馬紅文

摘? 要：山區(qū)地圖變比例尺不僅能夠精確做好山區(qū)地圖的制圖區(qū)域，且能根據(jù)具體的需要選擇制定不同的比例尺。本文主要基于山區(qū)地圖的變比例尺投影的原理及方法，通過理論分析與其具體應(yīng)用探究，力求更好地指導(dǎo)今后的工作實(shí)踐，本文在分析山地城市地圖集變比例尺設(shè)計(jì)必要性的基礎(chǔ)上，探討了地圖投影的基本內(nèi)容，變比例尺地圖投影的原理與方法及變比例尺投影地圖的制作等一系列內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：山地城市? 變比例尺? 地圖投影? 地圖制作

中圖分類號：P282.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）09（c）-0134-03

Abstract： The variable scale of mountain map can not only make the mapping area of mountain map accurately， but also make different scales according to the specific needs. This paper is mainly based on the principle and method of variable scale projection of mountain map， through theoretical analysis and specific application exploration， to better guide the future work practice. Based on the analysis of the necessity of variable scale design of Mountain City Atlas， the basic content of map projection， the principle and method of variable scale map projection and the making of variable scale map projection are discussed.

Key Words： Mountain city; Variable scale; Map projection; Map making

普通山區(qū)地圖中，地圖投影變形都要盡量保證小而均勻，以確保視覺認(rèn)知正確、原理符合要求。但對于山地等具體區(qū)域?qū)ｎ}來講，往往需要對其區(qū)域進(jìn)行詳細(xì)的表述，利用信息具體承載量達(dá)到增強(qiáng)本區(qū)域的地圖詳細(xì)功能，以實(shí)現(xiàn)山地地形具體的測量目標(biāo)。然而將山地比例尺圖面進(jìn)行適當(dāng)壓縮，以按照不同的部分使用不同的比例尺，通過變比例尺地圖投影進(jìn)行相關(guān)處理。

1? 山區(qū)地圖集變比例尺設(shè)計(jì)必要性研究

影響地圖繪圖中比例尺選擇的主要因素包括：地圖的用途、地圖區(qū)域的重要性、地圖比例尺的選擇、地圖區(qū)域的大小、圖紙規(guī)格和地圖所需的精度。以上是地圖比例尺的一般布局，要考慮的因素以及山區(qū)城市地圖集的比例設(shè)計(jì)應(yīng)基于地圖區(qū)域的地理特征、設(shè)計(jì)的兩個(gè)方面格式的大小。設(shè)計(jì)圖集比例有幾種方案：

（1）采用統(tǒng)一的比例尺：根據(jù)山區(qū)城市空間結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，如果采用統(tǒng)一的比例尺，則地圖要素之間的差異很大;在基本確定打印紙的格式和數(shù)量的前提下，直接后果是：成本增加，地圖集成產(chǎn)品太厚，使用不便。在確定地圖集（針對政府機(jī)構(gòu)和企業(yè)家，以協(xié)助宏觀決策）的目的的前提下，如果采用較小的統(tǒng)一比例，則無法詳細(xì)反映城市風(fēng)格。因此，采用統(tǒng)一的規(guī)模方案是不可行的。

（2）采用系列比例尺：被初步確定為三級系列比例尺模式。在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，如果采用該方案，仍然不能反映繪圖區(qū)域之間的功能差異，尤其是組團(tuán)內(nèi)和組之間。

（3）使用可變比例尺：根據(jù)前兩個(gè)方案的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以考慮可變比例尺形式。例如，大多數(shù)地圖比例尺都控制在1：8000～1：15000之間，而單個(gè)地圖比例尺則小于1：20，000，這種比例尺的優(yōu)勢在于，根據(jù)空間結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)在山區(qū)城市中，結(jié)合節(jié)點(diǎn)和結(jié)節(jié)區(qū)域級別，可以使用適當(dāng)?shù)谋壤哒_地描述每個(gè)區(qū)域，同時(shí)節(jié)省地圖數(shù)量并有效地使用設(shè)計(jì)。

