)。軸向磁齒輪兩個氣隙磁密在不同半徑處并不完全相同，本文選擇提取平均半徑Rm處的氣隙磁密進(jìn)行分析，其中Rm= 0.5(Rin+Rout)，Rout為3種軸向磁齒輪的外徑，Rin為3種軸向磁齒輪的內(nèi)徑。

圖4，圖5和圖6分別為3種軸向磁齒輪在靠近高速轉(zhuǎn)子的氣隙(氣隙1)中的軸向磁密波形和相應(yīng)的空間諧波分量。

AFMG在氣隙1中的軸向磁密波形更接近矩形波；而HAMG在氣隙1中的軸向磁密波形更接近正弦波。對氣隙1中的軸向磁密進(jìn)行FFT分解，得到三種軸向磁齒輪氣隙1中各次諧波磁場的幅值。AFMG，AFFMG和HAMG中4次諧波磁場的幅值分別為0.93 T，0.89 T，0.82 T；13次諧波磁場的幅值分別為0.07 T，0.16 T，0.09 T；21次諧波磁場的幅值分別為0.27 T，0.34 T，0.26 T；30次諧波磁場的幅值分別為0.10 T，0.10 T，0.10 T。以上都是有效的諧波磁場，有利于轉(zhuǎn)矩傳遞?？梢钥闯觯瑲庀?中4次諧波磁場的幅值遠(yuǎn)大于13次諧波磁場的幅值。除以上有效諧波磁場外，氣隙1中還存在12次、20次、29次、36次等諧〗波磁場，這些諧波磁場會引起轉(zhuǎn)矩波動和鐵心損耗。12次諧波磁場的幅值分別為0.33 T，0.10 T，0.04 T；20次諧波磁場的幅值分別為0.18 T，0.21 T，0.01 T；29次諧波磁場的幅值分別為0.08 T，0.05 T，0.005 T；36次諧波磁場的幅值分別為0.008 T，0.110 T，0.003 T?？梢钥闯?，HAMG中12次、20次、29次、36次諧波磁場的幅值均小于AFMG和AFFMG，而AFMG的12次諧波磁場明顯大于另外兩種軸向磁齒輪。引起轉(zhuǎn)矩波動的磁場諧波幅值越小，轉(zhuǎn)矩波動就越小，因此，HAMG的轉(zhuǎn)矩波動將小于AFMG和AFFMG。

(a) 軸向磁密

(b) FFT分解圖4 AFMG在氣隙1中的軸向磁密 及其相應(yīng)的空間諧波

(a) 軸向磁密

(b) FFT分解圖5 AFFMG在氣隙1中的軸向磁密 及其相應(yīng)的空間諧波

(a) 軸向磁密

(b) FFT分解圖6 HAMG在氣隙1中的軸向磁密 及其相應(yīng)的空間諧波

圖7～圖9分別為3種軸向磁齒輪在靠近低速轉(zhuǎn)子的氣隙(氣隙2)中的軸向磁密波形和相應(yīng)的空間諧波分量。從圖7(b)、圖8(b)及圖9(b)可以看出，軸向磁齒輪的主要諧波磁場的次數(shù)為4次、13次、21次、30次、38次和47次，這些諧波磁場都是有效諧波，有利于傳遞轉(zhuǎn)矩。AFMG，AFFMG和HAMG中的4次諧波磁場幅值分別為0.34 T，0.43 T，0.23 T；13次諧波磁場幅值分別為0.98 T，1.20 T，1.28 T；21次諧波磁場幅值分別為0.11 T，0.11 T，0.14 T；30次諧波磁場幅值分別為0.24 T，0.34 T，0.29 T。比較發(fā)現(xiàn)，氣隙2中13次諧波磁場幅值遠(yuǎn)大于4次諧波磁場幅值。AFFMG中的4次諧波磁場幅值比AFMG大26.5%,比HAMG大87.0%。HAMG中的13次諧波磁場幅值比AFMG大30.6%，比AFFMG大6.9%。而HAMG中引起轉(zhuǎn)矩波動和鐵心損耗的磁場諧波幅值均小于AFMG和AFFMG。

(a) 軸向磁密

(b) FFT分解圖7 AFMG在氣隙2中的軸向磁密 及其相應(yīng)的空間諧波

(a) 軸向磁密

(b) FFT分解圖8 AFFMG在氣隙2中的軸向磁密 及其相應(yīng)的空間諧波

(a) 軸向磁密

(b) FFT分解圖9 HAMG在氣隙2中的軸向磁密 及其相應(yīng)的空間諧波

基于氣隙磁密分布，使用麥克斯韋應(yīng)力張量來計算轉(zhuǎn)矩，則3種軸向磁齒輪的轉(zhuǎn)矩方程：

(5)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；Bz(z,θ)和Bθ(z,θ)分別為氣隙磁密在平均半徑Rm處的軸向和切向分量。Bz(z,θ)和Bθ(z,θ)的表達(dá)式如下:

(6)

(7)

(8)

從式(8)可以看出，3種軸向磁齒輪轉(zhuǎn)矩T不僅與其軸向和切向磁密諧波的幅值有關(guān)，還與其軸向和切向磁密諧波的初始角度差有關(guān)。表2列出了3種軸向磁齒輪在平均半徑Rm處軸向和切向磁密最主要的4次、13次諧波磁場的幅值及其相位差。其他次諧波磁場的幅值太小，本文不再詳細(xì)列出。

