劉巖松, 王宗彥, 石瑞敏, 李 松

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 山西省起重機(jī)數(shù)字化設(shè)計(jì)工程技術(shù)研究中心,太原 030051)

雙擺橋式起重機(jī)(簡稱雙擺橋起)的擺動包括吊具繞大小車的一級擺動與負(fù)載繞吊具的二級擺動[1]。出于對工藝要求與安全要求的雙重考慮,不僅需要大小車的快速運(yùn)行來提高工作效率,也需要較小的搖擺角度來進(jìn)行安全生產(chǎn)。2013年國家能源局修訂了新版本的NB/T 20234—2013 規(guī)范,對核電廠用起重機(jī)的吊具搖擺角度和不同場合的各種核電起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)的定位精度與速度偏差均做了詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定[2]。為了能夠使防搖控制達(dá)到最佳的效果,中外各個領(lǐng)域的專家與學(xué)者都從不同角度出發(fā),為起重機(jī)制定了不同防搖擺策略。

Blajer等[3]把大小車的運(yùn)行與負(fù)載的擺動分開考慮,搭建了兩個獨(dú)立的系統(tǒng)進(jìn)行研究,然后引入比例-積分-微分環(huán)節(jié),成功解決了起重機(jī)負(fù)載搖擺的問題；Singhose等[4]首次將輸入整形的控制方法運(yùn)用到橋機(jī)的防搖擺上,通過對運(yùn)行過程中的繩長進(jìn)行變化,最終達(dá)到消擺的目的； Toxqui等[5]利用模糊控制PID算法對塔機(jī)負(fù)載防擺問題進(jìn)行研究,既減小吊具的擺動幅度又能降低風(fēng)力、摩擦力等外界不可控因素對性能的影響；耿沖等[6]運(yùn)用迭代學(xué)習(xí)理論對雙擺橋起的位置和速度進(jìn)行雙重控制,通過迭代學(xué)習(xí)最終能夠按照期望的軌跡與速度進(jìn)行運(yùn)動；彭海軍等[7]提出了一種動力學(xué)模型自變量區(qū)間不確定的研究方法,用代理模型對原軌跡規(guī)劃問題進(jìn)行代替,取得了令人滿意的控制效果。雖眾多學(xué)者都對相關(guān)控制方法進(jìn)行了研究,并且由于吊具或負(fù)載的質(zhì)量或者體積較大,在研究過程中不能簡單地看作質(zhì)點(diǎn)處理,這使得目前已知方法對起重機(jī)進(jìn)行消擺的效果不是很理想。

針對上述問題,建立雙擺橋起的動力學(xué)模型和最優(yōu)控制模型,并把原最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為基于時間最優(yōu)控制的高斯偽譜形式實(shí)現(xiàn)對雙擺橋起的消擺策略分析。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提消擺策略的準(zhǔn)確有效性和優(yōu)越性。

1 雙擺橋起模型的建立

1.1 動力學(xué)模型

雙擺橋起工作過程中,吊具與負(fù)載的擺動若超過允許安全極限不僅會降低工作效率,還產(chǎn)生安全隱患。中國國家規(guī)定在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)使吊車系統(tǒng)的兩級擺動θ1max、θ2max保持在4°以內(nèi),根據(jù)圖1的雙擺橋起二維模型,利用拉格朗日方程法建立其在運(yùn)行過程中的動力學(xué)方程,并運(yùn)用極小值原理對系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)方程進(jìn)行簡化,模型參數(shù)見表1。

(1)

圖1 二維簡化模型Fig.1 The simplified two-dimensional model

參數(shù)物理意義參數(shù)物理意義m1/kg大車質(zhì)量l·2/(m·s-1)負(fù)載起升速度m2/kg小車質(zhì)量θ··1/(rad·s-2)吊具擺角加速度m3/kg負(fù)載質(zhì)量θ··2/(rad·s-2)負(fù)載擺角加速度θ·1/(rad·s-1)吊具擺角速度l··1/(m·s-2)吊具起升加速度θ·2/(rad·s-1)負(fù)載擺角速度l··2/(m·s-2)負(fù)載起升加速度l·1/(m·s-1)吊具起升速度X··/(m·s-2)小車加速度

