崔 祚, 姜洪州, 劉圣陶

(1.貴州理工學(xué)院航空航天工程學(xué)院， 貴陽 550003； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001； 3.北京遙測技術(shù)研究所， 北京 100094)

為了攫取食餌、逃避敵害和繁殖后代等生存需要，魚類利用身體和尾鰭的往復(fù)擺動，獲得遠超過任何航行器的游動性能，如快速的巡游速度、高機動性和高效率等[1]。目前，仿生學(xué)研究表明，魚類快速高效的游動性能與其外形尺寸、魚體機械特性以及流體環(huán)境等因素存在著非常復(fù)雜的關(guān)系[2-4]。生物學(xué)研究發(fā)現(xiàn)當魚體尾鰭的擺動頻率與其身體的固有頻率相接近時，魚類能夠獲得較好的游動性能[4-5]。而魚體本身的固有頻率是由其骨骼、肌肉以及皮膚等黏彈性生物組織來決定的。受此啟發(fā)，從仿生學(xué)的角度出發(fā)，在考慮流體環(huán)境影響的前提下，分析魚體動力學(xué)參數(shù)與游動性能之間的關(guān)系，為后續(xù)機器魚設(shè)計提供理論參考。

目前，魚類仿生學(xué)建模主要包括動力學(xué)建模和流固耦合建模兩類。流固耦合建模主要依賴計算流體力學(xué)方法，通過數(shù)值計算魚體與流體間相互作用力，分析魚類的游動機理。由于魚體外形復(fù)雜且邊界運動幅度較大，該建模需要消耗大量計算資源，難度較大，這方面研究大多未考慮魚體的阻抗特性。在考慮機械諧振在魚類游動影響的前提下，通過動力學(xué)建模，側(cè)重研究魚體阻抗特性與游動性能之間關(guān)系。這些研究結(jié)論將向機器魚設(shè)計者充分展示魚體阻抗特性對游動性能影響的重要性。

1 柔性機器魚的動力學(xué)模型

在柔性機器魚動力學(xué)建模中，不僅需要考慮魚體本身的機械特性，還需考慮周圍流體環(huán)境的影響。例如，Tytell等[6]發(fā)現(xiàn)七鰓鰻游動過程中產(chǎn)生最大加速度和最大穩(wěn)態(tài)速度所對應(yīng)的身體剛度是不同的。在動力學(xué)建模方面，McMillen等[7]利用桿理論和Taylor抗力理論，建立了柔性魚體的離散動力學(xué)模型。Kohannim等[8]通過建立兩關(guān)節(jié)離散魚體模型，分析了魚體剛度與其游動性能之間的關(guān)系。

自然界中魚類通過其頡抗肌群產(chǎn)生彎曲力矩，并由肌腱驅(qū)動各尾椎單元體發(fā)生微小的相對旋轉(zhuǎn)，整體表現(xiàn)為魚體波曲線，如圖1所示。目前，魚體動力學(xué)模型主要有多體動力學(xué)模型和黏彈性梁模型兩類。在多體動力學(xué)模型中，魚體簡化為多剛體串聯(lián)結(jié)構(gòu)，該模型未考慮魚體的阻抗特性，適合魚類運動學(xué)分析。將魚體看作浸入變截面黏彈性梁，采用黏彈性梁模型進行動力學(xué)分析，利用梁理論分析彎曲變形，對應(yīng)動力學(xué)方程為高階偏微分方程[9]。但由于魚體橫截面、魚體阻抗分布等非線性因素，理論上很難分析動力學(xué)特性。

圖1 柔性機器魚的動力學(xué)模型示意圖Fig.1 Schematic drawing of dynamic model of robotic fish

Daou等[10]通過指數(shù)函數(shù)描述魚體外形，通過求解偏微分方程得到了魚體波近似解。Nguyen等[11]在忽略魚體外形變化情況下，利用格林函數(shù)得到了魚體波理論解。在上述動力學(xué)分析中，魚體剛度和阻尼均假定為常數(shù)，缺少對游動性能影響的分析。鑒于此，將魚類的生理結(jié)構(gòu)進行簡化，肌群的驅(qū)動力被簡化為分布在魚體前端的集中力矩，而魚體的黏彈性機械特性則由脊椎的阻抗進行描述[12]。在此基礎(chǔ)上側(cè)重研究魚體阻抗對游動性能的影響。

