趙淑波 崔仁浩 劉萍

[摘 要] 數(shù)學(xué)分析選講教學(xué)的重心在于如何讓學(xué)生“學(xué)解”， 而不僅是教師在“解”;培養(yǎng)學(xué)生如何“數(shù)學(xué)地思維”。為此，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“構(gòu)造”、一題多解、多題一解、深挖核心概念和定理、解題回顧等，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)分析;教學(xué);解題;構(gòu)造

[中圖分類號] G642 ?? [文獻標(biāo)志碼] A [文章編號] 1008-2549（2020） 01-0107-03

學(xué)生們感到數(shù)學(xué)難學(xué)主要原因在于沒有培養(yǎng)好對數(shù)學(xué)分析的辯證思維、沒有掌握好豐富的數(shù)學(xué)分析方法?；诜治鰧W(xué)掌握的困難性和重要性，加之?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須突出解題練習(xí)這個環(huán)節(jié)分析選講課應(yīng)運而生， 其是數(shù)學(xué)分析課的后繼課， 是對分析課的回顧、反思，同時為學(xué)生研究生入學(xué)考試分析科目的準(zhǔn)備起協(xié)助作用。學(xué)生們對這門課的掌握情況與教師的教學(xué)有關(guān)，教與學(xué)相伴而生，教對學(xué)具有引領(lǐng)功效，其作用是不言而喻的。

分析的思維是否跟得上，內(nèi)容有沒有掌握好，重要的檢驗方式是面對題是否會做，也就是數(shù)學(xué)分析的解題能力是否培養(yǎng)起來，解數(shù)學(xué)分析題當(dāng)然也是解數(shù)學(xué)題，怎樣解題？通俗說，解題就是在已知與未知之間建橋;在新知識和舊知識間建立起聯(lián)系， 且聯(lián)系是非人為的、實質(zhì)性的.利用已有知識及思維結(jié)構(gòu)，對抽象的形式化思想材料進行加工，且依托思維而完成的。

解題重要，自然解題能力的培養(yǎng)是這門課教學(xué)的重中之重. 教學(xué)的重心在于以問題為載體培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)解”而不僅是給“解”;教學(xué)生如何“數(shù)學(xué)地思維”。

教學(xué)生學(xué)解數(shù)學(xué)分析題就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題，有意義地發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生去探索。

一 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“構(gòu)造”， 是學(xué)習(xí)解數(shù)學(xué)分析題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段

分析中關(guān)于構(gòu)造的問題遍布于各章，面對涉及構(gòu)造性題目，重點研究為什么這樣處理優(yōu)于講怎樣處理，也就是，著重談為何這樣構(gòu)造，而不僅是怎么構(gòu)造。數(shù)學(xué)解題是一個嘗試過程，不同的嘗試會悟出不同的解決方法。 涉及需要輔助函數(shù)、輔助點集等的構(gòu)造，多數(shù)情況，構(gòu)造不唯一， 多種證明方法引導(dǎo)開闊了同學(xué)們的解題思路。同時伴隨著思維的訓(xùn)練。

實數(shù)幾個等價的完備性定理是數(shù)學(xué)分析的邏輯基礎(chǔ)，其應(yīng)用有一定難度。這是一道考研真題。設(shè)f在[a，b]上連續(xù)，f（a）<0，

f（b）>0。 證明： 存在x0∈（a，b）， 使得f（x0）=0且f（x）>0， ■x∈（x0，b]。其證明不管是應(yīng)用區(qū)間套定理還是確界原理，都需要進行構(gòu)造。