(2)

根據(jù)式(2)選取雙擺橋起系統(tǒng)小車的加速度以及繩索提升或下放的加速度作為可實(shí)時控制的輸入?yún)?shù),對它們進(jìn)行二次積分得到系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)。以 QD 型16 t雙擺橋起為參照建立數(shù)值仿真模型及圖2所示的1∶1三維虛擬樣機(jī)模型,并導(dǎo)入 ADAMS 軟件中,通過 ADAMS 軟件分析,從而最大限度地模擬雙擺橋起真實(shí)的工作情況。

圖2 基于ADAMS軟件的虛擬樣機(jī)模型Fig.2 The virtual prototype model based on ADAMS software

針對雙擺橋起仿真模型在MATLAB / Simulink軟件與 ADAMS 軟件中輸入相同的運(yùn)動曲線,可驗(yàn)證該仿真模型與實(shí)際系統(tǒng)的相似程度。當(dāng)給定二者相同的小車與鋼絲繩加速度,兩個軟件輸出的吊具和負(fù)載的擺動情況見圖3。通過比較對應(yīng)圖中的輸出曲線可知:各對應(yīng)曲線無論幅值還是變化趨勢都基本一樣,因此可以得出結(jié)論：此處建立的雙擺橋起動力學(xué)模型是正確的結(jié)論。

圖3 負(fù)載擺角仿真結(jié)果比較Fig.3 Comparison of simulation results of load swing angle

1.2 最優(yōu)控制模型

在采用高斯偽譜法對雙擺橋起系統(tǒng)的最優(yōu)軌跡進(jìn)行實(shí)時控制前,需按最優(yōu)控制理論建立其最優(yōu)控制模型[8]。

(3)

式(3)中:f(ξ)與b(ξ)為輔助向量與矩陣。

對tf進(jìn)行求解,即可得到基于有限時間內(nèi)雙擺橋起最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解為

minJ=Φ(tf)

ξ(tf)=[xf0lf0 0 0 0 0]

u(0)=[0 0]T,u(tf)=[0 0]T

|x(t)|≤L1,|l(t)|≤L2

(4)

2 基于高斯偽譜法的軌跡規(guī)劃

高斯偽譜法是用勒讓德多項(xiàng)式通過對函數(shù)近似表達(dá)的插值理論對各變量以及約束進(jìn)行表達(dá)[9]。目前該方法已廣泛應(yīng)用于航空航天等“高精尖”領(lǐng)域軌跡規(guī)劃[10]。

針對上述雙擺橋起的時間最優(yōu)控制問題,引用高斯偽譜法把原問題轉(zhuǎn)化為在一系列勒讓德點(diǎn)處進(jìn)行離散的非線性規(guī)劃問題,使控制系統(tǒng)能夠向著快速、精確和穩(wěn)定的方向發(fā)展。與一般求最優(yōu)解策略的不同之處在于高斯偽譜法能夠直截了當(dāng)?shù)脑谠Ｐ蜕线M(jìn)行處理和分析并在有限時間內(nèi)獲得最優(yōu)解。高斯偽譜法的算法的流程具體見圖4。

圖4 高斯偽譜法流程圖Fig.4 The flow chart of Gauss pseudo-spectral method

2.1 時域轉(zhuǎn)換

在研究雙擺橋起防擺的問題時,使用高斯偽譜法對小車與吊具的最優(yōu)運(yùn)動軌跡進(jìn)行求解,需要根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式根的數(shù)值特點(diǎn),把整個系統(tǒng)運(yùn)行過程中時間坐標(biāo)的范圍由[0,tf]映射至[-1,1],時間變量可通過式(5)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

