郭龍先，劉 秀

（昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昭通657000）

探索自然界的統(tǒng)一性這一崇高宗旨，始終貫穿于人類進(jìn)步的歷史中。當(dāng)古希臘第一位思想家、數(shù)學(xué)家泰勒斯提出“萬(wàn)物源于水”這一反思世界本原的命題之后，就開啟了人類認(rèn)識(shí)世界統(tǒng)一性的大門。其中由畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)的利用數(shù)學(xué)探索宇宙秩序與規(guī)律的思想，堪稱自然科學(xué)中最富有生命力的成果之一。這一思想方法有著悠遠(yuǎn)的文化背景與學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，回顧科學(xué)史上哲學(xué)、自然科學(xué)家利用數(shù)學(xué)探討世界本原，揭示物質(zhì)實(shí)體與數(shù)學(xué)法則的關(guān)系的種種努力，有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)作為一門橫斷科學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。

1 探索世界的統(tǒng)一性——萬(wàn)物本原的猜測(cè)與追問

在遠(yuǎn)古時(shí)期已有的神話、藝術(shù)和行為準(zhǔn)則的背景下，西方世界最初試圖對(duì)宇宙的產(chǎn)生及其組成等問題，做出自然解釋的是被譽(yù)為科學(xué)之父的古希臘哲學(xué)家泰勒斯。他所提出的“萬(wàn)物源于水”這一命題受到了后世學(xué)者的高度贊譽(yù)。對(duì)該命題在哲學(xué)和科學(xué)史上的重大意義，M·克萊因的評(píng)價(jià)尤其精彩，他說道：

與現(xiàn)代先進(jìn)的科學(xué)理論相比，泰勒斯這種對(duì)自然現(xiàn)象的分析顯得幼稚、淺薄。但是，泰勒斯和他的依奧尼亞學(xué)派的思想與前任思想相比，有一個(gè)很大的進(jìn)步。至少這些人敢于探討宇宙，拒絕借助于神、精靈、鬼魅、邪惡、天使，或其他為具有理性思維的人不能接受的東西。他們唯物的、客觀的解釋，摒棄了神秘的、超自然的因素，而且他們的理性判斷方法，使那些怪誕的、經(jīng)不起推敲的詩(shī)意般的解釋信譽(yù)掃地。深邃的直覺洞察到了宇宙的本質(zhì)，而理性卻保證了這種洞察力。[1]74-75

繼泰勒斯之后的古希臘哲學(xué)家阿那克西美尼則主張“氣本原說”；赫拉克利特倡導(dǎo)“火為萬(wàn)物之原”；恩培多克勒提出火、氣、水、土四元素為萬(wàn)物之本的“四根說”。古希臘哲人對(duì)宇宙人生窮根究底、堅(jiān)持不懈的追問與反思，無(wú)一不是為了揭示自然界復(fù)雜現(xiàn)象和多樣事物背后的統(tǒng)一性本原。瓦托夫斯基指出，這些探索者的最重要的方法論論點(diǎn)是：“事物多樣性是由一個(gè)統(tǒng)一的原理安排的，或者說，是由某種統(tǒng)一的質(zhì)料派生出來(lái)的”。[2]

與上述各派哲學(xué)家尋找某種物質(zhì)元素作為自然本原有所不同，畢達(dá)哥拉斯另辟蹊徑，提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”的主張。據(jù)說其學(xué)派成員的誓詞是：“謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長(zhǎng)流不息的自然的根源包含于其中?！彼麄冋J(rèn)為自然是由點(diǎn)、線、面和體四種幾何元素組成的，因此1、2、3、4 這四個(gè)數(shù)叫“四象”，受到特別的重視。后來(lái)亞里士多德則改為強(qiáng)調(diào)土、氣、火、水四種物質(zhì)元素為萬(wàn)物的始基。文德爾班說：“畢達(dá)哥拉斯對(duì)世界本原的解答，比米利都學(xué)派的解答更抽象，比埃利亞學(xué)派更直觀、更明確，比赫拉克利特更清楚，但比居間派提供的解答更難理解?！彼麄儭盎跓o(wú)限的東西所受到的數(shù)字上的限制，基于從空間中形成形式”，將“數(shù)學(xué)形式當(dāng)作了物理現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)”。[3]67-68

在研究自然的變化與萬(wàn)物的統(tǒng)一性過程中，最終由留基伯和德謨克利特集諸家之大成，創(chuàng)立了“原子論”，達(dá)到了古希臘自然哲學(xué)的頂峰。從此如何將“多”統(tǒng)一成“一”，就成了學(xué)者們追求的遠(yuǎn)大目標(biāo)。文德爾班寫道：