根據(jù)上述動力學(xué)模型，對其進行受力分析，如圖2所示。當不計剪切應(yīng)力及截面扭轉(zhuǎn)時，采用伯努利-歐拉梁方法對其分析，對應(yīng)的控制方程為

(1)

Ly為魚體微段的水動力；Mb為驅(qū)動力矩經(jīng)過黏彈性材料變形后 作用在截面上的彎曲力矩；S為剪切力；Q為截面所受的張力； h(x,t)為魚體中心線的側(cè)向位移，即魚體波曲線圖2 魚體脊椎彎曲變形的受力分析Fig.2 The dynamic analysis of fish’s bending spine

由于魚類游動的流體雷諾數(shù)較高(104～106)，故魚體與流體間的相互作用力表現(xiàn)為慣性力。根據(jù)Lighthill大擺幅細長體理論[13]，魚體推力是由向后傳播的魚體波運動所對應(yīng)周圍流體的附加動量所產(chǎn)生的，即作用于單位長度魚體上的側(cè)向力等于單位長度內(nèi)流體虛質(zhì)量所對應(yīng)的虛動量對時間的導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)的表達式為

(2)

式(2)中：ma為虛質(zhì)量。綜合上述分析，將式(1)化解，得

(3)

求解機器魚的固有頻率時，驅(qū)動力矩為0，當魚體脊椎的彈性EI和阻尼μI為常數(shù)，設(shè)μI=η(EI)，η為黏彈性系數(shù)。根據(jù)式(3)的形式，利用分離變量法進行求解，設(shè)解的形式為φ(x)q(t)，對時間偏導(dǎo)項q(t)的表達式eiλt，則幅值項可化解為

(4)

結(jié)合自由端-自由端邊界條件，求解得到機器魚的固有頻率為

(5)

式(5)中：L為魚體長度。

n=1,2,3,…

(6)

2 游動性能分析

仿生學(xué)研究雖然表明魚體機械特性對其游動特性有很大的影響[7-8]，如Tytell等[5]研究發(fā)現(xiàn)剛度較大的鲹科或鮪科魚類，當固有頻率和尾鰭擺動頻率接近時，“諧振”會對游動性能產(chǎn)生非常重要的影響。但是，在“諧振”狀態(tài)下，動力學(xué)參數(shù)與其游動性能的關(guān)系方面的研究較少。

根據(jù)Lighthill的細長體理論[13]及其修正理論[14]，在充分考慮了魚體尾鰭攻角影響的前提下，機器魚平均推力T的表達式為

(7)

式(7)中：m(L)為尾鰭處的有效質(zhì)量；ωn為固有頻率；H(L)為魚體尾鰭的最大擺幅；U為魚體穩(wěn)態(tài)游動速度；V為魚體波波速，V=2π/λ，其中λ為魚體波波長。

(8)

式(8)中：CD為阻力系數(shù)。

根據(jù)Lighthill的細長體理論[13]，當機器魚的固有頻率為ωn時，游動效率的表達式為

(9)

在上述分析中，機器魚游動性能的評價除了魚體的固有頻率，還需要魚體末端的運動學(xué)參數(shù)。

3 生物學(xué)實例研究

為研究柔性機器魚的動力學(xué)參數(shù)與游動性能之間的關(guān)系，以鱈魚(saithe)為研究對象[15-16]，根據(jù)其生物學(xué)參數(shù)(表1)建立魚體動力學(xué)模型，并求解其固有頻率。然后在該頻率下驅(qū)動，得到魚體波參數(shù)，并以此分析其游動性能的變化情況。

表1 鱈魚游動的運動學(xué)參數(shù)

3.1 游動頻率的分析

由式(6)可知，魚體的固有頻率是由其身體本身和周圍流體共同決定的。結(jié)合生物學(xué)研究，可進一步預(yù)測自然界魚類本身的共振頻率可以通過肌肉組織來調(diào)節(jié)，而由流體環(huán)境引起共振頻率的變化可由魚體的阻抗特性和尾體參與擺動的長度來實現(xiàn)。