表2 軸向和切向磁密的主要諧波的幅度及其相位差

表3列出4次、13次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，為了使結(jié)果更精確，表3還列出了除4次、13次諧波磁場以外的其他諧波磁場產(chǎn)生的總轉(zhuǎn)矩。軸向和切向諧波磁場的相位差在第一或第四象限，轉(zhuǎn)矩為正；軸向和切向諧波磁場的相位差在第二或第三象限則轉(zhuǎn)矩為負(fù)。如AFMG的氣隙1中4次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為正，因為其軸向和切向諧波磁場的相位差為76.7°，在第一象限，因此它產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為正，即15.5 N·m。由表3可以看出，氣隙1中4次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩遠(yuǎn)大于13次及其他次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩；而氣隙2中13次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩遠(yuǎn)大于4次及其他次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩。AFMG的氣隙1中其他次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩與4次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩符號相反，氣隙2中其他次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩與13次諧波磁場產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩也相反，這說明其他次諧波磁場阻礙AFMG的轉(zhuǎn)矩傳遞；而AFFMG的其他次諧波磁場則有助于它的轉(zhuǎn)矩傳遞，因此AFFMG的轉(zhuǎn)矩能力比AFMG強(qiáng)；HAMG的其他次諧波磁場作用太小，可以忽略不計。

表3 轉(zhuǎn)矩比較

通過解析法獲得的3個軸向磁齒輪的低速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)矩略大于有限元軟件計算的轉(zhuǎn)矩。這是因為軸向磁齒輪的氣隙磁密在不同半徑處并不均勻，特別在內(nèi)徑和外徑附近，由于漏磁的原因，氣隙磁密的諧波幅值明顯減小。通過公式計算AFMG、AFFMG、HAMG的低速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩，結(jié)果分別為49.2 N·m，59.3 N·m，58.1 N·m，比有限元法得到的結(jié)果分別大了3.6%，6.3%和6.2%，這樣的精度可以滿足工程需要。

3 轉(zhuǎn)矩特性和軸向力

表4 轉(zhuǎn)矩定量比較

圖10 三種軸向磁齒輪的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩

圖11 三種軸向磁齒輪的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩

轉(zhuǎn)矩波動最小，這與前面的氣隙磁密分析的結(jié)果相吻合。

基于氣隙磁密分布，使用麥克斯韋應(yīng)力張量法來計算軸向力，則3種軸向磁齒輪的軸向力：

(9)

把式(6)、式(7)代入式(9)中，式(9)可轉(zhuǎn)化：

(10)

從式(10)可以看出，3種軸向磁齒輪軸向力F與它們的軸向和切向磁密諧波的幅值有關(guān)。表5列出了4次、13次以及其他次諧波磁場產(chǎn)生的軸向力。圖12、圖13和圖14分別為AFMG、AFFMG以及HAMG各部分所受的軸向力。AFMG、AFFMG以及HAMG的低速轉(zhuǎn)子所受的軸向力分別為1 850 N，3 000 N和2 750 N。用公式計算的3種軸向磁齒輪低速轉(zhuǎn)子的軸向力大于有限元法獲得的軸向力，原因與用公式計算的3種軸向磁齒輪的低速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)矩大于有限元法獲得的轉(zhuǎn)矩相同。通過解析法獲

表5 軸向力比較

圖12 AFMG的軸向力

圖13 AFFMG的軸向力

圖14 HAMG的軸向力

得的AFMG、AFFMG、HAMG的低速轉(zhuǎn)子的軸向力分別為1 911 N,3 201 N,2 961 N，比通過有限元法得到的3種軸向磁齒輪低速轉(zhuǎn)子的軸向力分別大了3.3%,6.7%,7.7%。三種軸向磁齒輪的低速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩越大，所受的軸向力就越大。HAMG的高速轉(zhuǎn)子所受的軸向力小于調(diào)磁環(huán)所受的軸向力，這是由于HAMG的軛部用非導(dǎo)磁材料。

4 結(jié) 語

本文利用3D有限元軟件和解析法，對AFMG、AFFMG和HAMG的磁場諧波、轉(zhuǎn)矩能力、轉(zhuǎn)矩波動和軸向力進(jìn)行詳細(xì)比較。對比發(fā)現(xiàn)：

1)比起AFMG的更接近矩形的氣隙磁密波形，HAMG的氣隙磁密波形更接近正弦，能提高氣隙磁密幅值并有效減小無效諧波的含量；AFFMG的氣隙磁密幅值則是三種軸向磁齒輪中最大的，但它并不能有效抑制無效諧波磁場的產(chǎn)生。

2)3種軸向磁齒輪高速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)矩和軸向力主要是由4次諧波磁場產(chǎn)生的，低速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)矩和軸向力則主要是由13次諧波磁場產(chǎn)生的；AFMG的其他次諧波磁場會阻礙轉(zhuǎn)矩的傳遞，AFFMG的其他次諧波磁場則有利于轉(zhuǎn)矩傳遞，而HAMG的其他次諧波含量很小，對轉(zhuǎn)矩影響很小。

3)AFFMG的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩最大，比AFMG提高了17.5%，比HAMG提高了2%。而HAMG的轉(zhuǎn)矩波動最小，因為它的氣隙中引起轉(zhuǎn)矩波動的磁場諧波的幅值最小。

4)HAMG和AFFMG的轉(zhuǎn)矩能力較大，但它們承受的軸向力也遠(yuǎn)大于AFMG，這不可避免地會給這兩種軸向磁齒輪的制造增加困難。