正是這種對(duì)自然界作客觀的思考才使思維初步升華到科學(xué)概念結(jié)構(gòu)的水平。其結(jié)果是，希臘科學(xué)將它的整個(gè)青春的歡樂和旺盛的知識(shí)首先貢獻(xiàn)給了自然界問題?！纬闪嘶靖拍罨蛘咚枷肽Ｊ健3]40

中國(guó)先秦時(shí)期也產(chǎn)生了獨(dú)樹一幟的“陰陽(yáng)五行”、“太極八卦”等關(guān)于萬(wàn)物本原學(xué)說。提出了“天人合一”的思想。中華文明同樣認(rèn)為“上自天文、下及地理，中于人事之得失，于萬(wàn)物之幽深玄遠(yuǎn)、出入潛沒，莫不有數(shù)存焉”。[4]“天人合一”學(xué)說，將天、地、人三者視為一個(gè)統(tǒng)一的整體。由此產(chǎn)生了一種基本觀念，即整個(gè)宇宙存在著一種統(tǒng)一的力量或法則，無(wú)論天上、地下和人間都受其支配。這種宇宙人生的最高主宰在商周時(shí)期曾被認(rèn)為是“天帝”或“上帝”，但到了春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在陰陽(yáng)五行家眼中它就是一種自然法則?！秴问洗呵铩ぶ帧诽岢觯?/p>

凡人物者，陰陽(yáng)之化也。陰陽(yáng)者，造乎天而成者。天固有衰嗛廢伏，有盛盈蚠息；人亦有困窮屈匱，有充實(shí)達(dá)遂；此皆天之容、物理也，而不得不然之?dāng)?shù)也。

《呂氏春秋·貴當(dāng)》又說：“因其固然而然之，此天地之?dāng)?shù)也”。由于數(shù)學(xué)的正確運(yùn)算，結(jié)果都必定是一樣的，因而古人認(rèn)為“天數(shù)”具有控御萬(wàn)物的必然性。荀子曰：“兩貴之不能相事，兩賤之不能相使，是天數(shù)也?！保ā盾髯印ね踔啤罚吨偾铩芬嘣疲骸胺才e事無(wú)逆天數(shù)，必順其時(shí)”。

數(shù)的必然性也被用來(lái)說明社會(huì)人生的各個(gè)方面。如對(duì)棋手而言有：“奕之為數(shù)也”。（《孟子·告子》）百工技藝也需要做到心中有“數(shù)”：“斲輪……有數(shù)存焉于其間。（《莊子·天道》）用于算命則有卜筮之?dāng)?shù)：“賈誼曰……試之卜數(shù)中以觀采”。（《史記·日者列傳》）諸如此類的還有“歷數(shù)”、“地?cái)?shù)”、“命數(shù)”、“禮數(shù)”、“勝數(shù)”等等。

明朝數(shù)學(xué)家程大位總結(jié)說：“凡天宮、地員、律歷、兵賦以及纖悉秒忽，莫不有數(shù)”。即天文歷法、地理、軍事、賦稅和度、量等事物中都存在著數(shù)學(xué)關(guān)系?！叭f(wàn)物皆數(shù)”不僅包含了宇宙的統(tǒng)一性，而且也奠定了數(shù)學(xué)自身的統(tǒng)一性基礎(chǔ)。簡(jiǎn)而言之，從古到今，東、西方哲人所作的種種嘗試和不懈努力都是想要建立一種統(tǒng)一的宇宙理論。

2 自然的奧秘與法則——宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)

雖然東、西方哲人都在探索和思考主宰天地萬(wàn)物的原則，而且建立了各具特色的學(xué)說，但現(xiàn)代科學(xué)的精神卻與希臘哲人的氣質(zhì)更加契合。法國(guó)天文學(xué)家伏古勒爾說：人類的思想方法，驟然改變?yōu)槔硇缘?，因此被叫做“希臘人的奇跡”；文化的演進(jìn)由追求實(shí)際，產(chǎn)生了“工作的人”，到追求理論更產(chǎn)生了“智慧的人”。這種根本改變，原因雖不得而知但結(jié)果卻異常重要，因?yàn)樗坏l(fā)展了天文學(xué)，而且整個(gè)西方文化都從這里產(chǎn)生。[5]總體而言，除古希臘文明及其繼承者外，其他幾個(gè)古老的文明中心都未能孕育出具有現(xiàn)代精神實(shí)質(zhì)的數(shù)理科學(xué)。