首先引導(dǎo)學(xué)生分析：這個題目是極限理論部分關(guān)于抽象函數(shù)的特殊點的一般存在性問題。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)這類題目證明方向是多選完備性定理;選哪個定理，其實幾個定理本質(zhì)上是等價的，都從不同角度刻畫了實數(shù)系的完備性。理論上，能用一個定理解決的，一定也能用其它定理來解決。 形式上的不同又決定了同一個題目應(yīng)用不同的定理證明難易程度不同。聯(lián)想與該題目相關(guān)的零點定理的證明首選確界原理、區(qū)間套定理。這里我們也不妨先選二者試之。 再引導(dǎo)學(xué)生回憶構(gòu)造法證明存在性問題的常用思路，可先找到可疑點，再驗證真?zhèn)?。怎么找？假設(shè)法，先假設(shè)已經(jīng)找到可疑點，看它所應(yīng)具備的條件，然后再根據(jù)這些條件想辦法構(gòu)造。

對于證法一：確界原理

分析用確界原理的一般思路是先構(gòu)造點集，再證確界是所找的點。 要找的點是某點集的上確界，同時又是另點集的下確界， 這就意味著可選的點集不唯一。 怎么構(gòu)造簡單？假設(shè)法，假設(shè)最大零點已找到， 其必是零點集的最大數(shù)也必是上確界，所以構(gòu)造的點集不妨就取零點集， 驗證其上確界為最大數(shù)，證確界為最大數(shù)只需證確界屬于集合即可。

證該問題集合的構(gòu)造不唯一， 同樣可證出零點集的最大值點也是點集

E={x∈[a，b]：■y∈[x，b]f（y）>0}的下確界，此證法稍麻煩一些。

對于證法二： 區(qū)間套定理

引導(dǎo)學(xué)生分析：用區(qū)間套定理證題的思路是構(gòu)造區(qū)間套，使得套住的點即是所求的點怎么構(gòu)造？ 思路是由果索因，先假設(shè)點已找到，它應(yīng)滿足上述條件，不管怎么構(gòu)造，這個點一定是區(qū)間套套住的點，現(xiàn)在就分析這個區(qū)間套具備的條件，套住的點是零點， 所以區(qū)間套中區(qū)間必含零點， 且零點右側(cè)函數(shù)值大于零， 相應(yīng)的區(qū)間右側(cè)函數(shù)值也應(yīng)大于零。滿足這兩點構(gòu)造即可。以上是以構(gòu)造區(qū)間套為例來談如何構(gòu)造，類似還有構(gòu)造函數(shù)、開覆蓋、構(gòu)造點列等。

有說法是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造浪費時間，我認(rèn)為如果稱是為了所謂的教學(xué)省時間，就算數(shù)學(xué)知識可以被動地傳授給學(xué)生，但解數(shù)學(xué)題的各種典型方法、技巧、個性化解題策略和深層次蘊含的思想不可能只靠老師單純講解幾個例題， 然后學(xué)生機械模仿老師的解法，就可以獲得的。單純講授的解題方式的培養(yǎng)，容易造成學(xué)生只能應(yīng)付一些模式固定的問題。而難以處理靈活的題目。 真正的解題能力是練出來的，而不是教出來的。學(xué)習(xí)解題好的方法就是在不斷解題中學(xué)習(xí)解題，是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題就是不斷積累經(jīng)驗的過程，有經(jīng)驗的解題人會發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題常常就在一念之間，這一念如果被攻破，問題就迎刃而解、水到渠成。比如前面提到的構(gòu)造問題，區(qū)間套的構(gòu)造，一旦區(qū)間套給出問題就攻克，但問題在于，這個構(gòu)造是別人給出的還是自己獲得的，只有自己點破，才對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題有意義，只有學(xué)習(xí)練就這種點石成金之功，才可能實現(xiàn)解題的宗旨。這種功夫基本不是別人教的，而是自己悟出來的。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題，是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，談到發(fā)現(xiàn)，就需要學(xué)生自己去實踐，實踐出真知。對于實踐而言，學(xué)生們已有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)就起著決定性的作用，其包括解題知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)。具備一個組織良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是解題者解題的必要前提。 知識結(jié)構(gòu)與知識儲備相聯(lián)系。 涉及數(shù)學(xué)相關(guān)的概念、定理等，記憶里的知識被安放得井然有序會對解題有很大的幫助。 這一點數(shù)學(xué)家波利亞也曾提到。