(5)

2.2 全局變量的離散與近似

在(-1,1)的范圍內(nèi)選取前K階勒讓德多項(xiàng)式的根PK作為插值節(jié)點(diǎn)并組成點(diǎn)列{τ1,τ2,…,τk}。將τ0=-1放至點(diǎn)列的第一位,則各個時間點(diǎn)的狀態(tài)變量與控制變量的表現(xiàn)形式為

(6)

在以上K+1個插值節(jié)點(diǎn)處,構(gòu)造出拉格朗日插值多項(xiàng)式進(jìn)行插值,具體可表示為

(7)

(8)

通過式(6)～式(8)可得到的系統(tǒng)狀態(tài)向量和控制向量的離散值,系統(tǒng)狀態(tài)與控制變量的軌跡能表示為

(9)

式(9)中:Y(τ)與U(τ)表示在任意時刻τ時系統(tǒng)的狀態(tài)變量與控制變量的近似值。

2.3 動力學(xué)約束方程的近似

對式(9)中經(jīng)過離散的狀態(tài)向量軌跡進(jìn)行求導(dǎo),可得到系統(tǒng)離散后的動力學(xué)微分方程為

(10)

(11)

根據(jù)式(10)和式(11)以及系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過程中各變量的實(shí)時數(shù)據(jù),可對最優(yōu)控制問題中的動力學(xué)約束方程進(jìn)行離散化與近似化處理，結(jié)果為

(12)

式(12)中：k∈{0,1,…,K}。經(jīng)過調(diào)整后最優(yōu)控制問題中的微分約束即可變化為代數(shù)約束。

2.4 終端約束的高斯偽譜轉(zhuǎn)化

為了將整個問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性規(guī)劃問題,最優(yōu)控制問題在邊界處的約束也需轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)約束,其中系統(tǒng)在起始位置的狀態(tài)可直接由向量ξ(0)表示為

ξ(0)=[0 0L20 0 0 0 0]T

(13)

當(dāng)τ=1時,此時小車與起升系統(tǒng)都位于最終位置,所以τK+1=1。利用高斯求積公式可將系統(tǒng)結(jié)束時刻的邊界條件標(biāo)記為

b[ξ(τk)]u(τk)}

(14)

式(14)中：wk為勒讓德權(quán)值。

2.5 雙擺橋起最優(yōu)控制問題的NLP形式

經(jīng)過以上步驟,最優(yōu)控制問題中的所有約束已轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)約束,原問題也轉(zhuǎn)化為一種具有代數(shù)約束的非線性規(guī)劃問題。

mintf

b[ξ(τk)]u(τk)}=0

ξ(τ0)=[0 0L20 0 0 0 0]

b[ξ(τk)]u(τk)}=ξ(τK+1)

ξ(τK+1)=[xf0lf0 0 0 0 0]

ξ(τ)-γ≤0,-ξ(τ)-γ≤0

u(τ)-ζ≤0,-u(τ)-ζ≤0

(15)

式(15)中:向量γ與向量ζ的具體形式為

(16)

ζ=[a1maxa2max]

(17)

對于上述帶約束非線性規(guī)劃問題采用連續(xù)二次型規(guī)劃方法(SQP)求解[11],可得

ξ(τ0),ξ(τ1),ξ(τ2),…,ξ(τK),ξ(τK+1)

(18)

式(18)為時間最優(yōu)狀態(tài)向量序列,分別對序列中各向量的前四項(xiàng)(小車位移、速度及鋼絲繩長度、起升/下降速度)進(jìn)行拉格朗日插值,進(jìn)一步得出有限時間內(nèi)小車和起升系統(tǒng)的位移與速度軌跡。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證高斯偽譜法計(jì)算得到的軌跡適用性和準(zhǔn)確有效性,對上述計(jì)算的連續(xù)雙擺起重機(jī)動力學(xué)約束、邊界條件以及末段狀態(tài)等相關(guān)參數(shù),使用 GPOPS-II 軟件工具箱與 fuzzy 軟件工具箱對雙擺橋起從起吊—運(yùn)行—放鉤的全過程進(jìn)行仿真計(jì)算,并與現(xiàn)有其他控制防搖擺的方法進(jìn)行對比。