古希臘哲人始終秉持宇宙是一個(gè)統(tǒng)一而簡(jiǎn)單的偉大設(shè)計(jì)這一信念。他們堅(jiān)稱人類是通過理性，而不是感官獲得自然知識(shí)的。阿拉克薩哥拉的名言：“理性統(tǒng)治著世界”表達(dá)了這種觀點(diǎn)的精髓。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信萬(wàn)物之間的關(guān)系都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)之比，數(shù)是現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)，是嚴(yán)整性和次序的根據(jù)，萬(wàn)物的實(shí)質(zhì)是仿效著數(shù)做出來(lái)的。世界由造物者按照數(shù)學(xué)法則設(shè)計(jì)這一思想，開啟了人類用數(shù)學(xué)對(duì)天地萬(wàn)物進(jìn)行統(tǒng)一性研究的大門。經(jīng)柏拉圖發(fā)揚(yáng)光大，宇宙是一種幾何結(jié)構(gòu)的觀念兩千年間已成了歐洲天文學(xué)研究的指導(dǎo)原則。

對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派而言，數(shù)學(xué)無(wú)疑具有最明顯的哲學(xué)品質(zhì)，數(shù)學(xué)被賦予了探索真理和證明真理的雙重任務(wù)。亞里士多德在《形而上學(xué)》一書中總結(jié)了該學(xué)派對(duì)數(shù)與世界關(guān)系的認(rèn)識(shí)時(shí)寫道：

他們認(rèn)為，在數(shù)目中觀察到比火、土、水中更多的與存在著和生成著東西的相似之點(diǎn)?！送?，由于他們看到和聲的比例和屬性是在數(shù)目之中，所以就認(rèn)為，其它的那些東西的全部本性也是由數(shù)目塑造出來(lái)的，他們認(rèn)為在整個(gè)自然界中數(shù)目是最初的，數(shù)目的元素也就是所有存在物的元素。整個(gè)的天是和諧的，是數(shù)目。[6]

畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是理解世界的基礎(chǔ)，數(shù)揭示了事物的真正本質(zhì)，物質(zhì)的最終結(jié)構(gòu)或存在就是它的數(shù)學(xué)形式。只要掌握了數(shù)之間的關(guān)系或比例，自然界就是合乎理性的。羅素說：“數(shù)學(xué)，在證明式的演繹推理意義上的數(shù)學(xué)，是從他開始的；……由于他的緣故，數(shù)學(xué)對(duì)于哲學(xué)的影響一直都是既深刻又不幸的。”[7]公元前3世紀(jì)后，希臘數(shù)學(xué)思想一度出現(xiàn)了從哲學(xué)數(shù)學(xué)向科學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的趨勢(shì)。丹皮爾寫道：

哥白尼與刻卜勒雖然仍在數(shù)學(xué)的和諧中尋找最后因，并且在牛頓的時(shí)代以后很久，這個(gè)思路還是存在著，往往以為在每個(gè)現(xiàn)象可以用數(shù)學(xué)方式從量上加以表示以后，這個(gè)現(xiàn)象就算既得到了科學(xué)上的解釋，也得到了哲學(xué)上的解釋了。[8]

從哥白尼、牛頓到愛因斯坦，許多科學(xué)家都在不斷追求事物之間簡(jiǎn)單、有序與和諧的關(guān)系，并努力以精確定量的方式來(lái)建立統(tǒng)一的理論。例如一旦形成了萬(wàn)有引力的概念，宇宙間就沒有牛頓定理不起作用的地方。萬(wàn)有引力定理導(dǎo)致了后來(lái)一系列天文學(xué)上的新發(fā)現(xiàn)。愛因斯坦說：

從那些看來(lái)同直接可見的真理十分不同的各種復(fù)雜的現(xiàn)象中認(rèn)識(shí)到它們的統(tǒng)一性，那是一種壯麗的感覺。[9]

萬(wàn)有引力理論的普遍性達(dá)到了宇宙的邊緣，從蘋果到月亮，從太陽(yáng)到星系，凡有引力參與的一切復(fù)雜現(xiàn)象，無(wú)一不可歸結(jié)到這條簡(jiǎn)潔而令人驚嘆的定理之中。正如李約瑟所言：“主張一個(gè)木球和一個(gè)不知道由什么物質(zhì)組成的星星之間的共同之處，要比一個(gè)球的不同性質(zhì)之間的共同之處要多得多。這種假說必須是數(shù)學(xué)上的假說，這點(diǎn)極其重要?！盵10]

