何威，魏彥京

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引言

電磁發(fā)射器的研究意義極其重大，它將對(duì)一個(gè)國(guó)家的能源、運(yùn)輸、防御和空間規(guī)劃產(chǎn)生重大影響[1]，因此多年來(lái)各國(guó)政府對(duì)此問(wèn)題的研究都極為關(guān)注。自20世紀(jì)80年代以來(lái)，電磁發(fā)射裝置技術(shù)的研究取得了多方面進(jìn)展，應(yīng)用領(lǐng)域日益廣闊。尤其在軍事工業(yè)方面，經(jīng)過(guò)多年的努力，用于電磁軌道炮的科學(xué)技術(shù)取得了相當(dāng)大的進(jìn)展，并已經(jīng)在軍事應(yīng)用中進(jìn)行實(shí)踐探索，充分體現(xiàn)在電磁軌道炮作戰(zhàn)系統(tǒng)的研究。而在達(dá)到武器化和實(shí)用化前，仍需解決一些工程技術(shù)和制造工藝方面的難題[2-4]。其中軌道裝置的強(qiáng)度、剛度設(shè)計(jì)計(jì)算是保證發(fā)射精度的重要因素。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電磁軌道發(fā)射裝置的力場(chǎng)做了大量的理論分析和計(jì)算工作[5]。Tzeng將電磁發(fā)射裝置軌道簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)梁，求解了磁場(chǎng)壓力下軌道炮內(nèi)膛的應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)[6-8]。Johnson等[9]同樣將電磁軌道發(fā)射裝置的軌道簡(jiǎn)化為彈性地基梁，運(yùn)用材料力學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算，初步分析了電磁軌道在電磁壓力作用下應(yīng)力波的傳遞特性。Jin等[10]將電磁炮軌道簡(jiǎn)化為Bernoulli-Euler梁，研究了電磁炮動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件MATLAB進(jìn)行了數(shù)值模擬，Che等[11]同樣基于Bernoulli-Euler梁理論將電磁炮軌道簡(jiǎn)化為單層梁，討論了不同約束及預(yù)應(yīng)力對(duì)軌道振動(dòng)及剛度的影響。Cao等[12]運(yùn)用Winkler梁模型分析了軌道的變形，而Lee等[13]運(yùn)用Timoshenko地基梁分析了軌道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。田振國(guó)等[14]將復(fù)合電磁炮軌道簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)梁，運(yùn)用二維Fourier變換的方法求得了軌道在動(dòng)荷載下的動(dòng)態(tài)位移。

上述關(guān)于方型電磁軌道發(fā)射裝置的研究，主要是建立在單層梁的基礎(chǔ)上，目前已有雙層彈性基礎(chǔ)梁動(dòng)態(tài)研究成果，都停留在將電磁炮軌道簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支型雙層彈性基礎(chǔ)梁[15-16]，而其實(shí)際結(jié)構(gòu)更接近懸臂式雙層彈性基礎(chǔ)梁。因此，為完善電磁發(fā)射裝置理論，找到更加接近實(shí)際工況的理論模型是非常必要的。

本文將方型電磁軌道炮的炮管(見(jiàn)圖1)簡(jiǎn)化為懸臂梁，其內(nèi)部的導(dǎo)軌和壁板簡(jiǎn)化為懸臂梁內(nèi)部的上下彈性基礎(chǔ)梁，求解了上、下梁在電磁力與電樞力共同載荷作用下的解析和數(shù)值解。

圖1 方形電磁軌道發(fā)射裝置簡(jiǎn)圖

1 雙層彈性懸臂梁動(dòng)力學(xué)微分方程式的建立

1.1 雙層彈性懸臂梁的力學(xué)模型及動(dòng)力學(xué)微分方程的建立

發(fā)射導(dǎo)軌和外包層壁板簡(jiǎn)化成Winkler彈性地基上的雙層梁體系，雙層彈性懸臂梁模型如圖2所示。圖2中：Eu、Ed分別為上、下梁的彈性模量；Iu、Id分別為上、下梁的慣性矩；EuIu、EdId分別為上、下梁的抗彎剛度；cu、cd分別為上、下梁的彈性常數(shù)；l為梁長(zhǎng)，le為電樞位置；v為電樞速度。