3.1 參數(shù)改變的對比仿真

為得到不同仿真參數(shù)下雙擺模型的搖擺時間以及搖擺情況,需先對雙擺起重機(jī)模型的初始參數(shù)進(jìn)行設(shè)置,初始參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 初始參數(shù)設(shè)置Table 2 The initial parameter settings

3.1.1 不同繩長的對比仿真

在其他數(shù)值相同的情況下,將繩長l1分別設(shè)為0.6、1、2.4 m進(jìn)行對比仿真。不同繩長下,θ1與θ2隨時間變化的結(jié)果見圖5。

圖5 不同繩長時擺角變化的對比Fig.5 Contrast in pendulum angle variation of different rope length

由圖5可知:吊具分別經(jīng)過3、3.6、4.1 s后保持靜止,負(fù)載分別經(jīng)過3.3、3.8、7.8 s保持靜止。雖然隨著鋼絲繩長度的增加,吊具與負(fù)載的擺動時間也逐漸變長,但二者都可在兩個周期內(nèi)保持靜止,該對比分析結(jié)果說明了不同繩長下高斯偽譜法消擺的適用性。

3.1.2 不同負(fù)載質(zhì)量的對比仿真

將繩長負(fù)載質(zhì)量分別設(shè)為0.5、1、1.5 kg進(jìn)行對比仿真。當(dāng)負(fù)載質(zhì)量不同時,擺角θ1與θ2隨時間變化的結(jié)果見圖6。

圖6 不同負(fù)載質(zhì)量時擺角變化對比Fig.6 Contrast in pendulum angle variation with different load mass

由圖6可知:雖然隨著負(fù)載質(zhì)量的增加,負(fù)載與吊具消擺所需要的時間以及兩者最大幅度都將略微增加,但是擺動角度都是在安全極限范圍內(nèi)變化,且消擺時間也都在兩個周期以內(nèi)。證明了所制訂的消擺策略在負(fù)載質(zhì)量不同的情況下,能夠滿足實(shí)際工況下的消擺需求。

3.1.3 不同初始角度的對比仿真

為了考察當(dāng)初始角度不同時,從開始搖擺到最終靜止的時間是否會發(fā)生變化,將初始角度分別設(shè)為5°、10°、20°進(jìn)行對比仿真。當(dāng)初始角度不同時,θ1與θ2隨時間變化的結(jié)果見圖7。

圖7 不同初始角度時擺角擺角變化對比Fig.7 Contrast in pendulum angle variationat different initial angles

由圖7可知:隨著初始角度的增加,消擺所需要的時間雖然也在逐漸增加,但二者均能在能在兩個周期之內(nèi)快速實(shí)現(xiàn)消擺,驗(yàn)證所制訂的高斯偽譜法消擺策略在初始角度不同的情況下均有良好的控制效果。

3.2 與模糊 PID 算法的對比仿真

通過分析可知小車驅(qū)動力與起升系統(tǒng)的拉力是抑制雙擺橋起擺動的關(guān)鍵,通過不斷地改變兩者的大小,實(shí)現(xiàn)對小車的水平位置以及負(fù)載與吊具的垂直位置進(jìn)行控制,以此限制負(fù)載的擺動幅度。但不同的算法實(shí)現(xiàn)該過程的方式卻不盡相同。

為進(jìn)一步驗(yàn)證高斯偽譜法的適用性和優(yōu)越性,在進(jìn)行模擬仿真時,小車將分別使用模糊 PID 算法與高斯偽譜法進(jìn)行控制,并且在系統(tǒng)上進(jìn)行多次仿真以減少數(shù)據(jù)的偶然性。仿真過程中輸入的其他參數(shù)參照表2。