3 天體的音樂——數(shù)量比例與宇宙和諧

算術(shù)、幾何、音樂、天文學(xué)在古希臘被認(rèn)為是超然于塵世的“自由藝術(shù)”，在畢達(dá)哥拉斯學(xué)校里，這四門學(xué)科被列為基本課程，統(tǒng)稱為“四藝”。對(duì)此，弗賴登塔爾說：

mathematics 一詞看來(lái)是一個(gè)復(fù)數(shù)名詞……。的確，在很久以前它確實(shí)表示復(fù)數(shù)……數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂，處于一種比語(yǔ)法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位。[12]

M·克萊因指出：“那些堅(jiān)信數(shù)學(xué)僅僅具有使用價(jià)值的學(xué)者，經(jīng)常自以為是地認(rèn)為，歷史上的數(shù)學(xué)活動(dòng)靠實(shí)際需要的推動(dòng)，不可能存在什么來(lái)自邏輯的推動(dòng)（理論的推動(dòng)）?！诖蠛Ｖ忻院降乃?，絕不會(huì)突然意識(shí)到觀察星星可以解決他的航海問題。”他說：

在天文學(xué)和數(shù)學(xué)用于計(jì)算歷法和航海之前，……那時(shí)的人類受不可抑制的哲學(xué)精神的驅(qū)使，耐心地觀察太陽(yáng)、月亮和星星的運(yùn)行?！K于從他們的觀察中畫出了天體運(yùn)行的圖像。[1]17

中國(guó)天文學(xué)家陳遵媯也認(rèn)為：“至于航海的需要，對(duì)我國(guó)天文學(xué)的發(fā)展，似乎沒起過什么促進(jìn)作用?！盵13]對(duì)于絕大多數(shù)純粹的數(shù)學(xué)家而言，他們工作的最終目標(biāo)在于揭示數(shù)學(xué)世界的奧秘，至于其結(jié)果是否有用以及如何應(yīng)用，似乎并不是他們關(guān)心的主要問題?！逗螢榭茖W(xué)真理》一書的作者寫道：

希臘人稱奧菲士懷著這樣的感情彈奏豎琴，連野獸都會(huì)被他馴服。他們沒有提到他是為了做一名訓(xùn)獅員才獲得這一才能的。[14]

布羅諾夫斯基說：“威力只是認(rèn)識(shí)的副產(chǎn)物?！蓖瑯樱袊?guó)的庖丁其游刃有余的解牛技藝達(dá)到了“依乎天理”的高度，面對(duì)這種由“技”至“道”的境界，沒有人會(huì)認(rèn)為他只是一個(gè)屠戶！

畢達(dá)哥拉斯將天文學(xué)和音樂“歸結(jié)”為數(shù)，他認(rèn)為算術(shù)是研究絕對(duì)的不連續(xù)量；音樂（實(shí)為樂理）研究相對(duì)的不連續(xù)量；幾何研究靜止的不連續(xù)量；天文研究運(yùn)動(dòng)的連續(xù)量。到了中世紀(jì)，算術(shù)、幾何、音樂、天文加上文法、修辭和邏輯，便構(gòu)成了歐洲教育史上著名的“七藝”。無(wú)獨(dú)有偶，中國(guó)也有古代文人“四藝”（棋、琴、書、畫），貴族“四術(shù)”（詩(shī)、書、禮、樂），儒家“六藝”（禮、樂、射、御、書、數(shù)）等教學(xué)內(nèi)容。

羅素認(rèn)為：“數(shù)學(xué)里的‘調(diào)和中項(xiàng)’與‘調(diào)和級(jí)數(shù)’就仍然保持著畢達(dá)哥拉斯為音樂和數(shù)學(xué)之間所建立的那種聯(lián)系?！敝阅馨岩魳窔w結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，是因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了下列兩個(gè)事實(shí)：第一，弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長(zhǎng)度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另一根的兩倍，就會(huì)產(chǎn)生諧音。普希金曾在一首詩(shī)中寫道：

我用代數(shù)

檢驗(yàn)了和諧

我們就相互理解了[15]

古希臘哲學(xué)家不僅“聲言隱藏在自然界不斷變化的萬(wàn)象之下的真實(shí)性是可用數(shù)學(xué)來(lái)表示的，而且認(rèn)為這個(gè)世界上所發(fā)生的一切是由數(shù)學(xué)規(guī)律嚴(yán)格確定了的?！盵16]萊布尼茲在1712年致霍爾巴赫的信中說：音樂是不知道自己在演算自己的思維的算術(shù)練習(xí)。詹姆斯寫道：

