反結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)及其電路設(shè)計

2020-02-18 10:12顏閩秀

沈陽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2020年1期

顏閩秀, 徐輝

(沈陽化工大學(xué) a. 信息工程學(xué)院,b. 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點實驗室, 遼寧沈陽 110142)

Lorenz系統(tǒng)[1]是于1963年首次被提出的混沌系統(tǒng), Lorenz系統(tǒng)的提出, 翻開了混沌領(lǐng)域研究的篇章, 促進(jìn)了混沌理論的發(fā)展和應(yīng)用. 之后, 不同類型的混沌系統(tǒng)不斷地被發(fā)現(xiàn), 如Chen系統(tǒng)、 Lü系統(tǒng)、 Liu系統(tǒng)等[2-5], 而超混沌、分?jǐn)?shù)階、高維、多翼混沌也相繼被提出[6-8]. 在1983年, 蔡少棠提出了雙渦卷電路且首次搭建非線性電路將其實現(xiàn), 使其雙渦卷電路模型成為研究混沌電路的經(jīng)典模型. 因模擬電路能夠有效地檢測連續(xù)混沌系統(tǒng)的混沌特性, 所以被廣泛應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的驗證. 國內(nèi)學(xué)者[9-12]對混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計進(jìn)行了深入研究, 并且詳細(xì)闡述了混沌電路原理. 為了更深入地探索混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用, 豐富混沌系統(tǒng)數(shù)量, 尋找新的混沌系統(tǒng)十分必要.

本文提出了4個新型四維混沌系統(tǒng),它們互為反結(jié)構(gòu).關(guān)于反結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng),劉崇新首次于文獻(xiàn)[13]中提到Liu系統(tǒng)[4]的反結(jié)構(gòu)系統(tǒng),并對其動力學(xué)特性進(jìn)行了深入分析.

1 反結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模型及其一般特性分析

1.1 反結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總模型

本文提出的4個互為反結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)總模型為式(1), 且每個系統(tǒng)均只含有一個非線性項.

(1)

式中,系統(tǒng)固定的參數(shù)a=4,b=5,c=10,f1,f2為系統(tǒng)的反結(jié)構(gòu)參數(shù).式(1)的4個互為反結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)為A、B、C、D.

A模型:f1=-1,f2=-1;

B模型:f1=1,f2=-1;

C模型:f1=1,f2=1;

D模型:f1=-1,f2=1.

給定初始值(1,1,1,1),繪制系統(tǒng)A、B、C、D的吸引子,如圖1所示.可以看出系統(tǒng)B,C,D吸引子形狀基本與系統(tǒng)A一致,但由于反結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化,使得吸引子的位置方向發(fā)生上下左右偏置.

1.2 系統(tǒng)的耗散性及其吸引子的存在性

從式(1)可以看出系統(tǒng)的耗散性與反結(jié)構(gòu)參數(shù)f1,f2無關(guān),所以互為反結(jié)構(gòu)的4個系統(tǒng)A、B、C、D的耗散性一致.

(3)

式(3)表明當(dāng)t趨向于無窮時,包含系統(tǒng)軌跡的每個體積元均以指數(shù)1+a+1+1 收縮到零,這說明了系統(tǒng)A、B、C、D吸引子的存在性.

圖1 系統(tǒng)A、B、C、D的吸引子Fig.1 Attractors of system A, B, C and D

1.3系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)和維數(shù)

通過計算機(jī)分別求得系統(tǒng)A、B、C、D的李雅普諾夫指數(shù)λL1,λL2,λL3,λL4,根據(jù)式(4)求得系統(tǒng)A、B、C、D的李雅普諾夫維數(shù)DL.

(4)

式中:i=1,2,3,4;j為滿足式(5)的最大整數(shù).

(5)

數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 系統(tǒng)A、B、C、D的李雅普諾夫指數(shù)和維數(shù)Table 1 Lyapunov index and dimension of systems A, B, C and D

由表1能夠看出, 系統(tǒng)A～D的李雅普諾夫指數(shù)λL均趨近于0, 所以4個系統(tǒng)均只有一個正的李雅普諾夫指數(shù), 又因它們的李雅普諾夫維數(shù)是分?jǐn)?shù), 故判斷出系統(tǒng)A、 B、 C、 D均為混沌系統(tǒng).

1.4 系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性

計算出A、B、C、D的平衡點,并對在平衡點處線性化得到的Jacobian矩陣求取特征值,判斷平衡點的穩(wěn)定性.將所求的平衡點、特征值及判斷出的穩(wěn)定性繪制成表2.

表2 系統(tǒng)A、B、C、D的平衡點及其穩(wěn)定性Table 2 Equilibrium point and its stability of systems A, B, C and D

由表2可知,混沌系統(tǒng)A、B、C、D都有2個平衡點,且都是不穩(wěn)定的鞍點.

1.5 系統(tǒng)的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜

下面以混沌系統(tǒng)A為例,分析其分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜.

固定參數(shù)b、c,令a∈[4,6],系統(tǒng)關(guān)于a的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜如圖2、圖3所示.

圖2 系統(tǒng)A關(guān)于a的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system A on a

當(dāng)最大李雅普洛夫指數(shù)大于零時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),會形成分岔圖中的混沌區(qū)域.

從圖2、圖3中可以看出在區(qū)間[4.0,4.5]上時,系統(tǒng)最大的李雅普諾夫指數(shù)大于0,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)a在區(qū)間(4.50,4.55]上時,最大的李雅普諾夫指數(shù)小于或等于0,系統(tǒng)處于周期狀態(tài),分岔圖中出現(xiàn)部分空白區(qū)域.當(dāng)a在區(qū)間(4.55,4.67]上時,最大的李雅普諾夫指數(shù)大于0,系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài),分岔圖中出現(xiàn)由密集點構(gòu)成的混沌區(qū)域.當(dāng)a在區(qū)間(4.67,6.00]上時,最大的李雅普諾夫指數(shù)等于0,系統(tǒng)處于周期狀態(tài),分岔圖中僅有部分點構(gòu)成的曲線.

當(dāng)固定參數(shù)a、c, 令b∈[0,5], 系統(tǒng)的分岔圖如圖4所示, 李雅普諾夫指數(shù)譜圖如圖5所示.

圖4 系統(tǒng)A關(guān)于b的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system A on b

由圖4、圖5可以看出, 在區(qū)間[0,2.9]時, 系統(tǒng)處于周期狀態(tài).在區(qū)間(2.9,3.7]上時, 系統(tǒng)由周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài), 分岔圖在這區(qū)間上出現(xiàn)由密集點構(gòu)成的區(qū)域. 在區(qū)間(3.7,3.8]上時, 最大的李雅普諾夫指數(shù)等于0, 系統(tǒng)處于周期狀態(tài), 導(dǎo)致分岔圖中的分岔. 在區(qū)間(3.8,5.0]上時, 最大的李雅普諾夫指數(shù)大于0, 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

當(dāng)固定參數(shù)a、b,令c∈[0,10],也可以看出系統(tǒng)隨參數(shù)變化時所具有的豐富混沌特性,這里不再贅述.