李瑞東 張?jiān)? 李克強(qiáng) 朱朝暉 劉衛(wèi) 翟永明

摘要：為了使八揉索牽引式并聯(lián)機(jī)器人在空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)自由位移，達(dá)到其從起始位置運(yùn)動(dòng)至終止位置過程中的精準(zhǔn)控制目的，建立了八索機(jī)器人空間運(yùn)動(dòng)模型，選取該機(jī)器人模型中八揉索伸縮量為研究對(duì)象，分別計(jì)算其經(jīng)一段時(shí)間由一個(gè)坐標(biāo)發(fā)生空間位移后到達(dá)另一個(gè)坐標(biāo)過程中八揉索的伸縮速度，通過該伸縮速度控制八個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)輪的正反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，得到了八索機(jī)器人在空間內(nèi)直線位移的精準(zhǔn)控制數(shù)學(xué)模型，達(dá)到了利用變換坐標(biāo)進(jìn)行路徑規(guī)劃的方式控制機(jī)器人實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)的目的。采用迭代擬合的計(jì)算方法得到了該機(jī)器人按給定曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)各揉索驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速與時(shí)間的關(guān)系，通過反饋控制，實(shí)現(xiàn)八索機(jī)器人在空間內(nèi)沿直線、曲線運(yùn)動(dòng)的精準(zhǔn)控制，達(dá)到了空間自由位移的目的。

Abstract： In order to realize the free displacement of the eight-knuckle cable traction parallel robot in space and achieve the precise control of its movement from the starting position to the end position， a space-kinematic model of the eight-cable robot was established， the eight-knead cable in the robot model was selected as the research object to calculate the the expansion and contraction speed of the eight rubbing ropes after they have spatially shifted from one coordinate to another coordinate over a period of time. By using this telescopic speed to control the forward and reverse rotation speeds of the eight motor runners， a precise control mathematical model of the linear displacement of the eight-robot robot in space is obtained， and the purpose of controlling the robot to achieve point-to-point space motion by using coordinate transformation for path planning is achieved. The iterative fitting calculation method is used to obtain the relationship between the rotation speed and time of each kinematic drive motor when the robot moves along a given curve trajectory. Through feedback control， the precise control of the eight-robot robot's linear and curved movement in space is achieved and the purpose of free displacement in space is achieved.

關(guān)鍵詞：八索機(jī)器人;并聯(lián);迭代擬合;自由位移

Key words： eight cable robot;parallel;iterative fitting;free displacement

中圖分類號(hào)：V416? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2020）03-0250-04

0? 引言

隨著現(xiàn)代高新科技的不斷革新和發(fā)展，機(jī)械裝備智能化、高效化、人性化逐漸成為高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)的追求目標(biāo)，為了提高工業(yè)生產(chǎn)效率、減少工人勞動(dòng)強(qiáng)度、降低工業(yè)作業(yè)的危險(xiǎn)性，機(jī)器人技術(shù)已逐漸被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、化工、煙草、物流、醫(yī)療等領(lǐng)域，極大的加速了各行業(yè)的發(fā)展[1-2]。當(dāng)前，并聯(lián)機(jī)器人因其承載能力大、質(zhì)量輕、動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度快等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用[3]。揉索牽引式機(jī)器人[4]為并聯(lián)機(jī)器人的一種形式，其通過改變各揉索的伸縮量可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人在空間內(nèi)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的位移，由于各揉索間會(huì)相互影響，對(duì)揉索伸縮量的精確控制較為困難，因此研究能對(duì)揉索機(jī)器人的空間位移進(jìn)行精準(zhǔn)控制的理論模型具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義和較高的科學(xué)價(jià)值。