圖2 雙層懸臂梁力學(xué)模型圖

上、下梁的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

(1)

式中：mu、md分別為上、下梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量，mu=ρuSu,md=ρdSd，ρu、ρd、Su、Sd分別為上、下梁的質(zhì)量密度與截面面積；wu(x)、wd(x)分別為上、下梁的撓度；t為時(shí)間；f(x,t)為集中荷載F(即電樞作用力)和均布荷載q(即作用在軌道上的電磁力)之和，x為集中荷載F的水平位移。

1.2 雙層彈性懸臂梁的動(dòng)力學(xué)方程及其通解表達(dá)式的建立

根據(jù)上、下梁的相互作用關(guān)系，在無(wú)載荷作用的情況下，上、下梁的動(dòng)力學(xué)方程分別為

(2)

cuwu(x)=0.

(3)

由(2)式可得

(4)

(4)式代入(3)式，化簡(jiǎn)后有

(5)

根據(jù)梁的振動(dòng)形式，設(shè)wu(x)、wd(x)的通解形式分別為

(6)

(7)

(6)式代入(5)式，可得

(8)

解偏微分方程(8)式，可得

Xi=C1icos(Mix)+C2isin(Mix)+C3icosh(Mix)+

C4isinh(Mix)+C5icos(Nix)+C6isin(Nix)+

C7icosh(Nix)+C8isinh(Nix)，

(9)

(9)式代入(7)式，得到wd(x)表達(dá)式中的Zi為

Zi=C1iJicos(Mix)+C2iJisin(Mix)+

C3iJicosh(Mix)+C4iJisinh(Mix)+

C5iKicos(Nix)+C6iKisin(Nix)+

C7iKicosh(Nix)+C8iKisinh(Nix)，

(10)

由此可得上、下梁的彎矩分別為

(11)

(12)

上、下梁的轉(zhuǎn)角分別為

C3iMisinh(Mix)+C4iMicosh(Mix)-C5iNisin(Nix)+

(13)

C3iJiMisinh(Mix)+C4iJiMicosh(Mix)-

C5iKiNisin(Nix)+C6iKiNicos(Nix)+

(14)

上、下梁的剪切力

(15)

(16)

系數(shù)C1i～C8i由上、下梁的邊界條件確定，對(duì)照所建立的電磁軌道系統(tǒng)雙層梁分析模型，則在上、下梁一端固定約束、一端自由的條件下，所得到的雙層梁左、右兩端的邊界條件為

(17)

(6)式、(7)式、(13)式、(14)式代入(17)式邊界條件，可解得

(18)

由此可得到關(guān)于上、下梁的模態(tài)函數(shù)為

Xi=-cos(Mix)+cosh(Mix)-

cos(Nix)+cosh(Nix)-

(19)

Zi=-Jicos(Mix)+Jicosh(Mix)-

Kicos(Nix)+Kicosh(Nix)-

(20)

因此wu(x)和wd(x)可以分別表示為

wu(x)=

sin(Mix))-cos(Nix)+cosh(Nix)-ξi(sinh(Nix)-

sin(Nix))](Aisin(Pit)+Bisin(Pit))，

(21)

ζiJi(sinh(Mix)-sin(Mix))-

Kicos(Nix)+Kicosh(Nix)-ξiKi(sinh(Nix)-

sin(Nix))](Aisin(Pit)+Bisin(Pit))，

(22)

