趙東偉， 尹懷仙， 張洪信， 趙清海， 付磊

(青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 山東 青島 266071)

車架作為城市客車的核心零部件之一，是基本的承載、連接件，有著較大的質(zhì)量占比。試驗(yàn)表明，汽車整備質(zhì)量減少10%，能量消耗減少6%～8%，續(xù)航能力、轉(zhuǎn)向靈活性等也得到提高。因此，在滿足客車車架強(qiáng)度、剛度要求的前提下對車架進(jìn)行輕量化十分必要。

由于傳統(tǒng)的有限元優(yōu)化分析方法計(jì)算量大、效率低，通常建立近似模型代替原始模型來處理復(fù)雜工程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。目前大多數(shù)研究是從多種近似模型中選擇擬合精度最好的模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，對于復(fù)雜機(jī)械優(yōu)化問題，各種近似模型對各種狀態(tài)變量的預(yù)測能力表現(xiàn)各異，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中選取單一近似模型易造成局部最優(yōu)。如Pan F.等利用單一的支持向量回歸近似模型對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化迭代，其不能保證約束函數(shù)的全局精度；Chen S. K.等基于Kriging近似模型和水平集表征法對響應(yīng)的不確定區(qū)域進(jìn)行量化，其對試驗(yàn)設(shè)計(jì)采集的樣本數(shù)依賴性較大，可能導(dǎo)致結(jié)果局部最優(yōu)。因此，該文以某混合動力城市客車底盤車架為研究對象，通過對響應(yīng)面、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、克里格及正交多項(xiàng)式4種近似模型的預(yù)測能力的對比分析，按照一定的權(quán)系數(shù)線性疊加建立組合近似模型，對城市客車車架進(jìn)行結(jié)構(gòu)輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證組合近似模型在城市客車車架輕量化設(shè)計(jì)中的可靠性。

1 建立近似模型

近似模型是通過建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型來近似模擬一組激勵參數(shù)與響應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系，以精確擬合實(shí)際模型。其建立流程見圖1。

圖1 近似模型建立流程

1.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)以待測點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的歐幾里得距離為自變量，即假設(shè)x1，…，xN∈Ω?RN代表一組基函數(shù)的輸入變量：

gi≡g(‖x-xi‖c)∈R(i=1，…，N)

(1)

徑向基函數(shù)的基本形式為：

(2)

1.2 響應(yīng)面模型

響應(yīng)面模型(RSM)基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)技術(shù)，利用多項(xiàng)式函數(shù)擬合設(shè)計(jì)空間，具有計(jì)算效率高、適用范圍廣和魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)。其基本形式為：

(3)

式中：xi為第i個設(shè)計(jì)分量；α0，αi，αij，αii，αijk，…，αii…i為多項(xiàng)式待定系數(shù)；d為響應(yīng)面的最高階數(shù)。

1.3 正交多項(xiàng)式模型

當(dāng)試驗(yàn)因素較多時(shí)，采用最小二乘法求響應(yīng)面模型參數(shù)的計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜，可采用正交多項(xiàng)式擬合響應(yīng)面模型(Chebyshev)使計(jì)算過程簡化，同時(shí)彌補(bǔ)使用最小二乘法求系數(shù)過程中的不足。

1.4 克里格模型

克里格方法(Kriging)是基于變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析，在規(guī)定區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量取值，并進(jìn)行無偏、最優(yōu)估計(jì)的一種空間局部內(nèi)插方法。其基本表達(dá)式為：

(4)

式中：p(x)為最基本的多項(xiàng)式；z(x)為均值為零的隨機(jī)項(xiàng)，通常取高斯函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)。

1.5 組合近似模型

組合近似模型(EM)由多個近似模型(如多項(xiàng)式、徑向基函數(shù)、克里格和正交多項(xiàng)式等)加權(quán)線性疊加構(gòu)成。其一般表達(dá)式為：

(5)

式中：yEN為組合近似模型的響應(yīng)預(yù)測值；M為單一近似模型的個數(shù)；ωi、yi分別為第i個模型的權(quán)系數(shù)和響應(yīng)預(yù)測值；設(shè)計(jì)變量x為矢量。

式(5)中權(quán)系數(shù)之和等于1。組合近似模型的關(guān)鍵是計(jì)算權(quán)重系數(shù)。采用啟發(fā)式方法計(jì)算權(quán)重系數(shù)的公式如下：

(6)

(7)

(8)

2 單一近似模型精度分析

2.1 車架有限元模型

根據(jù)城市客車的二維圖紙，利用CATIA軟件構(gòu)建車架幾何模型并以IGES文件儲存，導(dǎo)入有限元分析軟件ANSYS中。網(wǎng)格單元尺寸為10 mm。劃分網(wǎng)格后的車架網(wǎng)格單元為255 727個，節(jié)點(diǎn)為257 049個(見圖2)。

圖2 客車車架有限元模型

2.2 設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)的確定

車架輕量化設(shè)計(jì)中必須保證車架強(qiáng)度滿足要求。以車架所受最大應(yīng)力和總質(zhì)量為響應(yīng)量，選取車架中9個板料的厚度為設(shè)計(jì)變量(見圖3)，按照工程常用鋼板厚度將X1～X9的取值范圍設(shè)定為2～20 mm。

圖3 設(shè)計(jì)變量的選取

2.3 最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)

對9個設(shè)計(jì)變量采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)產(chǎn)生樣本點(diǎn)。最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)改進(jìn)了隨機(jī)拉丁超立方設(shè)計(jì)的均勻性，使所有試驗(yàn)點(diǎn)盡量均勻分布在設(shè)計(jì)空間，使因子和響應(yīng)的擬合更精確真實(shí)。抽取200組試驗(yàn)樣本組成試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣(見表1)。