對(duì)于柏拉圖、西塞羅和經(jīng)院哲學(xué)學(xué)者們來(lái)說，天體的音樂相當(dāng)真實(shí)（即使我們知道沒有人聽到過它），但是，它僅包含音階。我們知道，和諧的古典概念是連續(xù)的；和諧被人們理解為兩個(gè)聲調(diào)之間的抽象關(guān)系而不是耳朵所能聽到的一個(gè)單一的一致。[17]134

無(wú)論是音調(diào)、音色還是和聲，都可以利用數(shù)學(xué)對(duì)其進(jìn)行測(cè)量和分析。音律的計(jì)算在中國(guó)同樣受到高度的重視，而且歷史更為悠久。據(jù)先秦古籍《世本》載：“黃帝使羲和占日,常儀占月，臾區(qū)占星氣，伶?zhèn)愒炻蓞危髶献骷鬃?，隸首作算術(shù)，容成綜此六術(shù)而著《調(diào)歷》”。可見，占卜、樂律、天文、計(jì)量、算學(xué)在中國(guó)古代同樣也是被當(dāng)作關(guān)系密切的學(xué)科群，但卻統(tǒng)一于“歷學(xué)”名下。《尚書·堯典》說：“協(xié)時(shí)月正日，同律度量衡”的記載?！秴问洗呵?大樂》亦云：“音樂之所由來(lái)者遠(yuǎn)矣。生于度量，本于太一?！盵18]所謂“生于度量”即指律管的長(zhǎng)度、容積等數(shù)量關(guān)系?！洞蟠鞫Y記》載：

截十二管，以定八音之上下清濁，謂之律。律居陰而治陽(yáng)，歷居陽(yáng)而治陰，律歷疊相治也，其間不容發(fā)。

我國(guó)早在西周時(shí)期已掌握了十二律（陰陽(yáng)各六）和七聲音階的知識(shí)?！对铝钫戮洹氛f：“古之為鐘律者，以耳齊其聲。后不能，則假數(shù)以正其度，度數(shù)正則亦正矣?！钡搅舜呵飼r(shí)期則使用“三分損益法”確定律管長(zhǎng)度與音調(diào)的關(guān)系。所謂“三分損”，即在制定“六律”的過程中，將律管的長(zhǎng)度變?yōu)樵鹊?/3；“三分益”則是其將長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的4/3。《史記·律書》中對(duì)此有詳細(xì)記載：九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為征。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。

據(jù)考古研究，中國(guó)樂律的起源至少可以追索至距今8000 多年前。河南舞陽(yáng)賈湖遺址出土了25件距今8000 多年的骨笛（丹頂鶴尺骨），可分為五孔、六孔、七孔和八孔笛，其制作都是經(jīng)過了精心的計(jì)算。在中國(guó)國(guó)家博物館收藏的一只骨笛上還保留了當(dāng)時(shí)開孔時(shí)的設(shè)計(jì)刻痕，可以明顯看出設(shè)計(jì)修改的過程。[19]馮時(shí)指出：“實(shí)際測(cè)音的結(jié)果顯示，所存律管已備八律，且音孔設(shè)計(jì)之計(jì)算方法顯然已涉及到復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，足以證明其時(shí)算數(shù)之學(xué)已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)高的水平?！盵20]正是樂律、歷法、數(shù)學(xué)、天文的完美結(jié)合形成了中華文明極富特色的“律歷合一”思想。

明朝學(xué)者朱載堉被公認(rèn)為中國(guó)“律歷合一”學(xué)說的集大成者。他在《算學(xué)新說·序》中寫道：“所撰新說凡四種，一曰律學(xué)，二曰樂學(xué)，三曰算學(xué)，四曰韻學(xué)，前二者其書之本原，后二者其書之支派。所以羽翼其書也。”朱載堉首創(chuàng)十二平均律，取為公比，使得相鄰兩律間的頻率完全相等，這一發(fā)現(xiàn)比歐洲早了半個(gè)世紀(jì)。今天對(duì)于音樂與數(shù)學(xué)是一對(duì)孿生姊妹的看法，不僅中國(guó)人感到匪夷所思，就連歐洲人也難以理解。杰米·詹姆斯寫道：

音樂和科學(xué)之間相交叉的領(lǐng)域，在西方文明開始的地方開始，當(dāng)時(shí)兩者曾被如此深深地認(rèn)同，以至任何認(rèn)為在它們之間有什么本質(zhì)區(qū)別的人都被看作是毫無(wú)知識(shí)的人，而到了今天，當(dāng)有人提出它們之間有什么相同的地方的時(shí)候，就會(huì)冒被一些人貼上俗人而被另一些人貼上業(yè)余藝術(shù)愛好者標(biāo)簽的危險(xiǎn)——并且，最該詛咒的是，兩者都是大眾化的人。[17]1