在實(shí)驗(yàn)參數(shù)相同的情況下,當(dāng)用上文提到的兩種方法分別對小車進(jìn)行控制,圖8為小車位移、速度以及加速度的實(shí)時控制曲線,圖9為吊具與負(fù)載角度與角加速度的實(shí)時曲線。

由圖8(a)與圖8(b)可看出:在未超過位移極限與速度極限的前提下,兩種控制方法都能使小車精準(zhǔn)地到達(dá)目標(biāo)位置,但高斯偽譜法曲線更加平緩與穩(wěn)定,使用的時間為4 s左右,模糊 PID 使用的時間為6 s左右。

圖8 小車位移、速度和加速度的實(shí)時控制曲線Fig.8 Real-time control curve of displacement, speed and acceleration of the crane trolley

由圖8(c)可看出:相比于高斯偽譜法,模糊 PID 控制方法下小車的初始加速度超過了所研究的 QD 型雙擺橋起能提供的加速度極限。當(dāng)本方法已經(jīng)使小車保持穩(wěn)定后,模糊 PID 控制方法仍有輕微的殘余震蕩。

圖9 擺角隨時間變化曲線Fig.9 The pendulum curve angle variation with time

由圖9(a)與圖9(b)可看出:采用高斯偽譜法進(jìn)行消擺研究的模型其吊鉤在到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后無殘余震蕩,全程未超過規(guī)定的搖擺極限；而使用模糊 PID 控制方法時吊鉤穩(wěn)定需要7 s左右且最大擺動角度與角速度均超過規(guī)定的搖擺極限。

由圖9(c)與圖9(d)可看出:使用高斯偽譜法進(jìn)行消擺研究的負(fù)載擺動的角度與角速度更加平緩,全程未超過規(guī)定的搖擺極限；而使用模糊 PID 控制方法時負(fù)載最大擺動角度與角速度均超過規(guī)定的搖擺極限,產(chǎn)生了猛烈的殘余震蕩且在20 s的采樣周期內(nèi),負(fù)載未達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)。

綜合分析仿真結(jié)果可知:高斯偽譜法能在雙擺橋起運(yùn)行過程中實(shí)現(xiàn)小車的精準(zhǔn)定位并實(shí)現(xiàn)負(fù)載與吊具的快速消擺,符合理論分析；雖然模糊 PID 控制方法也能對負(fù)載與吊具的擺動起到一定的抑制作用,但與高斯偽譜法相比,個別參數(shù)不僅超過了系統(tǒng)允許的最大值,在控制時間上也不盡如人意,且在小車靜止后吊具與負(fù)載均產(chǎn)生了不同程度的殘余震蕩。在兩種方法控制的過程中,各參數(shù)是否能夠滿足系統(tǒng)的極限要求如表3所示。

高斯偽譜法相比于模糊 PID 控制方法各參數(shù)的性能提升比率如表4所示。

表3 兩種方法極限對比較Table 3 Limit comparison for the two methods

表4 兩種方法性能對比Table 4 Performance comparison of the two methods

4 結(jié)論

綜合考慮系統(tǒng)本身影響因素以及一系列約束條件,建立了雙擺橋起運(yùn)動學(xué)模型和基于時間的最優(yōu)控制模型。采用高斯偽譜法得到基于時間最優(yōu)控制的雙擺橋起高斯偽譜形式。利用GPOPS-Ⅱ軟件包對不同參數(shù)下高斯偽譜法防擺效果進(jìn)行仿真,證明了所用的高斯偽譜法在不同重量負(fù)載、不同繩長以及不同起始角度的情況下,對雙擺模型均有較好的控制作用；將求解結(jié)果與基于模糊 PID 控制算法進(jìn)行比較,證明了高斯偽譜法解決雙擺問題的卓越性,且控制效果明顯優(yōu)于普通算法。