2.4 近似模型擬合效果分析

從響應(yīng)擬合效果圖可直觀地看出近似模型的精度高低，響應(yīng)擬合效果圖中縱坐標(biāo)為有限元分析得到的仿真計(jì)算值，橫坐標(biāo)為同一樣本點(diǎn)通過近似模型預(yù)測的響應(yīng)值，對角線代表真實(shí)的適應(yīng)度，殘差為零。采集的樣本點(diǎn)落在對角線或其附近越多，則響應(yīng)的預(yù)測精度越好。確定性系數(shù)R2和均方根誤差RMSE反映近似模型的整體精度，其計(jì)算公式分別見式(9)、式(10)。要求R2≥0.9、RMSE≤0.2。

表1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) mm

(9)

(10)

以車架各主要承載梁X1～X9的厚度為優(yōu)化輸入變量、車架使用性能相關(guān)參數(shù)(總質(zhì)量和最大應(yīng)力)為優(yōu)化輸出變量，根據(jù)表1中樣本點(diǎn)對4種近似模型的擬合效果進(jìn)行分析。徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型的擬合效果和精度分別見圖4、表2，響應(yīng)面近似模型的擬合效果和精度分別見圖5、表3，正交多項(xiàng)式近似模型的擬合效果和精度分別見圖6、表4，克里格近似模型的擬合效果和精度分別見圖7、表5。

由圖4～7、表2～5可知：正交多項(xiàng)式近似模型中最大應(yīng)力響應(yīng)的確定性系數(shù)小于0.9，不能代替有限元模型進(jìn)行計(jì)算；其他3種模型的精度符合要求，均可代替有限元模型進(jìn)行后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。就響應(yīng)的整體精度而言，克里格和響應(yīng)面近似模型的整體精度最高；就車架最大應(yīng)力響應(yīng)的擬合精度而言，克里格近似模型的精度最好；就車架總質(zhì)量響應(yīng)的擬合精度而言，響應(yīng)面和正交多項(xiàng)式近似模型的預(yù)測精度最高，克里格近似模型與之相比略有下降。綜上，選取克里格和響應(yīng)面模型構(gòu)建車架最大應(yīng)力和總質(zhì)量的組合近似模型。

圖4 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型各響應(yīng)的擬合效果

項(xiàng)目RMSER2最大應(yīng)力總質(zhì)量0.068 790.002 980.935 520.989 84

圖5 響應(yīng)面近似模型各響應(yīng)的擬合效果

項(xiàng)目RMSER2最大應(yīng)力總質(zhì)量0.012 130.003 280.971 260.999 81

圖6 正交多項(xiàng)式近似模型各響應(yīng)的擬合效果

項(xiàng)目RMSER2最大應(yīng)力總質(zhì)量0.097 880.002 510.897 590.999 86

3 基于組合近似模型的車架輕量化設(shè)計(jì)

3.1 權(quán)系數(shù)的確定

采用啟發(fā)式計(jì)算法，針對不同響應(yīng)，根據(jù)式(6)～(8)計(jì)算組合近似模型中各單一近似模型的權(quán)系數(shù)，結(jié)果見表6。

利用單一近似模型的權(quán)系數(shù)構(gòu)建組合近似模型，并對其擬合效果進(jìn)行分析，結(jié)果見圖8。

由圖8可知：有限元仿真值和組合近似模型的預(yù)測值誤差較小，預(yù)測精度略高于單一近似模型，且適合各種狀態(tài)變量的預(yù)估。因此，可采用該組合近似模型代替有限元模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

3.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

以車架的最大應(yīng)力和變形為約束、質(zhì)量最小為目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可定義為：

項(xiàng)目RMSER2最大應(yīng)力總質(zhì)量0.005 720.017 600.999 300.989 57

表6 近似模型的權(quán)系數(shù)

圖8 組合近似模型各響應(yīng)的擬合效果

(11)

式中：M(X)為車架的總質(zhì)量；X為設(shè)計(jì)變量的可行域，X=[X1,X2，X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9]；Δrmax(X)為車架的剛度變形，其最大值為0.06 m；λ為強(qiáng)度安全系數(shù)，λ=1.5；σmax為車架受到的最大應(yīng)力；σs為材料的屈服強(qiáng)度，σs=345 MPa。

3.3 模型求解

采用霍克-吉維斯直接搜索法在優(yōu)化空間中尋找全局最優(yōu)解。組合近似模型優(yōu)化前后各設(shè)計(jì)變量的比較見表7。

表7 優(yōu)化前后各設(shè)計(jì)變量對比

對優(yōu)化后車架重新建立有限元模型進(jìn)行分析，結(jié)果顯示：優(yōu)化后車架質(zhì)量為865 kg，比優(yōu)化前的989 kg減輕12.54%；優(yōu)化后車架的最大應(yīng)力由187 MPa增至214 MPa(見圖9)，安全系數(shù)達(dá)到1.6，滿足設(shè)計(jì)要求。

圖9 優(yōu)化前后車架等效應(yīng)力(單位：Pa)

4 結(jié)論

(1) 比較響應(yīng)面、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、克里格及正交多項(xiàng)式4種近似模型對車架狀態(tài)變量的估算精度，克里格近似模型對最大應(yīng)力的估算精度最高，響應(yīng)面近似模型對總質(zhì)量的估算精度最高。

(2) 基于克里格和響應(yīng)面近似模型構(gòu)建的車架狀態(tài)變量估算組合近似模型對各類狀態(tài)變量都有較高的估算精度，將其用于車架輕量化設(shè)計(jì)，與優(yōu)化前車架相比，優(yōu)化后車架減輕12.54%，優(yōu)化目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)；雖然應(yīng)力有所增大，安全系數(shù)有所減小，但都在合理范圍內(nèi)。