1.3 發(fā)射狀態(tài)下載荷的表達(dá)形式

根據(jù)雙層梁模態(tài)函數(shù)的正交性，可將多自由度系統(tǒng)模態(tài)疊加法的思想應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)，即將彈性體的振動(dòng)表示為各階模態(tài)的線性組合，用于計(jì)算系統(tǒng)在激勵(lì)作用下的振動(dòng)規(guī)律，則根據(jù)上、下梁的受載狀態(tài)，其載荷函數(shù)為

(23)

式中：δ(·)為Dirac函數(shù)；H(·)為Heaviside函數(shù)。

由載荷函數(shù)(23)式可知，在電樞運(yùn)動(dòng)下，雙層梁所受載荷可分為兩部分，即集中載荷F作用和分布載荷q作用的線性疊加，因此可以將雙層梁在載荷下的動(dòng)力響應(yīng)表示為這兩種載荷下動(dòng)力響應(yīng)之和，則雙層梁受集中載荷F作用下的載荷函數(shù)為

pF(x,t)=-Fδ(x-vt)，

(24)

雙層梁受均布載荷q作用下的載荷函數(shù)為

pq(x,t)=-qH(vt-x).

(25)

2 集中載荷與均布荷載作用下懸臂式雙層梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

2.1 集中載荷作用下的上梁動(dòng)態(tài)撓曲線方程

根據(jù)(1)式在集中載荷F作用下上梁的動(dòng)力平衡方程為

pF(x,t).

(26)

(1)式中載荷函數(shù)f(x,t)=pF(x,t)=-Fδ(x-vt)，根據(jù)上梁受載下動(dòng)力響應(yīng)函數(shù)的推導(dǎo)，將pF(x,t)代入(21)式，則有

wuF(x,t)=

cos(Nix)+cosh(Nix)-ξi(sinh(Nix)-sin(Nix))]·

(27)

根據(jù)Dirac函數(shù)的性質(zhì)，將pF(x,t)=-Fδ(x-vt)代入(27)式并積分，可得上梁在集中載荷F作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為

wuF(x,t)=

(28)

2.2 集中載荷作用下的下梁動(dòng)態(tài)撓曲線方程

在集中載荷下上梁的振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)wuF(x,t)確定的條件下，根據(jù)(22)式，在受集中力條件下下梁的動(dòng)力響應(yīng)為

[-Jicos(Mix)+Jicosh(Mix)-ζiJi(sinh(Mix)-sin(Mix))-

Kicos(Nix)+Kicosh(Nix)-ξiKi(sinh(Nix)-sin(Nix))]·

Kicos(Nix)+Kicosh(Nix)-ξiKi(sinh(Nix)-sin(Nix))]·

(29)

2.3 集中載荷作用下的上梁彎矩及應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

在已知上梁在集中載荷下動(dòng)態(tài)撓曲線方程的情況下，根據(jù)上梁彎矩MuF(x,t)、σuF(x,t)的數(shù)值表達(dá)式，設(shè)hu為上梁截面高度，可由(28)式直接得到

(30)

(31)

2.4 集中載荷作用下的下梁彎矩及應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

與上梁相類似，已知下梁在集中載荷下動(dòng)態(tài)撓曲線方程的情況下，根據(jù)下梁彎矩MdF(x,t)、σdF(x,t)的數(shù)值表達(dá)式，設(shè)hd為下梁截面高度，可由(29)式直接得到

H2)(T1+T2)，

(32)

H2)(T1+T2)，

(33)

c21+c31+c41)，

d21+d31+d41)，

Im41=-Im31，

In22=-Im12，In31=Im31，

In32=Im32，In41=-Im31，

3 均布載荷作用下的上、下梁動(dòng)態(tài)撓曲線方程

3.1 均布載荷作用下的上梁動(dòng)態(tài)撓曲線方程

根據(jù)(1)式在均布載荷q作用下上梁的動(dòng)力平衡方程為

wd(x))=pq(x,t)，

(34)

即(1)式中均布函數(shù)f(x,t)=pq(x,t)=-qH(vt-x)，pq(x,t)代入(34)式，則有

wuq(x,t)=

cos(Nix)+cosh(Nix)-ξi(sinh(Nix)-sin(Nix))]·

(35)