有兩種方式形成數(shù)學(xué)的解題知識塊，一種是按照歸類的方式形成。如何歸類，依照問題關(guān)鍵事實歸類，常見如判定定理等，由此，我們將題按照解題方法進行歸類，我們稱它為多題一解;另一種方式是對每一類數(shù)學(xué)問題都盡可能地形成一種或幾種解題思路，由此我們建議一題多解。

二 實現(xiàn)一題多解、多題一解是形成解題知識塊的重要方式，是實現(xiàn)有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

學(xué)過的知識自然希望掌握扎實、應(yīng)用自如。將知識結(jié)成塊、形成網(wǎng)是實現(xiàn)這一想法的重要手段，如何結(jié)成塊？嘗試一題多解、多題一解。每每遇到問題，將其能解決的各種手段有重點的試之。比如，極限是數(shù)學(xué)分析研究的工具。以下遞推數(shù)列以歐拉常數(shù)為極限，設(shè)x0=1， xn+1（1+xn）=1（n≥0）。 證明： ■xn存在并求其極限值。證明數(shù)列極限存在的常用方法都可以試證之。 極限定義、迫斂性定理、柯西收斂準(zhǔn)則、壓縮映像原理、單調(diào)有界定理、上下極限定義等多種方法證明。 經(jīng)驗證，這些方法都可以解決此題。就一個題而言， 可以多種方法處理， 推而廣之，一類問題的解決方案同樣可以多種， 如判定■正項級數(shù)收斂的方法：收斂定義;柯西準(zhǔn)則;四則運算、可結(jié)合性、可交換性;基本定理;判別法：比較、比式、根式、積分、拉貝判別法等，可根據(jù)方法和題的特點比較，逐一試之。 啟發(fā)學(xué)生用多種方法解決， 以幫助學(xué)生學(xué)會建立解題知識塊。 我們可以分別將各個方法的常見考研題進行歸類，總結(jié)用每一類方法的問題的特點以及用每一類方法解題的一般思路和解題步驟。

如可按照同一判定方法將下面積分不等式證明問題歸類

1.設(shè)f ″（x）>0，求證 其中為任意正數(shù)

■

2.證明，■，其中f在[0，1]上連續(xù)，且f （x）>0.

3.設(shè)φ在[0，a]上連續(xù)，f二階可導(dǎo)，且f ?″（x） ≥0，

■

4. 設(shè)f在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f ″（x） ≤0，求證

■

其中λ為任意正數(shù)。

形成解題知識塊的重要方式是按照歸類的方式形成。

這些題目形式上看似不同，但都可用凸函數(shù)、積分不等式性來證明，解題思路相同，我們稱它為多題一解。會做這類題的同時掌握了該證明方法，題是無限的，但方法是有限的，學(xué)會用有限的方法解決無限的題，同時有助于形成解題知識塊，這也符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不斷提高運用抽象概況思維方法水平的特點。勢必會收到事半功倍的效果。

當(dāng)然，強調(diào)多題一解、一題多解的同時，方法有所側(cè)重更是快速解決問題的必須，很多問題的解決還是有一般規(guī)律的，如在應(yīng)用微分學(xué)基本定理證題時，涉及一個函數(shù)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)時，先用拉格朗日中值定理證之，遇到一個函數(shù)的函數(shù)值與二階及以上導(dǎo)數(shù)時，先用泰勒公式處理之，看到兩個函數(shù)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)時，首選柯西中值定理去解決。

為了培養(yǎng)學(xué)生的解題能力這個中心，分析選講的教學(xué)除了從形式上看，要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)造，學(xué)會一題多解、多題一解，形成解題知識塊。內(nèi)容上，要注意抓住核心概念與定理這兩個基本點。

