陳奕康，張 騰，孫艷春

(1.北京師范大學天文學系，北京100875；2.格拉斯哥大學物理與天文學學院，格拉斯哥G12 8QQ, 英國)

1 引 言

測量速度方法最先是由Braginsky 和Khalili[1]提出，用以替代傳統(tǒng)的邁克耳孫干涉儀進行的位置測量。通過消除光子反作用力帶來的波動，可大大提高引力波干涉儀在低頻段的靈敏度。從原理上說，自由物體的速度與動量成正比，而動量是一個守恒量，因此是一個量子非破壞性量，那么通過設計就能夠使得動量的測量不受反作用力的影響。當然，這里的動量守恒是整體的動量守恒，即是對于“鏡子+光子”這樣一個總的組合系統(tǒng)的動量守恒。盡管光子的運動與鏡子的機械運動之間會因為耦合受到影響，測量速度仍然使得隨機反作用力顯著地減少。

在引力波干涉儀中，增加激光功率可以降低散粒噪聲。但在光功率變高的同時，也會有更多的光子作用在反射鏡上，從而產(chǎn)生更強的輻射壓，導致更大的輻射壓力噪聲。在足夠高的激光功率下，輻射壓力噪聲會比散粒噪聲更大，并在噪聲頻譜中占比很高。

20 世紀60 年代Braginsky 第一次提出這個情況，并指出，能夠計算出一個特定的激光功率，使散粒噪聲與輻射壓力噪聲達到平衡的最低值[2,3]。這個值被稱為標準量子極限(standard quantum limit, SQL)，后來Khalili 和Levin[4]通過巧妙的設計繞過了這個極限，他稱之為量子非破壞性(quantum nondemlition measurement, QND)方案。

事實上，美國的引力波激光干涉儀LIGO 最初設計時計劃盡量靠近或者達到這個極限[5]，而Buonanno 和Chen[6–8]提出通過改變干涉儀的動力學，在一定頻段的范圍內可越過這個標準量子極限。現(xiàn)在，LIGO 也提出一個方案，即使用2 個額外的光學濾波器來進行頻率相關的零差檢測[9]。無論使用何種方案，繞過標準量子極限目前看來都是建設第三代引力波激光干涉儀有待解決的一個問題。

本文的知識背景主要是基于現(xiàn)有的引力波激光干涉儀[10]，在此基礎上提出了一種新型的設計——速度計。其中，第2 章介紹了本文所用的一些最基本的原理和結論，包括位置測量與速度測量、激光的雙光子形式以及邁克耳孫干涉儀的性能。第3 章則敘述了三種速度計的方案，包括之前用來測量地球自轉的薩尼亞克干涉儀，最早提出速度測量的晃動式速度計以及最新的方案，由兩個等效邁克耳孫干涉儀的模組成的EPR 型速度計。最后對全文進行總結，并對未來引力波激光干涉儀的發(fā)展進行了展望。

2 速度計原理簡介

2.1 雙光子形式

本節(jié)中，我們簡單介紹量子光學中的雙光子形式[11,12]，這是一種被廣泛應用的理論方法基礎。一個準單色調制的光波，也就是激光，其可表示為：

其中，A和a是這個光波振幅的兩個分量，下標c 表示非平穩(wěn)變化，下標s 表示突變。A=代表直流分量，而則代表了交流分量。標準常量其中ω0是載波光頻率，A是光束的有效橫截面，c是光速。那么在頻域中，我們有：

其中，?=ω ?ω0。于是，光場可以拓展寫為：

2.2 邁克耳孫干涉儀簡介

邁克耳孫干涉儀是目前引力波激光干涉儀里最基礎的結構[10]，可以說，現(xiàn)有的其他升級型或替代型引力波激光干涉儀都是基于邁克耳孫干涉儀的原理。它在兩臂上分別配有法布里-珀羅諧振腔，且使用了功率循環(huán)鏡和信號循環(huán)鏡使得靈敏度進一步提高。在無損耗情況下(TETM=0)，我們分別給出邁克耳孫干涉儀耦合因子KMI和邊帶相移βMI的表達式：

