安里鵬, 李文武, 李德建

(1.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院有限公司, 長沙 410200； 2.中南大學(xué)土木工程學(xué)院, 長沙 410075)

磁懸浮列車具有速度快、爬坡能力強、轉(zhuǎn)彎半徑小及經(jīng)濟(jì)環(huán)保的優(yōu)點[1]，進(jìn)入21世紀(jì)后，人們對磁懸浮列車關(guān)注進(jìn)一步增加。隨著日本、韓國磁懸浮線路以及中國長沙中低速磁浮快線和北京S1線的建成通車運營，中外磁浮技術(shù)從研發(fā)到應(yīng)用均取得可喜的進(jìn)步[2]。

Wang等[3]采用彈簧連接的方式模擬了鐵軌、軌枕與橋梁的連接，在此基礎(chǔ)上對磁浮車橋耦合動力響應(yīng)進(jìn)行分析。Ren等[4]將車輛模型等效為三種移動荷載模型和兩種多自由的二系懸掛阻尼模型對Emsland 線路動力響應(yīng)進(jìn)行分析。Shi等[5]分析了加載不均勻周期性呈現(xiàn)對軌道梁振動的影響規(guī)律。Talukdar等[6]基于Simulink對高速磁浮列車的磁懸浮車-軌道耦合系統(tǒng)進(jìn)行了分析。趙春發(fā)等[7]將車輛簡化為5剛體10自由度的質(zhì)量塊模型，建立了磁浮車輛一軌道梁耦合振動模型。時瑾等[8]以德國電磁懸浮系統(tǒng)(EMS)磁浮列車為研究對象，分析了磁浮列車運行中橋梁相關(guān)參數(shù)的影響，并考慮了主動控制電磁力的影響。李小珍等[9]對中低速磁浮列車-軌道梁的豎向耦合振動進(jìn)行模型試驗及驗證；賀光[10]以德國EMS磁懸浮車輛為原型，研究了軌道梁的振動對磁浮列車動力響應(yīng)的影響規(guī)律。梁鑫等[11]分析了兩種磁軌關(guān)系時磁浮車橋的相互作用，并進(jìn)行了對比分析；倪萍等[12]分析了超高速磁懸浮列車—軌道梁的豎向耦合振動響應(yīng)。

目前，中外學(xué)者已對磁懸浮車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)做了許多研究，并取得眾多的成果，但也發(fā)現(xiàn)已有的研究及成果更多集中和服務(wù)于中小跨徑橋梁[1]，集中為跨徑20～30 m的簡支梁或連續(xù)梁，更大跨度橋梁在磁浮交通中還鮮有應(yīng)用。隨著磁浮交通的發(fā)展，對具有更大跨越能力的橋梁結(jié)構(gòu)的需求也越來越多，使得對磁懸浮大跨度橋梁車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的研究顯得十分必要和迫切。

基于此，以規(guī)劃中的長株潭城際軌道交通線株洲段跨湘江大橋為依托工程，對磁浮大跨度橋梁車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)進(jìn)行研究，以期對大跨度橋梁在磁浮交通中的發(fā)展與應(yīng)用起到一定的指導(dǎo)作用。

1 磁浮車輛動力分析模型

1.1 基本假定

磁浮列車在橋梁上運行時，磁浮列車-軌道-橋梁是一個相互作用、相互影響的動力學(xué)系統(tǒng)。磁浮列車由車體和懸浮架兩部分組成，二者通過彈簧系統(tǒng)和阻尼系統(tǒng)相連接。為便于計算，假設(shè)：①車輛車體、懸浮架是絕對剛體，懸浮架與軌道梁之間采用一系彈簧阻尼體系模擬，車體與懸浮架之間采用二系彈簧阻尼體系模擬；②磁浮列車、懸浮架相對位置固定且均勻速運動；③車體、懸浮架做小位移振動；④各剛體構(gòu)件之間的彈簧為線性，阻尼為滯變阻尼；⑤車體、懸浮架左右對稱[13]。

1.2 磁浮車輛空間振動分析模型

磁浮列車為多車廂模型，每個車廂的車輛模型由一個車體和多個懸浮架組成，磁浮列車簡化計算模型如圖1所示。

圖1 磁浮列車動力分析模型Fig.1 Maglev train dynamic anslysis model

磁浮列車懸浮架橫向、縱向位移[13]可表示為

δT={wwawwbwwcwwdwcθXcθYc}T

(1)