三 注意核心定理理解的透徹性是學(xué)會解題的關(guān)鍵

定理是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，如果把數(shù)學(xué)概念比作數(shù)學(xué)大樹的根，我認(rèn)為數(shù)學(xué)定理就是大樹的干，有了樹干才為枝葉更好地輸送養(yǎng)分，使得枝繁葉茂，經(jīng)常我們可以直接根據(jù)概念計算證明，但是根據(jù)定理計算證明有時更直接容易。應(yīng)用定理處理問題，使得解決問題的深度、廣度都擴大了，要想對定理更好地應(yīng)用必須很好的掌握，如何掌握？深挖掘細(xì)體會，比如中值定理結(jié)論中形式上最簡單的是Rolle定理的結(jié)果，這個定理給出了導(dǎo)函數(shù)存在零點的一個充分條件，該定理的已知要求：函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)， 但我們注意到為得同樣的結(jié)論，函數(shù)值相等可推廣為極限值相等。即設(shè)f在有限區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f（a+0）=f（b-0）=A（A為有限數(shù)），則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。 而且a，b不但可為有限數(shù)， 也可為a=-∞或b=+∞或a=-∞同時b=+∞即區(qū)間由有限區(qū)間可推廣為無窮區(qū)間。 而且， 極限A為有限數(shù)可推廣為A=+∞或A=-∞。 相應(yīng)的拉格朗日中值定理與柯西中值定理也可作把函數(shù)值換為極限值的推廣等。

還有聯(lián)系函數(shù)極限與數(shù)列極限橋梁的歸結(jié)原則：在教科書中是這樣敘述的。設(shè)f在U0（x0; δ）上有定義， ■存在■對任何含于U0（x0; δ）且以x0為極限的數(shù)列■都存在，并且相等。我們注意定理中條件極限相等是可以去掉的，定理仍然成立。 一方面加深了對定理的理解應(yīng)用，另一方面也顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔性與嚴(yán)密性之美。

四 掌握數(shù)學(xué)分析概念的教學(xué)是教好數(shù)學(xué)分析的前提，同時把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及應(yīng)用也是上好選講課的關(guān)鍵

有數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，分析選講教學(xué)重心在于概念、定理的深層次理解及應(yīng)用上。就概念而言，從思維的形式來看，所有的思維形式都離不開概念，概念是基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，數(shù)學(xué)分析中的概念是數(shù)學(xué)分析大廈的基石，是分析中定理與方法的源泉，根據(jù)概念證題，伴隨在整個分析學(xué)習(xí)中，不論是書中定理還是習(xí)題證明都離不開它，分析的研究對象是函數(shù)、研究工具是極限。要談概念，函數(shù)和極限當(dāng)然是重中之重了，極限的ε-δ、ε-N定義，眾多核心概念依其而存在的，連續(xù)、可微、可積、一致收斂、一致連續(xù)等等。還包括函數(shù)項級數(shù)的一致收斂、含參量廣義積分的一致收斂等。談如何學(xué)習(xí)概念時，經(jīng)常會提到抓住其本質(zhì)，那么數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性是什么呢？一般來說，一個特定數(shù)學(xué)對象，在一定的條件下，保持不變的性質(zhì)，就是其本質(zhì)屬性，而可變的則是非本質(zhì)屬性。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對象，它的本質(zhì)屬性是什么呢？函數(shù)是一種映射，要理解函數(shù)的本質(zhì)其實質(zhì)就是弄清映射的本質(zhì)特征，映射是兩個集合之間滿足隨處且單值定義的對應(yīng)關(guān)系，而函數(shù)就是數(shù)集到數(shù)集上的對應(yīng)關(guān)系，由此我們可知數(shù)集到數(shù)集上的對應(yīng)、隨處定義、單值定義是函數(shù)的本質(zhì)特征，是函數(shù)不變的性質(zhì)。

掌握了定義、定理就掌握了基本證題術(shù)中的根據(jù)定義證題術(shù)、根據(jù)定理證題術(shù)。此外，推廣性命題證題術(shù)也是數(shù)學(xué)分析中常用的一種證題術(shù)，它包括仿照法、轉(zhuǎn)化法、變異法。根據(jù)推廣對象的特點可分為：個別向一般的推廣、一維向二維的推廣、離散問題向連續(xù)問題的推廣、有限向無限的推廣、有界向無界的推廣等。