3.2 游動速度的分析

根據(jù)文獻[15-16], 鱈魚的魚體波幅值分布[14]曲線如圖3所示，是通過傅里葉級數(shù)進行描述。經(jīng)擬合，魚體波曲線幅值函數(shù)可寫為

H(x)=0.163x2-0.084x+0.021

(10)

計算尾鰭的最大擺幅H(L)=0.10L，最大擺幅導(dǎo)數(shù)H′(L)=0.24L。根據(jù)式(8)，計算鱈魚游動速度為0.90L/s，與生物學(xué)參數(shù)(0.86L/s)相接近。其原因在于在計算速度時使用的尾鰭最大擺幅為0.10L，而實驗觀測給出的數(shù)值為0.08L。當尾鰭的最大擺幅越大，對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)游動速度越大。

圖3 鱈魚魚體波幅值的分布Fig.3 Lateral deflection of swimming saithe

當利用式(8)計算游動速度時，魚體波的波速無法確定，但滑移率(魚體波波速與游動速度之比)小于1。故先假定魚體波波速保持不變，成比例地改變機器魚的阻抗，然后根據(jù)式(6)求解其最優(yōu)頻率，分析其在最優(yōu)頻率下驅(qū)動的游動速度[由式(8)計算]，并與實驗觀測值相比較，結(jié)果如圖4所示。

在圖4(a)中，魚體游動速度與其擺動頻率成正比，且和尾體的擺幅以及魚體長度直接相關(guān)，該結(jié)論與生物觀測得到的結(jié)論[19-20]一致。驅(qū)動頻率的變化范圍較小，與生物學(xué)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系并不明顯，主要在于原文獻擺動頻率均在3.6 Hz左右。通過平均的方法來分析該問題，發(fā)現(xiàn)該區(qū)域內(nèi)觀測得到的數(shù)據(jù)較為密集，與模型預(yù)測的數(shù)據(jù)相吻合。

根據(jù)動力學(xué)分析，柔性魚體可通過增加剛度來獲取較高的游動速度。原因在于魚體增加剛度以提高其共振頻率來獲得所需的游動速度，該結(jié)論與生物學(xué)觀測[21-22]相一致。根據(jù)動力學(xué)模型分析，游動速度與魚體阻抗的平方根呈線性變化。在圖4(b)中，由于魚體阻抗的變化范圍較小，游動速度與魚體阻抗的變化規(guī)律不明顯。

在圖4(c)和圖4(d)中，魚體游動速度(以每個周期游動魚體長度的倍數(shù)BL/T表示)與其滑移率成正比，與斯特魯哈數(shù)(St)成反比，且與大部分實驗數(shù)據(jù)相吻合。同時發(fā)現(xiàn)，當滑移率越接近1，魚體的游動速度越大。在魚類游動中，St常用于描述尾跡的渦街結(jié)構(gòu)，其數(shù)值范圍為0.25～0.35。在該區(qū)域范圍內(nèi)，通常認為魚體游動效率較高。

圖4 當魚體波波速不變時，魚體游動速度與 其他參數(shù)之間的關(guān)系Fig.4 The relationships between the forward speed and other parameters with wave speed being fixed

在游動過程中，魚體波的波速可能發(fā)生變化，但該數(shù)值低于魚體的穩(wěn)態(tài)游動速度，即滑移率須小于1。為進一步研究魚體波波速對游動速度的影響，假設(shè)魚體波的滑移率為常數(shù)0.87(生物學(xué)參數(shù))，與圖4分析相類似，結(jié)合動力學(xué)模型，計算魚體波波速，并研究魚體的游動速度與其他參數(shù)的關(guān)系，結(jié)果如圖5所示。

圖5 當滑移率不變時，魚體游動速度與其他參數(shù)的關(guān)系Fig.5 The relationships between the forward speed and other parameters with slip ratio being fixed

在圖5中，魚體波波速隨著游動速度的增大而增大，其他參數(shù)的變化規(guī)律也與圖4結(jié)論相類似。通過對比，可說明魚體波波速也會對游動速度產(chǎn)生一定的影響，表明魚體在游動過程中，滑移率可能發(fā)生變化，增大滑移率可提高其穩(wěn)態(tài)游動速度。