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派堅(jiān)信行星運(yùn)動(dòng)也受數(shù)學(xué)關(guān)系的支配。他們認(rèn)為運(yùn)動(dòng)得快的物體，將比運(yùn)動(dòng)得慢的物體發(fā)出更高的音。行星離地球越遠(yuǎn)，則運(yùn)動(dòng)得越快，因此行星發(fā)出的聲音與其到地球的距離有關(guān)。美國(guó)數(shù)學(xué)家和科學(xué)史家卡約里說：

畢達(dá)哥拉斯關(guān)于和聲和音階的思辨是不受對(duì)實(shí)驗(yàn)深入探索的約束的。7 顆行星是七弦琴的7 根弦，他給我們一種美麗的“天體和諧”。這種思想不是作為詩(shī)歌而是作為物理哲學(xué)提出來(lái)的。人們的耳朵不能聽見這種行星間的音樂事實(shí)，似乎并未減少對(duì)它存在的信念。[21]

既然行星在宇宙空間運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)出和諧的“聲音”，那么它們離地球的遠(yuǎn)近也必然符合相應(yīng)的比例，這就是西方著名的“天體和聲”的典故。

哥白尼建立日心說之后，開普勒?qǐng)?jiān)信上帝是依照完美的數(shù)學(xué)原則創(chuàng)造世界的，他曾利用5 種正多面體之間的幾何關(guān)系來(lái)表示當(dāng)時(shí)所知六大行星的軌道半徑。天空中剛好有5 顆行星，而幾何學(xué)中也只有5 種正多面體，若將它們的內(nèi)切與外接球結(jié)合起來(lái)，正好可以形成六個(gè)同心球相互嵌套的結(jié)構(gòu)（太陽(yáng)位于球心）。盡管開普勒的模型被天文觀測(cè)證明是錯(cuò)誤的，但他高超的數(shù)學(xué)才能和奇特的創(chuàng)意，卻引起了天文觀測(cè)家第谷的注意，并邀請(qǐng)他做助手。這正是后來(lái)開普勒得以發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)“三大定律”的契機(jī)。

天體“和諧運(yùn)動(dòng)”的思想，兩千多年間始終激勵(lì)著無(wú)數(shù)西方學(xué)者的好奇心。直到18世紀(jì)后期德國(guó)學(xué)者提出的“提丟斯—波得定則”，依然引起了眾多科學(xué)家的關(guān)注與爭(zhēng)論。據(jù)說提丟斯在給學(xué)生講授各大行星到太陽(yáng)的平均距離時(shí)，同學(xué)們總是記不住，他便想出了如下辦法，取數(shù)列：

0，3，6 ，12 ，24，48，96，192，…

將其中的每一項(xiàng)加上4，再除以10，便得到各個(gè)行星到太陽(yáng)的平均距離（天文單位）：0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6……水星 金星 地球 火星？ 木星 土星？

1872年德國(guó)柏林天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)波德將它公開發(fā)表。因此稱為“提丟斯—波得定則”。就在該法則公布不久，天文學(xué)家赫歇爾發(fā)現(xiàn)了天王星（距太陽(yáng)19.2 個(gè)天文單位），皮亞齊發(fā)現(xiàn)了位于小行星帶上的第一顆天體——谷神星（高斯利用自己發(fā)明的“最小二乘法”計(jì)算出其軌道半徑距太陽(yáng)約為2.77 個(gè)天文單位）。令人驚奇的是它們的位置都與提丟斯法則所預(yù)言的極為吻合，故而引發(fā)了學(xué)者們的極大興趣。

4 物質(zhì)實(shí)體與數(shù)學(xué)的關(guān)系——揭示自然秩序的鎖鑰

早期希臘自然哲學(xué)提供了科學(xué)思想的兩大傳統(tǒng)：一個(gè)是由泰勒斯開創(chuàng)的實(shí)體論構(gòu)成綱領(lǐng)；另一個(gè)是由畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)的結(jié)構(gòu)論的形式主義研究綱領(lǐng)。泰勒斯的名言是“萬(wàn)物源于水”，這個(gè)看似平凡的說法包含著科學(xué)思想的精髓。首先，它表現(xiàn)了對(duì)世界統(tǒng)一性的把握；其次，它指出了把握世界統(tǒng)一性的方式在于找出其“始基”。在這個(gè)綱領(lǐng)之下，古希臘人分別找出了水、火、氣、土作為萬(wàn)物構(gòu)成的基礎(chǔ)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為正是數(shù)量上的差異和幾何結(jié)構(gòu)上的差異導(dǎo)致了事物本質(zhì)的不同，因?yàn)槭蓟肋h(yuǎn)是均勻同一的，即使找到了也無(wú)法解釋自然界中復(fù)雜多樣的事物；而數(shù)學(xué)形式本身即具有無(wú)窮多的樣式，用它來(lái)描述萬(wàn)物的不同，則不存在本質(zhì)的困難，更具說服力。正如塞路蒙·波克納所言：