式(1)中：wwa、wwb、wwc、wwd、wc為懸浮架4個方向及車體位移參數(shù)；θXc、θYc為車體橫向及縱向轉(zhuǎn)角參數(shù)。

磁浮列車懸浮架與軌道梁相互之間位移可表示為

δsn=Nδ，δ=[ui,vi,wi,θXi,θYi,θZi,uj,vj,wj,θXj,θYj,θZj]T

(2)

式(2)中:u、v、w、θ為懸浮架橫向兩側(cè)節(jié)點位移及轉(zhuǎn)角，則

δsn=[usnvsnwsnθXsnθYsnθZsn]T,n=a，b，c，d

(3)

式(3)中：N為軌道梁單元位移形函數(shù)，即

N=

(4)

1.3 軌道不平順

磁浮列車所受軌道不平順的影響，主要與行進(jìn)過程中的軌道梁變形有關(guān)，參考橋面不平順的表示方法[13-14]，可采用不平順函數(shù)來進(jìn)行表示，即

(5)

式(5)中：lv為橋面不平順波長，取值11.5；av為橋面不平順幅值。軌道不平順共分為A、B、C三個等級，對應(yīng)av分別取0.005、0.008、0.01 m。

因此，懸浮架所在軌道處軌道不平順可表示為

(6)

懸浮架與軌道梁接觸位置的位移函數(shù)可表示為

Sswn=Tscδsn+Rsn

(7)

式(7)中：Tsc為轉(zhuǎn)換矩陣。

(8)

式(8)中：en(n=a，b，c，d)為各懸浮架位置距軌道梁單元質(zhì)心的水平距離；h0為軌道梁頂面距離質(zhì)心的豎向距離。

懸浮架與軌道梁相接觸處的豎向位移wswa、wswb、wswc、wswd可表示為

wswn=wsn+enθXsn+rsn,n=a,b,c,d

(9)

磁浮車體與懸浮架連接端點的位移w′a、w′b、w′c、w′d可表示為

(10)

2 磁浮車輛空間振動方程的建立

2.1 磁浮列車慣性勢能

磁浮列車慣性力所做負(fù)功為

(11)

懸浮架慣性力所做負(fù)功為

(12)

2.2 磁浮列車彈性應(yīng)變能

軌道梁與懸浮架之間彈性勢能為

(13)

式(13)中：Δ1a、Δ1b、Δ1c、Δ1d為懸浮架與軌道梁之間一系彈簧伸長量，Δ1n=wwn-wswn，n=a，b，c，d。

磁浮車體與懸浮架之間二系彈簧應(yīng)變能為

(14)

式(14)中：Δ2a、Δ2b、Δ2c、Δ2d為懸浮架與車體之間二系彈簧伸長量，Δ2n=w′n-wwn,n=a，b，c，d。

2.3 阻尼力勢能

軌道梁與懸浮架之間阻尼力所做負(fù)功為

(15)

磁浮列車車體與懸浮架之間阻尼力所做負(fù)功為

(16)

2.4 重力勢能

運行中的磁浮列車不與軌道梁接觸，車輛重力產(chǎn)生的動力效應(yīng)實際為二者之間的相互作用力，可表示為

UGV=Pswawswa+Pswbwswb+Pswcwswc+Pswdwswd

(17)

式(17)中：Pswa、Pswb、Pswc、Pswd為懸浮架與軌道梁之間的相互作用力，可表示為

(18)

式(18)中：d1、d2、b1、b2分別為車體重心在縱向和橫向距懸浮架的距離；mc為車體質(zhì)量；mwa、mwb、mwc、mwd為車體單元附近橫向、縱向懸浮架質(zhì)量。

2.5 磁浮列車車輛空間振動方程

一列磁浮列車，一般會有n′節(jié)車廂，則磁浮列車總勢能即為n節(jié)車廂勢能的疊加，可表示為

(19)

依據(jù)變分方法及對號入座法則，即可得到磁浮列車系統(tǒng)的剛度矩陣KV、質(zhì)量矩陣MV、阻尼矩陣CV、荷載列陣PV，從而建立車輛系統(tǒng)的空間振動運動方程為

(20)

3 磁浮車輛-橋梁耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)方程的建立

橋梁結(jié)構(gòu)總勢能ΠS[13]可表示為

ΠS=UIS+UDS+UKS

(21)

式(21)中：UIS、UDS、UKS分別為慣性力、阻尼力和彈性力所作負(fù)功。

同樣依據(jù)變分及對號入座法則，建立橋梁結(jié)構(gòu)動力運動方程，可表示為

(22)