根據(jù)Heaviside函數(shù)的性質(zhì)，將pq(x,t)=-qH(vt-x)代入(35)式并積分，可得上梁在均布載荷q作用下的動(dòng)力響應(yīng)為

(36)

3.2 均布載荷作用下的下梁動(dòng)態(tài)撓曲線方程

均布載荷下的上梁振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)wuq(x,t)確定的條件下，根據(jù)對(duì)受載條件下的下梁動(dòng)力響應(yīng)函數(shù)的推導(dǎo)，在受均布載荷條件下，下梁的動(dòng)力響應(yīng)為

[-Jicos(Mix)+Jicosh(Mix)-ζiJi(sinhMix-sin(Mix))-

Kicos(Nix)+Kicosh(Nix)-ξiKi(sinh(Nix)-sin(Nix))]·

Kicos(Nix)+Kicosh(Nix)-ξiKi(sinh(Nix)-sin(Nix))]·

(37)

將推導(dǎo)的上梁在均布載荷下的振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)(36)式代入(37)式并化簡(jiǎn)，可得到下梁在均布載荷q下的動(dòng)力響應(yīng)為

(38)

4 均布載荷作用下的上、下梁彎矩及應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

4.1 均布荷載作用下的上梁彎矩及應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

在已知上梁在均布載荷下動(dòng)態(tài)撓曲線方程的情況下，根據(jù)上梁彎矩Muq(x,t)、σuq(x,t)的數(shù)值表達(dá)式，可由(36)式直接得到

(39)

(40)

4.2 均布荷載作用下的下梁彎矩及應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

在已知下梁在均布載荷下動(dòng)態(tài)撓曲線方程的情況下，根據(jù)下梁彎矩Mdq(x,t)、σdq(x,t)的數(shù)值表達(dá)式，可由(38)式直接得到

H2)(T1+T2)，

(41)

H2)(T1+T2).

(42)

4.3 綜合載荷作用下的懸臂式雙層梁的彎矩及應(yīng)力響應(yīng)

與雙層梁的撓曲線方程相類似，對(duì)于雙層梁的彎矩及應(yīng)力響應(yīng)，其也同樣具有可加性，則在綜合載荷下的上、下梁彎矩及應(yīng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分別為

Mu(x,t)=MuF(x,t)+Muq(x,t)，

(43)

Md(x,t)=MdF(x,t)+Mdq(x,t)，

(44)

σu(x,t)=σuF(x,t)+σuq(x,t)，

(45)

σd(x,t)=σdF(x,t)+σdq(x,t)，

(46)

式中：MuF(x,t)、MdF(x,t)分別為在集中載荷下的上、下梁彎矩響應(yīng)；Muq(x,t)、Mdq(x,t)分別為在均布載荷下的上、下梁彎矩響應(yīng)；σuF(x,t)、σdF(x,t)為在集中載荷下的上、下梁應(yīng)力響應(yīng)；σuq(x,t)、σdq(x,t)為在均布載荷下的上、下梁應(yīng)力響應(yīng)。

5 綜合載荷作用下的懸臂式雙層梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)算例分析

5.1 參數(shù)的確定

電磁發(fā)射導(dǎo)軌的雙層梁在綜合載荷下的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，截面尺寸如圖3所示。其中梁的長(zhǎng)度l=3 000 mm，上梁的截面尺寸Hu=45 mm，hu=15 mm，下梁的截面尺寸Hd=75 mm，hd=30 mm.上梁材料為銅，其彈性模量Eu=110 GPa，密度為8 290 kg/m3；下梁材料為尼龍，其彈性模量Ed=28.3 GPa，密度為980 kg/m3;上梁和下梁之間的彈性常數(shù)cu=3 MPa，下梁和下層壁板之間的彈性常數(shù)cd=6 MPa；上梁承受的均布荷載q=300 N/m，集中荷載F=10 000 N；電樞速度為v=1 000 m/s.