其中，系數(shù)D由引力波源決定[13]，而hSQL是標準量子極限，對于自由測試質量m，其可表示為：

在特定情況下，如ΦL0=π/2 時，式(8)可以進一步簡化為：

由式(10)可以看出，量子噪聲的兩個分量非常明顯地分離開來，括號內第1 項表示量子散粒噪聲，第2 項則表示量子輻射壓力噪聲。我們可利用此式來推導標準量子極限，同時采用美國aLIGO 的參數(shù)，可得邁克耳孫干涉儀的量子噪聲靈敏度曲線[14]，見圖1。

2.3 速度測量基本原理

首先，目前的引力波激光干涉儀的主要部分的研制是基于邁克耳孫干涉儀，并配以兩個法布里-珀羅諧振腔以及功率循環(huán)鏡等，通過干涉儀兩臂臂長差的變化，反映出邁克耳孫干涉儀的相位差，以此判斷是否有引力波信號。從理論上說，速度計干涉儀感知相位變化的能力應該與邁克耳孫干涉儀相同，即一個引力波信號在尺寸相同的邁克耳孫干涉儀與速度計干涉儀中產(chǎn)生的效果一樣，它們的區(qū)別只在于噪聲頻譜的不同。

圖1 邁克耳孫干涉儀的量子噪聲[15]

以一個簡單的結構舉例，如圖2 所示，透鏡被同一束激光分別從它的正面和反面兩次反射。在這個過程中，如果測試的鏡子產(chǎn)生了位移?x，那么整個光路就會產(chǎn)生光程差，相應的，探測到的激光的相位差的變化?Φ與?x會成正相關。于是我們稱激光入射至鏡子前表面到激光入射至后表面中間這一段時間為延遲時間τ，可以得到：

其中，是延遲時間τ內鏡子運動的平均速度，而τ是實驗設計中可以控制的已知量，也就意味與邁克耳孫干涉儀測量位置相比，速度計干涉儀中相位的變化反映了這段時間內反射鏡速度的變化。

圖2 速度測量的原理圖

3 速度計干涉儀的基本結構

在速度計干涉儀的最初方案中，提出使用兩個耦合的諧振腔：其中一個諧振腔擁有可移動的外壁，用于感知由引力波引起的振蕩；另一個諧振腔則根據(jù)記錄的位移信息進行相反的位移。按這樣的順序進行位置的測量，實際上也就是測量速度，這個方案我們稱為晃動式速度計。在這之后，陸續(xù)有新型的速度計干涉儀被提出，到目前為止，所有方案大致分為三種類型：晃動式速度計、薩尼亞克速度計和EPR 型速度計。

在薩尼亞克速度計中，信號的邊帶會與干涉儀相互作用兩次，并與載波光保持同調[15–17]。而在晃動式速度計中，用一個額外的非泵浦腔來記錄干涉儀臂之間兩個相互作用的信號邊帶，會產(chǎn)生一個新的晃動頻率參數(shù)，它就如同薩尼亞克干涉儀中的響應函數(shù)[18–20]。最后是EPR 型速度計，它利用兩個等效的邁克耳孫干涉儀的模，通過分束器將輸出轉換成和與差的形式，由此得到速度的信息[21]。下面將具體介紹幾種不同速度計的基本結構。

3.1 薩尼亞克干涉儀

從拓撲學上來看，邁克耳孫拓撲也有一些可替代的拓撲，如薩尼亞克拓撲。1913 年，法國科學家薩尼亞克發(fā)明了以他名字命名的薩尼亞克干涉儀。它最初的目的是利用差分信號得到由旋轉帶來的影響[22]，最經(jīng)典的例子就是用它測量地球的自轉，同時它也能夠被用來測量引力波信號。與邁克耳孫干涉儀的原理相同，光同樣是在分光計處一分為二，之后再合二為一產(chǎn)生干涉，不同的是，被分成兩束的光中的每一束都會先后通過兩條臂。盡管這兩束光方向相反，經(jīng)過順序也相反，但當兩束光匯聚時，就能得到描述臂長差的時變信號。

薩尼亞克干涉儀有兩種常見的變體，如圖3 和圖4 所示。其中圖3 是使用了光學延遲線(delay line, DL)的薩尼亞克干涉儀，圖4 是使用了環(huán)形法布里-珀羅腔的FP(Fabry-Perot)薩尼亞克干涉儀。ITM (input test-mass mirror)是光輸入的測試質量鏡，ETM (end testmass mirror)是光截止的測試質量鏡。與邁克耳孫干涉儀一樣，這里也使用了功率循環(huán)鏡(power-recycling mirror, PRM)和信號循環(huán)鏡(signal-recycling mirror, SRM)，它們能夠進一步提高諧振腔內的功率和干涉儀的頻率響應[23,24]。

