黃秋林

在解數(shù)學(xué)習(xí)題時，同學(xué)們要抓住幾個解題要點，否則，在解題時便會出現(xiàn)錯誤.現(xiàn)舉例說明.

一、在解題過程中要明晰數(shù)學(xué)問題

解題的第一步，在于要明確數(shù)學(xué)問題的概念、公式、定理、性質(zhì)、符號，這是解題的基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)題目中涉及的概念、公式、定理、性質(zhì)、符號是平時在學(xué)習(xí)時就要去理解、記憶的，做習(xí)題的水平，能夠直接反映出平時的理解、記憶水平.

例1如果雙曲線x2a2-y2b2=-1的離心率為54，那么兩條漸近線的方程為（）.

A.x9±y16=0

B.x16±y9=0

C.x3±y4=0

D.x4±y3=0

該題易出現(xiàn)的錯誤為選擇答案D，選擇的依據(jù)為e=ca=54c2a2=2516=a2+b2a2=1+b2a2b2a2=916ba=±34y=±34xx4±y3=0.該題的錯誤在于沒有正確地理解雙曲線標準方程、離心率、漸進線方程的概念.雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），它的漸進線方程有兩種形式y(tǒng)=±bax或y=±abx，現(xiàn)在不能僅僅憑雙曲線標準方程來確定它的漸進線方程為兩種形式中的哪一種，此時要通過離心率e=ca>1來推知a、b的關(guān).現(xiàn)已知離心率為54，那么可知x2a2-y2b2=-1y2b2-x2a2=1，于是e=cb=b2+a2b=54，于是可得ab=34.因為雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的漸進線方程為y=±bax，那么可得y=±43x，從而可得x4±y3=0.審題的第一步就是要明晰數(shù)學(xué)概念，即要明確該題要解決的是什么數(shù)學(xué)問題，它涉及的概念是什么，概念和概念之間的關(guān)系是什么.

二、在解題過程中要應(yīng)用嚴謹?shù)乃季S邏輯分析問題

解題的第二步，要應(yīng)用嚴密的思維邏輯分析問題.在做習(xí)題時，要用抽象思維來分析問題，然后應(yīng)用分類思想將問題分類，把數(shù)學(xué)問題變成一個問題的集合.現(xiàn)在，要探討的問題，可以成為這個集合中的非空子集，然后，要理順非空子集之間的邏輯關(guān)系，解子集和子集的聯(lián)系，直至完成問題的求解.

例2編號為1，2，3，4，5的五個人，分別坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，則至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為多少？

這一題較為常見的錯解為“至多有兩個號碼一致”的對立事件是“三個或四個（即五個）號碼一致”，那么可知三個號碼一致有C35A22種，四個號碼一致僅1個，于是所求的坐法種數(shù)為A55-C35A22-1=99.該題錯誤的原因為在審題時，沒有理解文本內(nèi)容的內(nèi)在邏輯，如果存在3個號碼一致的情形時，則另兩個號碼就不能一致.于是“至多有兩個號碼一致”的對立事件是“三個和四個（即五個）號碼一致”，于是所求的坐法種數(shù)為A55-C35-1=109.在高中時期，在解決數(shù)學(xué)問題時，不能僅僅只憑著感覺、直覺來審題，而要應(yīng)用嚴密的邏輯思維來分析問題，避免在審題時出現(xiàn)邏輯思維漏洞.

三、在解題過程中要挖掘文本的隱含條件

解題的第三步，就是要在分析問題時，發(fā)現(xiàn)問題中有沒有隱含的條件.在解決數(shù)學(xué)問題時，如果沒有發(fā)現(xiàn)隱含的條件，便意味著沒有正確的理解問題，即不能正確的解答習(xí)題.

例3已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范圍.

該題最常見的錯誤為：由已知得y2=-4x2-16x-12，于是可知x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283，那么當x=-83時，x2+y2有最大值283，于是x2+y2的取值范圍是（-∞，283].該題出現(xiàn)解題錯誤的原因是沒有發(fā)現(xiàn)已知條件中包含一個隱含條件，即x的取值范圍已經(jīng)受到了限制.該題的正確答案為根據(jù)已知條件得y2=-4x2-16x-12，那么x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283，因為（x+2）2+y24=1（x+2）2=1-y24≤1-3≤x≤-1，所以當x=-1時x2+y2有最小值1，從而可得x2+y2的取值范圍是[1，283].在分析題目時，要挖掘出問題的隱含條件，把它當作數(shù)學(xué)問題探討對象中非空子集的一部分.如果在解題時，沒有挖掘出隱含條件，那么意味著邏輯分析會出現(xiàn)錯誤.