無(wú)論數(shù)學(xué)的出現(xiàn)多么神秘，數(shù)學(xué)確實(shí)是最先出現(xiàn)的理性知識(shí)，這是整個(gè)西方文明的一個(gè)有意義的特性。[22]

據(jù)普羅克拉斯說：“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把數(shù)學(xué)研究變成一種自由教育的形式，從頭來(lái)檢驗(yàn)它的原理?！彼麄儶?dú)立地、系統(tǒng)化地在數(shù)學(xué)中運(yùn)用推理證明的邏輯方法，證明了平面幾何、立體幾何、算術(shù)及數(shù)論中的基本定理，從而使數(shù)學(xué)理論從諸如大地測(cè)量、計(jì)算這樣的實(shí)踐活動(dòng)中分離出來(lái)。數(shù)學(xué)定理的證明開辟了人類思維用抽象概念進(jìn)行論辯和演繹的一個(gè)全新領(lǐng)域。古希臘數(shù)學(xué)家所要建立的是受到普遍論證支持，范圍廣泛、條理清晰的理論。譬如我們說數(shù)學(xué)中的某一陳述是真的（三角形內(nèi)角和等于180 度），與日常生活中說某一具體事物是真的（泰勒斯是哲學(xué)家），這兩者無(wú)論思維方式還是認(rèn)識(shí)意義都是有所不同的。

留基伯和德謨克利特相信所有物質(zhì)都由原子組成，原子作為構(gòu)成物質(zhì)實(shí)體的基本單元是不可分割的、極小的、數(shù)目無(wú)限的微粒，這些微粒有大小、形狀和重量三種屬性。原子論者贊同用形和數(shù)的關(guān)系對(duì)自然進(jìn)行解釋，他們同樣宣稱世界所發(fā)生的一切是由數(shù)學(xué)定律嚴(yán)格決定的。該學(xué)派關(guān)于宇宙本原及數(shù)學(xué)無(wú)限性問題的探討，對(duì)后世也產(chǎn)生了較大的影響。亞里士多德認(rèn)為：

甚至更早的時(shí)候，所謂畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人與留基伯和德謨克利特同時(shí)從事數(shù)學(xué)研究，并且第一個(gè)推進(jìn)了這一個(gè)知識(shí)部門。他們把全部時(shí)間用在這種研究上，進(jìn)而認(rèn)為數(shù)學(xué)的始基就是一切存在物的始基。[23]

作為物質(zhì)微粒的點(diǎn)與數(shù)學(xué)的點(diǎn)當(dāng)然不同，但是“原子論綱領(lǐng)”的一個(gè)更重要方面是宏觀層次的質(zhì)變還原為原子層次的量變。因此，當(dāng)原子論者企圖解釋“數(shù)學(xué)量”的變化時(shí)，就會(huì)以數(shù)學(xué)原子的形式,通過它的量變來(lái)加以回答。據(jù)說德謨克利特曾經(jīng)利用原子論思想，將整體分割成微小的部分，再以這些微小的部分相加得到整體的研究方法，求出一些空間幾何圖形的體積。例如，他曾將圓錐看作是一系列不可分割的薄層疊加而成，從而發(fā)現(xiàn)其體積為同底等高圓柱體的三分之一。瓦托夫斯基指出：“沿著原子論方向的這些物理思辨被一種數(shù)學(xué)傳統(tǒng)所補(bǔ)充，該傳統(tǒng)以一種在結(jié)構(gòu)上更為精致的方式來(lái)表述原子論。在這一出自畢達(dá)哥拉斯學(xué)說的傳統(tǒng)中，這些元素并不被當(dāng)作是可以理解或感覺的物質(zhì)實(shí)體；而被認(rèn)為是概念上的存在，思維的對(duì)象?！?/p>

弗朗西斯·培根說：“應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)自然的探究如果始于物理學(xué)而終于數(shù)學(xué)，那就會(huì)有最好的結(jié)果。”[24]近代科學(xué)正是在追求自然界的數(shù)學(xué)規(guī)律中取得長(zhǎng)足進(jìn)步的，可以說，許多重大的成就都是由于發(fā)現(xiàn)了或運(yùn)用了新的數(shù)學(xué)規(guī)律才取得的。M·克萊因?qū)懙溃?/p>