圖3 干涉儀臂上使用了延遲線的薩尼亞克干涉儀原理圖[15]

圖4 使用環(huán)形腔延遲的薩尼亞克干涉儀原理圖[15]

當光從激光器中發(fā)出并到達分束器前，會分成兩束互相垂直的光束，它們以相反的順序分別經(jīng)過干涉儀的兩臂，之后又在分束器處匯合。理想情況下，兩束光的交流部分相互抵消，沒有光進入出射口，此時的探測器應該是暗的。而兩束光的直流部分則反射回入射口，至功率循環(huán)鏡處又反射回主光路，繼而提高了腔內的功率。我們用τarm表示延遲時間，即光在兩臂間傳播所用時間。通過截止端鏡子的時變位移x(N,E)，我們可以得到R 光束和L光束從入射口經(jīng)過干涉儀的兩個臂到達出射口后的相位，表示為：

出射口的輸出與兩束光的相位差成正比，由式(12)和(13)我們可以得到相位差，表示為：

由此看出，薩尼亞克干涉儀對測試質量鏡的任何與時間無關的位移都不敏感，而輻射壓力噪聲是由于光子沖擊鏡面產(chǎn)生的，它與頻率的平方成反比[10]。所以薩尼亞克干涉儀在一定程度上能很好地減少輻射壓力噪聲，它的耦合系數(shù)Ksagnac表示為[15]：

對DL 型薩尼亞克干涉儀，有：

對FP 型薩尼亞克干涉儀，有：

其中，IC是諧振腔內的循環(huán)功率，B是DL 型薩尼亞克干涉儀中光學延遲距離上的來回次數(shù)，T和R則是FP 型薩尼亞克干涉儀中環(huán)形腔上入射鏡面的透射率和反射率，并且滿足關系T+R=1。薩尼亞克干涉儀的耦合系數(shù)與邁克耳孫干涉儀的關系可表示為：

從式(22)可以看出，與具有相同泵功率的邁克耳孫干涉儀相比，薩尼亞克干涉儀具有明顯的響應優(yōu)勢。因為在薩尼亞克干涉儀中，每個離開主分束器的光束都會連續(xù)訪問兩個諧振腔，這意味著每個臂的功率是等效邁克耳孫干涉儀的2 倍，從而會產(chǎn)生2 倍的光機械響應。采用同樣的aLIGO 參數(shù)，薩尼亞克干涉儀的量子噪聲功率譜密度由下式給出：

其中，ΦL0是零差角，一般為π/2，量子噪聲靈敏度曲線如圖5 所示[14]。

事實上，薩尼亞克干涉儀也存在一些小問題，例如Glasgow 大學通過進行薩尼亞克干涉儀的原型設計實驗證實：將兩個大型的懸掛鏡子放置在同一真空管會使得結構過于復雜而產(chǎn)生額外的噪聲[25]。

圖5 薩尼亞克干涉儀的量子噪聲[14]

3.2 晃動式(Sloshing)干涉儀

Braginsky 等人[26]所提出的晃動式速度計，就相當于是在邁克耳孫干涉儀的輸出端添加了一個輔助的“晃動”光學諧振腔。這使得引力波信號能在兩個耦合腔之間來回“晃動”，并具有交替的方向和速度。當出射光經(jīng)過“晃動”之后第二次通過干涉儀，此時測得的相位差與平均速度成正比，即進行了速度測量?；蝿宇l率ωs由臂長L，晃動腔長L0以及輸入耦合器的透射率T0來決定，有：

目前晃動式干涉儀有兩個設計方案，如圖6 所示，圖6a) 中使用了一個額外的耦合腔[27]，而圖6b)中則用兩個正交極化分離光束并以主干涉儀作為“晃動”腔[19]。

考慮一種理想情況，在沒有損耗且共振調諧的條件下，我們給出晃動式干涉儀輸入-輸出的關系：

其中，KSSM是晃動式速度計的光機械耦合系數(shù)，一般可寫為：

式中，βMI和αSC分別是頻率在?處的邊帶經(jīng)過主邁克耳孫干涉儀和晃動腔時產(chǎn)生的相位移動，由相同的參數(shù)，我們可以寫出它的量子噪聲功率譜密度：