針對(duì)揉索機(jī)器人在空間上自由位移的精準(zhǔn)控制，相關(guān)學(xué)者進(jìn)行了大量的研究并取得了優(yōu)異的成果[5-7]。Shao X G[8]等提出了一種遍歷算法結(jié)合纜繩的張緊研究了四纜驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)，得到了可根據(jù)四纜長度計(jì)算出平臺(tái)的位姿和纜繩張力模型。Inel F[9]等基于空間坐標(biāo)對(duì)五纜操縱的正方形機(jī)器人進(jìn)行建模，根據(jù)路徑和螺旋軌跡的運(yùn)動(dòng)模型控制張力和電纜長度，實(shí)現(xiàn)其從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的位移控制。唐樂為[10]等通過對(duì)七索驅(qū)動(dòng)的6自由度揉性并聯(lián)對(duì)接機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)矩陣分析，優(yōu)化了該系統(tǒng)相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)，得到了一組滿足設(shè)計(jì)要求的尺度值。Diao X[11]等研究了一種用于驗(yàn)證在具有七根或更多纜繩的六自由度機(jī)器人在特定姿勢(shì)下是否存在力閉合的方法，所得研究結(jié)果證明了所提方法的必要性和重要性。曹凌[12]等對(duì)一種八索并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)其任意定方向矢量力的輸出進(jìn)行了計(jì)算，分別研究了該機(jī)器人在終端輸出不同矢量力時(shí)的張力變化規(guī)律，并驗(yàn)證了理論值的正確性。王偉方[13]等分析了四桿支撐的八索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人工作平臺(tái)的各參數(shù)對(duì)機(jī)器人工作空間的影響，通過對(duì)機(jī)器人在沿不同軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)索長、張力變化值對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到了較優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

本文通過對(duì)八索并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間進(jìn)行建模，對(duì)其空間自由位移控制過程進(jìn)行分析，基于空間坐標(biāo)系得到了八索機(jī)器人以一定速度由起始坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)至終止坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到了利用變換坐標(biāo)進(jìn)行路徑規(guī)劃的方式控制機(jī)器人實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)的目的。并通過迭代擬合計(jì)算了其沿指定軌跡曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速與時(shí)間的變化關(guān)系。通過反饋控制，實(shí)現(xiàn)了八索機(jī)器人在空間內(nèi)沿直線、曲線運(yùn)動(dòng)的精準(zhǔn)控制。

1? 數(shù)學(xué)模型建立

考慮機(jī)器人受八索約束，取上下各四索進(jìn)行連接，八索端部分別連接驅(qū)動(dòng)電機(jī)M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7、M8，各電機(jī)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)揉索的伸縮量控制。如圖1所示，其中（a）為八索并聯(lián)機(jī)器人空間模型;（b）為（a）的俯視模型。其中，使該八索機(jī)器人從Ⅰ位置處運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置處。

將八索空間定義為邊長為a的正六面體，AB長為b，連接圓盤半徑為r，M、N、P、Q分別為揉索端部連接點(diǎn)，即M、N、P、Q坐標(biāo)為：

設(shè)起始A點(diǎn)坐標(biāo)為（x、y、z），從Ⅰ位置運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置后終止坐標(biāo)為（x′、y′、z′）。則可得B與B′坐標(biāo)分別為（x、y、z-b）和（x′、y′、z′-b） 。由圖1可分別計(jì)算得到揉索與連接圓盤接觸點(diǎn)在發(fā)生位移前后的坐標(biāo)值，即當(dāng)機(jī)器人位于Ⅰ位置時(shí)，各連接點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣為：

同理當(dāng)該機(jī)器人由起始位置運(yùn)動(dòng)至終止位置后，各揉索連接點(diǎn)的變換坐標(biāo)矩陣為：

根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型與坐標(biāo)矩陣，分別計(jì)算并聯(lián)機(jī)器人空間位移量及在該位移過程中的揉索伸縮量，通過對(duì)伸縮量的速度進(jìn)行相互約束控制實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的平穩(wěn)位移。

2? 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

2.1 揉索伸縮量數(shù)學(xué)模型

根據(jù)位置A和A′處坐標(biāo)值可求出當(dāng)該八索并聯(lián)機(jī)器人由Ⅰ位置運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置時(shí)的空間直線位移量？駐l：