五 解題回顧是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析解題的重要環(huán)節(jié)

解題回顧從時間順序來說，雖說是數(shù)學(xué)解題最后環(huán)節(jié)，卻是解題學(xué)習(xí)的最關(guān)鍵步驟，針對提高學(xué)生解題能力而言，回顧解題是最有意義的環(huán)節(jié)。然而在實際教學(xué)實踐中，這一點常被輕視或忽略，進而使學(xué)生錯過了更多的獲益機會。我們要清楚教學(xué)目的的問題，進行解題教學(xué)并不僅僅是求得所謂問題的結(jié)果，其真正目的是為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性品質(zhì)，而這一教學(xué)目的恰恰主要是通過回顧解題的授課來實現(xiàn)的，基于此，經(jīng)驗豐富的教師總是高度重視解題回顧這一過程的教學(xué)，師生一同對解題的最終結(jié)果和多種解法進行細(xì)致分析，對解題的主要思想和關(guān)鍵要素進行簡要概況，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足，獲取經(jīng)驗，成為以后解題時聯(lián)想的基礎(chǔ)。檢驗解答、討論解法、推廣結(jié)果和思維活動反思，構(gòu)成回顧解題四個方面。

討論解法一題多解、多題一解，這一點前面已闡述，我們著重談一下推廣結(jié)果。

推廣的形式多樣，可以是從具體到抽象，從特殊到一般等。

設(shè)在內(nèi)可微， 證明： 在內(nèi)至少有x（1-x）f ?′（經(jīng) -2的一個零點。

注意到：如果記g（x）=x（1-x），則1-2x=g′（x）

推廣到抽象函數(shù)情形：

設(shè)函數(shù)φ，ψ在[a，b]上連續(xù)， 在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且？漬（x1）= ψ（x2）=0，x1、x2∈（a，b），證明： 在（x1，x2）內(nèi)至少有？漬′（x）+？漬（x） ？漬′（x）的一個零點。

從兩個推廣到多個函數(shù)情形

設(shè)函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)， 且

■。 則f在（a，b）內(nèi)至少有兩個零點。

推廣 設(shè)函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)， 且存在非負(fù)整數(shù)n， 使得

■ 則f在（a，b）內(nèi)至少有n+1個零點。

簡要地說，回顧的不僅是相關(guān)知識、解題方法，還包括開始時怎樣想的，遇到哪些問題，犯過那些錯誤，為什么會出現(xiàn)這些問題，分析對的理由，錯的原因。從而不斷地積累經(jīng)驗，經(jīng)過不斷的練習(xí)，會總結(jié)出自己的處理經(jīng)驗，就是所稱的解題策略，會指導(dǎo)我們今后學(xué)習(xí)。同樣是行得通的思路經(jīng)常是不是唯一。

解題后的回顧為今后學(xué)生們的解題積累經(jīng)驗。 在浩瀚無邊的題海中，學(xué)生是爹爹不休地做題，老師是風(fēng)風(fēng)火火地講題，有時我們甚至把解題回顧看成是浪費時間。 正如古人所說：工欲善其事，必先利其器，解題回顧可稱是磨礪解題武器的過程，別忘了我們的目標(biāo)是學(xué)會解題，而不是解完所有題，解題回顧起到事半功倍的效果。

總之，不管這門課的教學(xué)手段、形式如何，教學(xué)的主旨都是為了學(xué)生能夠更好地學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)不只是本門課程內(nèi)容，更是要學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。所談的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠認(rèn)為是學(xué)生經(jīng)過取得數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗，而引發(fā)的持續(xù)長久行為、能力和傾向變化的過程。要想學(xué)會解題，要想掌握好數(shù)學(xué)分析，是一個綜合能力的培養(yǎng)。 需要注意做的地方很多， 這里我只談了我認(rèn)為重要的且容易忽略的幾點， 希望和讀者能有共鳴。

參考文獻：

[1]劉廣云.數(shù)學(xué)分析選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000.

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001（7）.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識論[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2003.

（責(zé)任編輯：姜海晶）