圖6 晃動式干涉儀的兩個設計方案[19,26,27]

我們將它與邁克耳孫干涉儀的噪聲功率譜密度進行對比，結果如圖7 所示[14]。

圖7 晃動式速度計的量子噪聲[14]

3.3 EPR 型速度計

2017 年，Knyazev 等人[21]提出了實現(xiàn)引力波激光干涉儀速度測量的第三種方案。它使用了兩個等效的邁克耳孫干涉儀的模，如圖8 所示。圖8a)是EPR速度計的結構圖，它有兩個剛性連接的測試質量鏡xn和xc，意味著它們使用了同一個截止測試質量鏡。兩個干涉儀的差分運動會因為各自帶寬的不同而出現(xiàn)不同的速率，因此將兩個干涉儀的讀出光匯合在分束器上并讀出“―”通道上的結果，得到的即是兩個位置信號在不同時間的差值，這實際上就是速度測量。

圖8 EPR 速度計的結構原理圖[21]

很顯然，圖8a)的設計在現(xiàn)實中是極難實現(xiàn)的，Knyazev[21]又提出了一種基于正交偏振模式的光，如圖8b)所示。這里的關鍵因素是一個1/4 波片(quarter-wave plate, QWP)，它放置在主干涉儀和信號循環(huán)鏡之間，充當了主干涉儀的兩個正交偏振模式之間的π/2 相位延遲器。我們可以將主干涉儀、信號循環(huán)鏡以及中間的1/4 波片一起視作一個信號循環(huán)腔(signal ring coelom, SRC)。在這個信號循環(huán)腔中，它會對其中一種偏振模式進行調諧，并與其共振，而由于1/4 波片產(chǎn)生了π/2 的相移，另一個正交的偏振光會將信號循環(huán)腔視為反共振。根據(jù)定標關系的結果[28]，與信號循環(huán)腔共振的偏振模式在干涉儀中具有非常窄的有效帶寬，而對于另一個正交的偏振光，有效帶寬則大大增加[29]。通過選擇載波光偏振面和垂直方向的角度來得到兩個干涉儀中循環(huán)功率的最佳組合。

考慮到兩個邁克耳孫干涉儀的帶寬不同，分別計算每個干涉儀后并假設它們的測試質量鏡有一個共同的反向作用，得到EPR 型速度計的輸出-輸入關系：

其中，K1,K2及β1,β2分別是2 個邁克耳孫干涉儀的光機械耦合因子和邊帶的相移。因為在輸出端有“+”與“―”兩個通道，所以我們會得到2 個通道的耦合因子K+和K?，以及它們的功率譜密度，分別表示為：

采用同樣的參數(shù)進行計算，結果如圖9 所示[14]。

圖9 EPR型速度計的量子噪聲[14]

4 總結與展望

與基于位置測量的邁克耳孫干涉儀相比，速度計干涉儀是目前最精確和最便于研究的替代方案。它的主要優(yōu)點是極大地減少了激光反作用帶來的噪聲，即輻射壓力噪聲。如果僅考慮量子噪聲，那么它與同等參數(shù)的邁克耳孫干涉儀相比，輻射壓力噪聲最多可以下降2 個數(shù)量級[17]。盡管在低頻下輻射壓力噪聲也存在著響應消除的問題，但是反作用的減少仍然更大，因此信噪比會增加。

本文主要介紹了速度計的三個主要方案，并將它們與邁克耳孫干涉儀在性能上進行了比較。到目前為止，所有的研究都表明，即使在有損耗和缺陷的情況下，速度計的性能仍然優(yōu)于傳統(tǒng)的邁克耳孫干涉儀[30,31]。然而，在做出任何的最終結論之前，仍需要對所有速度計方案中的損失和缺陷進行徹底和系統(tǒng)的研究，以及進行實驗原型的設計與測試。

一個未來可以研究的方向是帶有額外的內部或者外部濾波器的速度計，由于光機械耦合強度在低頻時近似恒定，這意味著所產(chǎn)生的壓縮光在這些頻率下與頻率無關。通過解諧，可以使功率波動的帶寬增強，或者說是測試質量的機械響應的帶寬增強。