現(xiàn)結(jié)合上述八索并聯(lián)機(jī)器人數(shù)學(xué)模型，分別研究該機(jī)器人在Ⅰ位置和Ⅱ位置時(shí)的揉索長度，如圖2所示揉索伸縮模型，利用二者之差即可得到揉索伸縮量，設(shè)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中，揉索為鋼性材質(zhì)，即不會(huì)隨載荷和位移的改變而發(fā)生彈性變形。由式（1）和（2）可得該機(jī)器人在位移前八揉索的長度：

當(dāng)該并聯(lián)機(jī)器人由Ⅰ位置勻速運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置后，如圖1（b）所示，由式（1）和（4）可計(jì)算得八索機(jī)器人在位移后各揉索的長度：

現(xiàn)考慮該并聯(lián)機(jī)器人從Ⅰ位置勻速運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置后各揉索的伸縮量，即：

式中：？駐l為正時(shí)表示揉索伸長

？駐l為負(fù)時(shí)表示揉索縮短

2.2 揉索速度研究

當(dāng)該八索并聯(lián)機(jī)器人由Ⅰ位置運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置時(shí)，其速度模型如圖3所示，圖示僅代表在該狀態(tài)下的速度模型。其中為機(jī)器人的平均運(yùn)動(dòng)速度，不考慮其運(yùn)動(dòng)過程中的軌跡和速度變化，且各揉索勻速伸縮。

根據(jù)圖3所示模型，在工程實(shí)際中可通過優(yōu)化控制參數(shù)來解決機(jī)器人從靜止到勻速段因加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間過長而產(chǎn)生的誤差，本模型僅考慮其勻速運(yùn)動(dòng)階段，定義揉索在最初狀態(tài)下驅(qū)動(dòng)電機(jī)由靜止到勻速期間的加速時(shí)間極短，忽略其加速運(yùn)動(dòng)過程，在運(yùn)動(dòng)過程中，各驅(qū)動(dòng)電機(jī)同步工作，可得機(jī)器人從Ⅰ位置勻速運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置時(shí)的時(shí)間t為：

由式（10）可計(jì)算得機(jī)器人從Ⅰ位置勻速運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置時(shí)各揉索的運(yùn)動(dòng)速度vi：

式中：v值為正時(shí)表示揉索伸長;

v值為負(fù)時(shí)表示揉索縮短。

其中各揉索的運(yùn)動(dòng)速度為各電機(jī)轉(zhuǎn)輪的線速度，反饋計(jì)算各驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速n，設(shè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)輪的半徑為rq，揉索半徑為rd，可得：

將式（11）帶入上式可得：

式中：n值為正時(shí)表示驅(qū)動(dòng)電機(jī)正轉(zhuǎn);

n值為負(fù)時(shí)表示驅(qū)動(dòng)電機(jī)反轉(zhuǎn)。

當(dāng)按照上式所計(jì)算的值對(duì)各電機(jī)進(jìn)行控制，僅考慮起止位置，可實(shí)現(xiàn)該八索機(jī)器人由Ⅰ位置運(yùn)動(dòng)至Ⅱ位置。

依照上述數(shù)學(xué)模型，由式（13）可知，電機(jī)轉(zhuǎn)輪半徑rq、揉索半徑rd、機(jī)器人總長b、機(jī)器人圓盤半徑r和運(yùn)動(dòng)空間a均為常量，通過定義定義3號(hào)揉索的運(yùn)動(dòng)速度v3、初始位置B點(diǎn)坐標(biāo)值和終止位置B′點(diǎn)坐標(biāo)值，帶入式（13）即可計(jì)算得到各揉索驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速n，并可對(duì)該驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行正反轉(zhuǎn)控制，使該機(jī)器人在空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”的自由位移。

3? 曲線軌跡運(yùn)動(dòng)

考慮當(dāng)該八索機(jī)器人按一定的曲線軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，基本思路為利用微分原理將曲線分割為多段直線，通過上述“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”的控制方法，基本實(shí)現(xiàn)其按指定軌跡運(yùn)動(dòng)的目的，在此僅考慮其在與XOY平面平行的平面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)軌跡方程為：