根據(jù)動力學(xué)模型，魚體的固有頻率與參與擺動的尾體長度有關(guān)。某種意義上，尾體從左擺動到右，消耗的時間與流體流過擺動尾體長度的時間大約相等，即魚體波滑移率可看作流體流過擺動尾體的長度與魚體尾鰭擺動幅值之比?；坡试酱螅溆蝿铀俣仍酱?。結(jié)合對不同幾何外形的魚類游動的數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)魚體尾跡渦流的強度得益于魚體前部對流體的加速過程[23]，該結(jié)論與對魚體波滑移率的分析結(jié)果相吻合。

上述分析說明魚體通過改變阻抗使其尾體擺動頻率與其共振頻率相匹配，以獲得所需的游動速度。結(jié)合動力學(xué)模型，進一步預(yù)測魚體在最優(yōu)游動狀態(tài)下，魚體擺動頻率和尾體的阻抗分別正比于游動速度和游動速度的平方，該結(jié)論與文獻[8,18]的生物學(xué)觀測結(jié)果相一致。

3.3 游動效率的分析

在游動過程中，魚體內(nèi)部肌肉組織和外部流體之間存在著能量的傳遞和轉(zhuǎn)移。在能耗方面，總功率E為魚體擺動傳遞給周圍流體的機械能，該部分能量使魚體發(fā)生彎曲擺動。在魚體擺動過程中，設(shè)傳遞給周圍流體的動能為K，且其反作用力對魚體產(chǎn)生的功率記為TU，該部分功率表現(xiàn)為使魚體向前游動的推力。從能量傳遞的過程來看，魚體肌肉組織產(chǎn)生的功率最終分為兩部分：周圍流體的動能和流體反作用力對魚體的推力功率，即E=K+TU?？偟膩碚f，由肌肉組織提供的總功率最終通過兩部分進行耗散：一部分是魚體所受阻力的耗散，另一部分是魚類通過側(cè)向位移將力傳遞給周圍流體進行耗散。

當不考慮魚體尾鰭的作用，游動效率對應(yīng)的表達式為

(11)

當不考慮魚體尾鰭的影響，魚體游動效率僅與其滑移率成正比，滑移率越大，對應(yīng)的游動效率越高；當考慮尾鰭的影響時，發(fā)現(xiàn)尾鰭側(cè)向位移彎曲程度越大，即攻角幅度越大，推力越小，對應(yīng)的效率越低。根據(jù)動力學(xué)模型，分析得到鱈魚的游動效率為0.423。而生物學(xué)研究[17-18]發(fā)現(xiàn)鱈魚的穩(wěn)態(tài)游動效率為0.52～0.72，該數(shù)值大于魚體的動力學(xué)模型所求解的效率(0.423)。該誤差與所建立的動力學(xué)模型的相關(guān)簡化有關(guān)[8,24]，因為在該動力學(xué)模型中，推力主要是由魚體的附加質(zhì)量所產(chǎn)生。如文獻[24]所述，當考慮內(nèi)部肌肉傳遞功率以及水動力學(xué)的非線性項時，魚體的穩(wěn)態(tài)游動的效率可能大于0.5，這也說明了魚體動力學(xué)特性對游動效率的重要影響。

4 結(jié)論

從魚體動力學(xué)角度出發(fā)，根據(jù)Lighthill的細長體理論，建立了柔性機器魚的動力學(xué)模型，求解了固有頻率，并結(jié)合鱈魚的生物學(xué)參數(shù)，初步探討了魚體在諧振狀態(tài)下擺動頻率、游動速度和游動效率的變化情況，得到如下結(jié)論。

(1)魚體的固有頻率是由其身體本身和周圍流體共同決定的，并預(yù)測自然界魚類本身的共振頻率可以通過肌肉組織來調(diào)節(jié)，而魚體的阻抗特性和參與擺動的尾體長度會影響由流體環(huán)境引起共振頻率的變化。

(2)在最優(yōu)的游動狀態(tài)下，魚體擺動頻率和尾體的阻抗分別與游動速度和游動速度的平方呈正比。

(3)魚體動力學(xué)模型對其游動效率的計算有著很大的影響。

建立的動力學(xué)模型在計算游動效率方面存在一定的局限性，但總的來說，該模型為研究魚體動力學(xué)參數(shù)與游動性能之間的關(guān)系提供了分析思路。