圖3 電磁軌道發(fā)射裝置橫斷面尺寸圖

5.2 計(jì)算結(jié)果與分析

圖4、圖5給出了在le=0.5 m綜合載荷作用情況下，上梁的彎矩以及應(yīng)力解析解與有限元分析軟件ANSYS數(shù)值分析結(jié)果的對(duì)比。在圖4中，彎矩?cái)?shù)值解最大值573.6 N·m，解析解最大值601.1 N·m，相對(duì)誤差為4.8%.在圖5中，應(yīng)力數(shù)值解最大值339.6 MPa，解析解最大值356.2 MPa，相對(duì)誤差為4.9%.圖6、圖7給出了全程上梁彎矩以及應(yīng)力隨時(shí)間和位置的變化。

圖4 上梁彎矩分布解析解與數(shù)值解的對(duì)比

圖5 上梁應(yīng)力分布解析解與數(shù)值解的對(duì)比

圖6 上梁彎矩隨時(shí)間和位置的變化曲面

圖7 上梁應(yīng)力隨時(shí)間和位置的變化曲面

圖8 下梁彎矩分布解析解與數(shù)值解的對(duì)比

圖9 下梁應(yīng)力分布解析解與數(shù)值解的對(duì)比

圖10 下梁彎矩隨時(shí)間和位置的變化曲面

圖8、圖9給出了在le=0.5 m綜合載荷作用情況下，下梁的彎矩以及應(yīng)力的數(shù)值解與解析解。在圖8中，彎矩?cái)?shù)值解最大值80.4 N·m，解析解最大值83.6 N·m，相對(duì)誤差為4.0%.圖9給出的應(yīng)力數(shù)值解最大值6.998 MPa，解析解最大值7.262 MPa，相對(duì)誤差為5.3%.圖10、圖11給出了全程下梁彎矩以及應(yīng)力隨時(shí)間和位置的變化。

圖11 下梁應(yīng)力隨時(shí)間和位置的變化曲面

由圖4、圖5、圖8、圖9可以看出，數(shù)值解與解析解的最大值比較接近，且都發(fā)生在0～0.5 m范圍之內(nèi)，而后解析解出現(xiàn)了波動(dòng)，是由于在雙層彈性梁模型的解析解求解時(shí)未考慮層間阻尼造成的。同時(shí)，對(duì)比上、下梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)值，上梁的響應(yīng)值明顯高于下梁的，表明電磁軌道比外層壁板受移動(dòng)荷載影響要大。通過(guò)圖4、圖5、圖8和圖9中兩種解法結(jié)果的對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)解析解與數(shù)值解吻合得比較好。

6 結(jié)論

本文建立了方型電磁發(fā)射裝置的雙層彈性基礎(chǔ)懸臂梁模型，分別采用Heaviside函數(shù)和Dirac函數(shù)建立導(dǎo)軌及壁板的動(dòng)力學(xué)微分方程，用解析法求解其在工作狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并使用數(shù)值法求解與之進(jìn)行比較。得到以下結(jié)論：

1)雙層彈性懸臂梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析解與數(shù)值解存在一定的差異，但結(jié)果總體較為吻合，解析解的可靠性在一定程度上通過(guò)其與數(shù)值解的對(duì)比得到了驗(yàn)證。

2)對(duì)于雙層懸臂梁模型的電磁炮，軌道動(dòng)態(tài)響應(yīng)比外壁板的響應(yīng)大，而且峰值基本位于0～0.5 m之內(nèi)，在進(jìn)行電磁炮設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)注意軌道及其固定端的加強(qiáng)。

3)本文建立的雙層彈性懸臂梁模型及導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析解，能夠幫助完善電磁軌道發(fā)射裝置的理論研究，并可供相關(guān)領(lǐng)域的工程設(shè)計(jì)計(jì)算參考。