希臘人對(duì)了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望，推動(dòng)他們創(chuàng)造和看重?cái)?shù)學(xué)。數(shù)學(xué)是對(duì)自然界進(jìn)行研究的本身工作之一，是了解宇宙的鑰匙，因?yàn)閿?shù)學(xué)規(guī)律是宇宙布局的精髓。

正是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)模型的“理想化”觀點(diǎn)，促進(jìn)了古希臘經(jīng)典力學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展，也為后來(lái)文藝復(fù)興時(shí)期的科學(xué)和技術(shù)取得進(jìn)步奠定了基礎(chǔ)。其實(shí)，利用形式的不同解釋事物本性差異的思維方式，在中國(guó)女媧造人的古老神話傳說中，也有著生動(dòng)的表現(xiàn)：

俗說天地開辟，未有人民，女媧摶黃土作人。劇務(wù)，力不暇供，乃引繩于泥中，舉以為人。故富貴者，黃土人；貧賤者，引縆人也。

據(jù)這一傳說故事所言，所有的人都是由質(zhì)料相同的黃土組成，但其貧賤富貴的根源，正是由于他們所獲得的“人形”這一關(guān)鍵之處存在差異。因?yàn)榕畫z娘娘對(duì)每個(gè)人的制作，在精細(xì)程度上有所不同，所謂“富貴之人”是她親手用黃土捏成的；“貧賤者”則是用繩索在泥漿中彈射出來(lái)的?？磥?lái)，女媧造人這一古老的神話傳說所蘊(yùn)含的觀念，與西方“數(shù)學(xué)形式?jīng)Q定事物本質(zhì)”的哲學(xué)思想還真有異曲同工之妙。

5 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，始終在追求最簡(jiǎn)潔而又超出人類感官所及的宇宙本原。和諧與秩序是希臘哲人的根本性觀念，在他們所創(chuàng)造的一切偉大成就之中，數(shù)學(xué)毫無(wú)疑問是奇跡中的奇跡；古希臘數(shù)學(xué)所強(qiáng)調(diào)的形式邏輯、演繹法、證明、公理化體系等，堪稱那個(gè)時(shí)代地球上最輝煌燦爛的人類文明之花。

“物質(zhì)實(shí)體”加“形式法則”的模式是現(xiàn)代科學(xué)思維的核心特征。理論預(yù)言的正確性，是由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的，理論必須與測(cè)量值建立聯(lián)系，才能反映客觀世界的規(guī)律。任何一個(gè)物理概念，只有在能進(jìn)行實(shí)際測(cè)量時(shí)，才是真實(shí)而豐富的，否則就是虛假而空洞的，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的精華；為了同測(cè)量結(jié)果相比較，就需要在統(tǒng)一性的觀點(diǎn)下不斷朝著對(duì)自然界進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的方向探索，并通過數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與方法來(lái)理解和表達(dá)自然規(guī)律。文德爾班說：

按照“本原”這個(gè)術(shù)語(yǔ)應(yīng)用于各種不同的“物質(zhì)”、元素之類的東西而言，數(shù)目不能叫做萬(wàn)物的本源，他們也沒有忽視這樣的事實(shí)：萬(wàn)物不是產(chǎn)生于數(shù)目，而是按照數(shù)目構(gòu)成的。當(dāng)他們說，萬(wàn)物是數(shù)的模寫或摹擬，這也許就是他們表現(xiàn)他們的思想的最好、最積極意義的說法了。按照這個(gè)概念，數(shù)學(xué)形式的世界被看作是更高、更根本的現(xiàn)實(shí)。[3]69

說數(shù)即萬(wàn)物當(dāng)然是荒謬的，但若說事物所遵循的規(guī)律是符合數(shù)學(xué)關(guān)系的，則相當(dāng)正確。愛因斯坦認(rèn)為西方科學(xué)的發(fā)展是以歐幾里得幾何中的邏輯，以及文藝復(fù)興之后才興起的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。這種深邃的洞察力，令人嘆為觀止！他評(píng)價(jià)牛頓萬(wàn)有引力定律是“用數(shù)學(xué)的思維，邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現(xiàn)象，并且能同經(jīng)驗(yàn)相符合?！睌?shù)學(xué)作為一門橫斷科學(xué)，既是精確表述世間萬(wàn)物的語(yǔ)言，也是探索宇宙奧秘的鎖鑰。