2? 關(guān)于地圖投影

地理信息系統(tǒng)按其范圍的大小可以分全球的、區(qū)域的和局部的3種。區(qū)域愈小，則對數(shù)據(jù)的描述愈詳細(xì)，表示空間數(shù)據(jù)的比例尺也較大。為了滿足GIS對地表、空中和地下的若干要素空間分布和相互關(guān)系的研究，地理信息系統(tǒng)必須具備公共的地理基礎(chǔ)，即所有的地理要素要按經(jīng)緯度或者特定的坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行嚴(yán)格的空間定位，才能使具有時(shí)序性、多維性、區(qū)域性特征的空間要素進(jìn)行復(fù)合和分解，將隱含其中的信息可視化表達(dá)，形成空間和時(shí)間上連續(xù)分布的綜合信息基礎(chǔ)，支持空間問題的處理與決策。公共的地理基礎(chǔ)要求有統(tǒng)一的地圖投影系統(tǒng)。

2.1 地圖投影的類型

可展的幾何面可以是平面、圓柱面或圓錐面，因而有平面投影、圓柱投影和圓錐投影。按幾何面與地球的相對位置，可分成正軸、橫軸和斜軸。按相切或相割關(guān)系，可分為切投影和割投影。由于可展的幾何面畢竟太少，于是人們設(shè)計(jì)出完全拋開幾何面、純粹利用數(shù)學(xué)函數(shù)確定曲面與平面之間對應(yīng)關(guān)系的地圖投影，謂之非幾何投影。投影的主要類型如圖1所示。

（1）幾何投影。

幾何投影是通過將橢球面上的經(jīng)緯度網(wǎng)絡(luò)投影到幾何面上，然后在平面上擴(kuò)展幾何面而獲得的。根據(jù)幾何表面的形狀，可以將其分為方位角投影，圓柱投影和圓錐形投影。在幾何投影中，正軸投影的緯度和經(jīng)度線的形狀相對簡單，稱為標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格。正軸的定向投影，緯線是同心圓的半徑，經(jīng)線之間的角度等于相應(yīng)的經(jīng)度差。在正軸上的圓柱投影，緯度是一組平行的直線，經(jīng)度垂直于緯度，另一組平行的直線具有相等的間隔。正軸上的圓錐投影，柵格線是同心弧，子午線是中心弧的半徑，子午線之間的角度與相應(yīng)的子午差成正比。

（2）非幾何投影。

這種類型的投影使用數(shù)學(xué)分析來基于某些條件確定球體和平面之間的點(diǎn)對點(diǎn)功能關(guān)系。根據(jù)投影形狀和對應(yīng)的幾何緯度的相似性，將非幾何投影分為以下幾類：偽方位角投影，偽圓柱狀投影，偽圓錐形投影和多圓錐形投影。其中，前三種投影的形狀與對應(yīng)的幾何投影相同，除中央子午線以外，其他子午線均為直線，其他子午線與中央子午線對稱。多圓錐投影基于在投影上添加更多切線（標(biāo)準(zhǔn)緯度）的想法。緯度是一個(gè)同軸圓弧，圓心在中央子午線上。除了中央子午線是一條直線外，其他子午線都是對稱的。中央子午線的曲線是經(jīng)度和緯度的非幾何投影形式。

2.2 地圖投影的變形

地圖不是將地球表面縮小相同比例的乘積，而是球體上的物體的圖片通過地圖的投影縮小到平面，因此地圖的投影必須變形。這種變形破壞了地面上物體的幾何特征，例如長度，方向和面積。

在方位角投影中，投影平面與地球相切的點(diǎn)不會(huì)變形，并且從該點(diǎn)到任意點(diǎn)的方位角都不會(huì)變形（因此稱為方位角投影）。離切點(diǎn)越遠(yuǎn)，變形越大。等高線同心分布。在切線圓柱（圓錐）投影中，切線是沒有變形的線，離切線越遠(yuǎn)，變形越大。在切割圓柱（圓錐）投影中，兩條切割線是沒有變形的線，稱為標(biāo)準(zhǔn)緯度線，距離這兩條線越遠(yuǎn)，兩條切割線之間的變形越大，并且負(fù)切割變形越大，兩條割線之外線條，變形為正。在切線圓柱投影中，切線是沒有變形的線。離線越遠(yuǎn)，變形越大。在切錐投影中，兩條切線是沒有變形的線，稱為標(biāo)準(zhǔn)緯度線，距離兩條線越遠(yuǎn)，變形越大，兩條切線之間的負(fù)變形，兩條切線外的線是正變形。

3? 變比例尺地圖投影的原理與方法

變比例尺地圖投影通常是從比例尺一致的一般平面資料圖出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q方法，使比例尺發(fā)生變化——在某些地方變大，而其他地方相應(yīng)地縮小或不變。因此，變比例尺地圖投影可以視為由資料圖平面到變比例尺平面的投影變換。常見的有以下兩種常用變比例尺地圖投影變換方法。