如圖4所示，考慮半圓弧的計(jì)算，即定義域?yàn)閤∈（500，1500），y∈（500，1000），將該軌跡方程在定義域內(nèi)均分為6段，使每段軌跡運(yùn)動(dòng)位移相等，保證具有相同的平均速度。

在進(jìn)行軌跡運(yùn)動(dòng)控制時(shí)，以圖示x1為初始運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，x2為終止位置點(diǎn)，再以x2為初始運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，x3為終止位置點(diǎn)，如此迭代循環(huán)直至終止位置點(diǎn)為x7。通過圖示數(shù)學(xué)模型可計(jì)算得到表1所示各位置點(diǎn)的坐標(biāo)值，其中z值坐標(biāo)不變。

定義前述相關(guān)計(jì)算參數(shù)值如表2所示，其中a為空間尺寸，b為機(jī)器人高度，r為圓盤半徑，rq為驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)輪半徑，rd為揉索半徑。

由上表可得M點(diǎn)坐標(biāo)為M（2000，2000，2000），定義機(jī)器人沿曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速度為50mm/s，設(shè)z方向坐標(biāo)為1000。由式（10）可得該機(jī)器人由初始位置點(diǎn)x1運(yùn)動(dòng)到第一次迭代點(diǎn)x2時(shí)所用時(shí)間t：

聯(lián)立式（7）、（8）和（9）可計(jì)算得到表3所示進(jìn)行第一次迭代計(jì)算結(jié)束時(shí)八揉索的伸縮量？駐li。由此可由式（13）得表4所示在進(jìn)行第一次迭代運(yùn)算時(shí)，該八索機(jī)器人沿所述軌跡方程從x1運(yùn)動(dòng)至x2的過程中，各驅(qū)動(dòng)電機(jī)的平均轉(zhuǎn)速值。其中正值表示驅(qū)動(dòng)電機(jī)正轉(zhuǎn)，負(fù)值表示其反轉(zhuǎn)。

同理可得第二、三、四等次迭代運(yùn)算值，整合得到當(dāng)該揉索機(jī)器人按照所給定的曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，各揉索驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)曲線關(guān)系圖，如圖5所示。

由圖可知，分段迭代計(jì)算的次數(shù)越多，該曲線關(guān)系圖越接近于給定的曲線軌跡，擬合精度也越高。根據(jù)上圖還可通過計(jì)算各點(diǎn)的切線斜率得到驅(qū)動(dòng)電機(jī)在運(yùn)動(dòng)過程中的加速度值。

4? 結(jié)論

本文建立了八揉索牽引式并聯(lián)機(jī)器人空間模型，基于空間坐標(biāo)系定義各連接點(diǎn)坐標(biāo)值，并對(duì)其在空間內(nèi)自由位移的精準(zhǔn)控制進(jìn)行了研究，通過考慮該機(jī)器人的起始和終止位姿，定義其運(yùn)動(dòng)的平均速度，得到如下結(jié)論：

①得到了該八揉索牽引式并聯(lián)機(jī)器人從起始坐標(biāo)位置勻速直線運(yùn)動(dòng)至終止坐標(biāo)位置的精準(zhǔn)控制數(shù)學(xué)模型，達(dá)到了利用變換坐標(biāo)進(jìn)行路徑規(guī)劃的方式控制機(jī)器人實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)的目的;

②采用迭代擬合的計(jì)算方法研究了其沿指定曲線軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的控制方法，得到了各揉索驅(qū)動(dòng)電機(jī)與時(shí)間的變化關(guān)系，其中分步擬合計(jì)算的步長越小，擬合精度越高。

本文研究了八揉索牽引式并聯(lián)機(jī)器人的空間運(yùn)動(dòng)過程，所得基于空間坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型對(duì)研究八索機(jī)器人在空間內(nèi)自由位移的精準(zhǔn)控制具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)今后的工程應(yīng)用提供了一定的理論指導(dǎo)。由于未考慮其運(yùn)動(dòng)過程中的各揉索張力的變化情況，其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性難以保證，故將該八索機(jī)器人在空間自由位移時(shí)各揉索張力的變化規(guī)律作為下一步研究重點(diǎn)。

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