以橋梁初始狀態(tài)為零勢能點，即PS=0。式(22)可寫為

(23)

將磁浮列車總勢能與橋梁結(jié)構(gòu)總勢能進(jìn)行疊加，得到磁浮車橋耦合系統(tǒng)總勢能ΠVS=ΠS+ΠV。繼續(xù)采用變分方法和對號入座法則換算，得到磁浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)的振動方程。分別對磁浮列車和橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼進(jìn)行組裝，形成組裝矩陣，進(jìn)而可得磁懸浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)的運動方程，可表示為

(24)

根據(jù)以上磁浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)方程，采用Fortran語言編制計算程序，對車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)進(jìn)行計算分析。

4 磁浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)分析

4.1 依托工程簡介

規(guī)劃中的長株潭城市群城際軌道交通線株洲段跨湘江大橋擬采用主跨為(95+180+95) m的磁懸浮專用矮塔斜拉橋，橋型方案如圖2所示。

圖2 橋型布置圖Fig.2 Bridge span arrangement

主梁采用單箱單室預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁、主梁根部及跨中橫斷面如圖3所示。主梁頂寬11.6 m，底寬8 m，箱梁根部梁高9.6 m，跨中梁高4.8 m，變高段梁高采用二次拋物線，底板厚度0.45～1.2 m，腹板厚度0.5～0.7～0.9 m。箱梁配置縱向預(yù)應(yīng)力鋼束及腹板豎向預(yù)應(yīng)力鋼束。

塔身截面采用變截面形式，順橋向尺寸由塔底6 m漸變至塔頂8 m，主塔整體向外展開，橫向間距由塔底10 m漸變至塔頂21.5 m，豎向設(shè)多道景觀槽，柱底接4.5 m厚承臺，基礎(chǔ)采用9根直徑2.4 m樁基。

4.2 車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)參數(shù)分析

對該橋型方案進(jìn)行車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)參數(shù)分析，采用單一變量原則，其他參數(shù)不變，車輛模型參數(shù)參照中車株洲電力機(jī)車有限公司所提供數(shù)據(jù)，如表1及表2所示。

圖3 主梁根部及跨中斷面圖Fig.3 Root section and midspan section

表1 磁浮車輛物理參數(shù)

表2 磁浮列車其他參數(shù)

4.2.1 橋梁動力響應(yīng)參數(shù)分析

(1)軌道不平順的影響。

依次改變軌道不平順等級，av依次選取0.005、0.008、0.01 m，磁浮列車及橋梁其余參數(shù)保持不變。磁浮列車單線單向行駛，車速設(shè)為100 km/h。依據(jù)Fortran自編程序計算，結(jié)果如圖4～圖6和表3所示。

圖4 不同軌道不平順等級下橋梁跨中豎向位移時程曲線Fig.4 Vertical displacement time history of bridge midspan in working

圖5 不同軌道不平順等級下橋梁跨中豎向加速度時程曲線Fig.5 Vertical acceleration time history of bridge midspan in working

圖6 不同軌道不平順等級下連續(xù)梁跨中豎向位移頻譜曲線Fig.6 Vertical displacement spectrum curve of continuous girder bridge midspan

表3 軌道不平順等級下磁浮橋梁跨中動力響應(yīng)

由圖4～圖6和表3可知，軌道不平順等級越高，磁浮列車運行引起的橋梁動力響應(yīng)越大。狄克曼指標(biāo)最大值為2.865，為“人體能忍受的短期振動”[15]?？梢?，軌道不平順對橋梁動力舒適性有很大影響，應(yīng)加強對軌道梁不平順的控制，并在后期運營中加強對軌道梁的養(yǎng)護(hù)。

(2)行車速度的影響。

選取磁浮列車車速依次為60、80、100、130、160 km/h 5種工況進(jìn)行分析，磁浮列車、橋梁其余參數(shù)不變。通過自編程序計算，結(jié)果如表4所示。

表4 磁浮列車在不同車速下橋梁跨中動力響應(yīng)

從表4可以看出，隨著磁浮列車行車速度的增大，橋梁動力響應(yīng)并非一直變大。但車速超過 130 km/h 后，車速越大，引起的橋梁動力響應(yīng)則越大。如當(dāng)磁浮列車車速行至160 km/h時，動力系數(shù)達(dá)到1.892，此時狄克曼指標(biāo)為1.971，仍為“人體能忍受任意長時間的振動”。因此，為保證行車安全及舒適，建議在保證最低車速的情況下，磁浮列車通過大跨徑橋梁時盡量慢速行駛。