3.1 通過引入過渡球面的方法得到變比例尺投影

即將原始資料圖視為平面，將其逆投影到一個(gè)過渡球面上（坐標(biāo)原點(diǎn)在過渡球面上的逆投影作為球面極坐標(biāo)系的極點(diǎn)），再從過渡球面正投影到平面上，得到不同于原資料圖的圖形。逆、正投影中過渡球的大小影響變比例尺投影圖形變化的程度。過渡球越大比例尺變化越小，反之越大。在實(shí)際使用中，當(dāng)逆、正投影后結(jié)果比例尺變化不夠顯著時(shí)，可以以相同的方法作多次變換，從而擴(kuò)大比例尺的變化程度。下面給出其數(shù)學(xué)描述。

假設(shè)平面圖（資料圖）上的坐標(biāo)表達(dá)式為。變比例尺地圖平面上的坐標(biāo)表達(dá)式為。設(shè)法消去，即可得到與的關(guān)系式，從而實(shí)現(xiàn)兩個(gè)投影之間的變比例尺地圖投影變換。

3.2 通過指定特定點(diǎn)比例尺的方法得到變比例尺投影

主要通過預(yù)先指定焦點(diǎn)（投影中心）及周圍某點(diǎn)比例尺的大小，通過任意點(diǎn)比例尺與其到焦點(diǎn)的距離成函數(shù)關(guān)系這一條件而實(shí)現(xiàn)投影變換。在函數(shù)關(guān)系中可以實(shí)現(xiàn)比例尺放大程度控制和放大區(qū)域范圍的控制。從實(shí)際需要出發(fā)可以有單焦點(diǎn)投影變換、雙焦點(diǎn)投影變換和多焦點(diǎn)投影變換，因此，這是一種較為靈活、實(shí)用的變比例尺投影變換方案。以下僅以單焦點(diǎn)為例子加以說明。

當(dāng)A為定值時(shí)，S與C成反比（C值起控制放大區(qū)域范圍大小的作用）。

4? 變比例尺投影地圖的制作

制約變比例尺地圖投影進(jìn)一步推廣應(yīng)用的因素是存在的，主要是在傳統(tǒng)條件下存在的制作上的困難和前面提到的精度及量算上的困難等。因此要使這種地圖投影得到更廣泛的應(yīng)用，必須針對其存在的問題尋找在GIS或數(shù)字地圖制圖技術(shù)條件下的有效解決方法。

將底圖資料數(shù)字化（或直接從已有的數(shù)據(jù)庫中提取底圖數(shù)字化資料）后，按照變比例尺投影模型，通過相應(yīng)的計(jì)算程序（軟件模塊），逐一將底圖所有要素及要表示的專題要素轉(zhuǎn)換成所要求的圖上坐標(biāo)，并經(jīng)有關(guān)模塊實(shí)現(xiàn)符號化處理、硬軟拷貝輸出后即可得到所需的變比例尺地圖投影地圖。

5? 變比例尺投影技術(shù)在GIS中的應(yīng)用

盡管使用計(jì)算機(jī)地圖制圖技術(shù)在紙上制作可變比例（紙制）投影地圖相對容易，但上述測量地圖的困難仍然存在，并影響了其推廣和使用，該問題只能通過計(jì)算機(jī)軟件解決。實(shí)際上，在GIS或電子地圖系統(tǒng)中，解決精確測量的問題相對容易。由于已知可變比例投影模型，因此屏幕上顯示每個(gè)元素的定位點(diǎn)（點(diǎn)鏈）的緯度和經(jīng)度坐標(biāo)，或者在屏幕上顯示每個(gè)點(diǎn)的緯度和經(jīng)度坐標(biāo)。大地測量知識告訴我們，對于選定的參考橢球，當(dāng)已知兩點(diǎn)的經(jīng)度和緯度坐標(biāo)時(shí)，可以通過模型準(zhǔn)確地獲得大地測量線的長度以及正和負(fù)方位角。在此基礎(chǔ)上，通過累加兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的地線長度，可以準(zhǔn)確地獲得任何線要素的長度。對于面積圖元素，只要解析了形成其邊緣的節(jié)點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)，就可以根據(jù)相關(guān)模型精確計(jì)算地球橢球上的面積。還可以參考長度和面積測量方法來設(shè)計(jì)其他地圖測量功能。

從以上分析可以看出，在GIS中可以完全解決影響可變比例尺地圖投影應(yīng)用的所有問題，并且可以充分發(fā)揮其優(yōu)勢。

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