(3)磁浮列車車輛載重的影響。

考慮磁浮列車車廂分別在空載、一半荷載和滿載三種工況下橋梁動力影響分析。其他參數(shù)不變，通過自編程序計算，得到的橋梁動力響應(yīng)結(jié)果如表5所示。

表5 磁浮列車不同荷載工況下橋梁跨中動力響應(yīng)

從表5計算結(jié)果可以看出，磁浮列車在橋梁上運行時，引起的橋梁跨中動力響應(yīng)與磁浮列車荷載工況正相關(guān)，隨著列車荷載工況的增大，其動力響應(yīng)隨之變大。磁浮列車處于滿載工況時，橋梁動力系數(shù)最大至1.162，狄克曼指標(biāo)為1.674，處于“能忍受任意長時間的振動”的區(qū)域。

(4)軌道數(shù)的影響。

規(guī)劃中的株洲磁浮跨湘江大橋方案，按雙向雙線設(shè)計，因此可分為磁浮列車單向單線行駛與雙向雙線行駛兩種工況。同上分析思路，其他參數(shù)不變，通過自編程序計算，結(jié)果如表6所示。

表6 磁浮列車在不同行駛工況下橋梁跨中動力響應(yīng)

計算結(jié)果表明，磁浮列車雙線行駛較單線行駛引起橋梁跨中的動力響應(yīng)大，說明同一座橋梁上磁浮列車行駛數(shù)量越多，則引起的橋梁動力響應(yīng)越大。當(dāng)磁浮列車雙線行駛時，引起的橋梁動力系數(shù)為1.134，狄克曼指標(biāo)為1.531，舒適性指標(biāo)仍處于“能忍受任意長時間的振動”區(qū)域。

4.2.2 磁浮車輛動力響應(yīng)參數(shù)分析

(1)軌道不平順的影響。

依次改變軌道不平順等級，av依次選取0.005、0.008、0.01 m，其余車輛參數(shù)及橋梁參數(shù)保持不變。磁浮列車單線單向行駛，車速設(shè)為 100 km/h。依據(jù)Fortran自編程序，對磁浮列車的動力響應(yīng)進(jìn)行計算，并采用斯佩林(Sperling)指標(biāo)進(jìn)行分析評價[15]。下面行車速度和車輛載重動力響應(yīng)參數(shù)分析除對應(yīng)參數(shù)變化外其余參數(shù)條件同軌道不平順一致。計算結(jié)果如表7所示。

依據(jù)計算結(jié)果可見，軌道不平順對磁浮列車動力響應(yīng)影響明顯，呈現(xiàn)正相關(guān)變化。根據(jù)斯佩林指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，軌道不平順等級越高，乘坐于磁浮列車內(nèi)的乘客人體舒適性感覺越差。

表7 軌道不平順工況下磁浮列車動力響應(yīng)

(2)行車速度的影響。

分別采用60、80、100、130、160 km/h 5種磁浮列車行車速度進(jìn)行影響分析。磁浮列車-橋梁其余參數(shù)不變，計算結(jié)果如表8所示。

表8 磁浮列車在不同車速下列車動力響應(yīng)

行車的舒適性與磁浮列車的運行速度負(fù)相關(guān)，速度越大，舒適性感覺越差。因此，為保證行車安全及舒適，建議在保證最低車速的情況下，磁浮列車通過大跨徑橋梁時盡量慢速行駛。

(3)車輛載重的影響。

考慮磁浮列車車廂分別在空載、一半荷載和滿載三種工況下進(jìn)行車輛載重影響分析。其他參數(shù)不變，通過自編程序計算，結(jié)果如表9所示。

表9 磁浮列車不同荷載工況下車體動力響應(yīng)

計算結(jié)果表明，磁浮列車車輛載重從空載增大到滿載，磁浮列車的振動均“明顯感覺振動，但感覺舒適”。但從表9中也可以看出，列車載重越大引起的車體最大豎向動位移和加速度也越大，即列車動力響應(yīng)也越大。

5 結(jié)論

通過以上分析可知，規(guī)劃中的長株潭城市群城際軌道交通線株洲段跨湘江大橋方案——磁懸浮專用矮塔斜拉橋(主跨180 m)，在磁懸浮列車正常行進(jìn)時，磁浮列車、橋梁振動舒適性良好，車橋耦合振動響應(yīng)可滿足安全行車要求。另外，進(jìn)行動力響應(yīng)參數(shù)分析所得結(jié)論也可為磁懸浮大跨度橋梁的設(shè)計施工及日常運營管理提供一定的參考。