高智中

(安徽科技學院信息與網絡工程學院，安徽 蚌埠 233030)

當非線性動力學系統(tǒng)具有兩個或兩個以上的正Lyapunov指數(shù)時,系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，動力學行為比一般混沌系統(tǒng)更復雜,更難以預測。構造超混沌系統(tǒng)及其同步的研究引起了廣大科研工作者的極大關注。文獻[1-3]通過施加外部正余弦激勵信號而實現(xiàn)超混沌，文獻[4-6]通過對三維混沌系統(tǒng)引入一個控制器，并將其耦合到系統(tǒng)的一個方程或多個方程中而實現(xiàn)超混沌。文獻[7]設計了一種線性牽制控制器實現(xiàn)了一個參數(shù)范圍較小的新超混沌系統(tǒng)的同步，文獻[8]基于一種新型趨近律研究了分數(shù)階不確定Duffling 系統(tǒng)的自適應滑模同步問題，文獻[9]研究了分數(shù)階單擺系統(tǒng)的終端滑?？刂苹煦缤剑墨I[10]研究了一類分數(shù)階冠狀動脈系統(tǒng)的混沌同步問題，文獻[11]研究了主-從蔡氏電路系統(tǒng)在線性狀態(tài)誤差反饋控制下存在通道時延時的滯后混沌同步問題。但是這些方法的控制器設計比較復雜，而且同步收斂速度較慢和對參數(shù)敏感。

針對上述問題，本文基于Tang系統(tǒng)[12]，構造了一個新的四維超混沌Tang系統(tǒng)，用數(shù)值模擬方法分析了該系統(tǒng)的相圖，分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等基本動力學特性。與以往的超混沌相比，新系統(tǒng)的參數(shù)k具有更大的變化范圍，并且系統(tǒng)隨k與p變化表現(xiàn)出相同的動力性行為且成一定的比例。設計了一種線性牽制控制器實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的同步，利用了混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量的有界性，通過誤差系統(tǒng)內部的自組織作用，整個誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定從而實現(xiàn)了混沌同步，該方法不需要求系統(tǒng)的最大 Lyapunov 指數(shù)或建立 Lyapunov 函數(shù)，從而大大減少了計算量，而且這種方法容易實現(xiàn)、同步速度快、同步結果穩(wěn)定。最后設計了相應的實驗電路，并在示波器中觀察到電路系統(tǒng)的超混沌動力學行為和驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的同步結果，這些結果與數(shù)值仿真結果基本吻合。

1 超混沌Tang系統(tǒng)及其超混沌吸引子

文獻[12]提出的新的三維自治混沌系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可表示為

當a=25.6,b=66.8,c=39.22,d=0.2,e=4時，系統(tǒng)存在典型的混沌吸引子。

經過大量嘗試，在Tang系統(tǒng)的第1個方程增加一個非線性狀態(tài)反饋控制器w,并增加一個關于w的一階微分方程，可得到如下新的四維超混沌Tang系統(tǒng)：

2 動力學行為演化

情形1:當固定a=20,b=35,p=1,c=30,d=5，變量x隨k在[0,1 500]變化關于x的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖(這里略去了第四根Lyapunov指數(shù)曲線)如圖2所示。從圖2可以觀察到,系統(tǒng)具有豐富的動力學行為，并且隨參數(shù)k變化范圍較大。

為了進一步說明系統(tǒng)中取不同參數(shù)的超混沌、混沌、周期各自軌跡的特點，本文分別對k=16,64,92,230,410,548,648,1 244,1 498這9個k值上的相軌跡進行數(shù)值仿真，圖3給出了x-w平面上的典型的相軌跡圖，由圖可見系統(tǒng)各狀態(tài)下的相軌跡在不同平面的投影具有不同的形狀。表1給出了這9種參數(shù)下的Lyapunov指數(shù)譜和運動形式。

圖1 系統(tǒng)的超混沌吸引子Fig.1 Hyperchaotic attractors of system

圖2 系統(tǒng)隨k變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum diagram of the system varies with k

圖3 系統(tǒng)各狀態(tài)下的典型相軌跡在x-w平面上的投影Fig.3 Projections of typical phase paths in the x-w planar graph under different system state

kλ1λ2λ3λ4運動形式161.118 90.387 00.006 4-27.406超混沌640-1.602 3-4.290 9-20.045一周期92 0.370 40-1.241 4-25.054混沌2301.286 00-4.721 5-22.537混沌4101.152 20-6.094 4-21.049混沌5480-0.574 2-0.590 3-24.833二周期6480 -0.533 0-2.315 3-23.152四周期1 2440-0.095 7-9.913 0-15.999二周期1 4980-3.389 6-10.578 0-12.038一周期

情形2:當固定a=20,b=35,c=30,d=5,k=10，變量x隨p在[0,150]變化關于x的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖(這里略去了第四根Lyapunov指數(shù)曲線)如圖4所示。由圖4見隨參數(shù)p變化和隨參數(shù)k變化具有相同的動力學行為,只是變化范圍大大的縮小。

圖4 系統(tǒng)隨p變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum diagram of the system varies with p

3 新超混沌系統(tǒng)的線性反饋同步

設驅動系統(tǒng)為

令驅動變量為x2，構造響應系統(tǒng)為

其中u為待設計的線性反饋控制器。

令誤差變量為ei=yi-xi,i=1,2,3,4。則兩系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)可化為

選取線性控制器u=-10e1-10e4，則誤差系統(tǒng)可進一步化為

顯然e4的解將隨著時間以指數(shù)速率趨向于零，即當t→∞時，e4→0。同理，e1也能漸近穩(wěn)定于零點,e2,e3也能漸近穩(wěn)定于零點，所以整個誤差系統(tǒng)就會被牽制到零點，從而驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)同步。設驅動系統(tǒng)的初始值仍為(10,10,10,10)，響應系統(tǒng)的初始值為(1,1,1,1)，在線性控制器作用下同步誤差曲線模擬結果如圖5所示，由圖5可以看出, 經過一個暫態(tài)過程后誤差變量e1,e2,e3,e4全部快速趨向于零。

圖5 兩系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.5 Synchronization error curve of two systems

4 電路實現(xiàn)

為了驗證驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的特性，筆者設計了硬件電路來實現(xiàn)驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)。因為電路中各電容元件的耐壓值是有限的，故將驅動系統(tǒng)中各變量變?yōu)樵瓉淼?/40,驅動系統(tǒng)表達式變?yōu)椋?/p>

驅動系統(tǒng)電路實現(xiàn)如圖6(a)所示，其中參數(shù)值為：C1=C2=C3=C4=100 nF,R1=10 MΩ,R2=350 MΩ,R3=3.5 MΩ,R4=100 MΩ,R5=500 MΩ,R6=10 MΩ,R7=7.5 MΩ,R8=3 MΩ,R9=100 MΩ,R10=10MΩ,R11=20 MΩ,R12=2.5 MΩ,R13=1 MΩ,R14=100 MΩ,R15=2MΩ,R16=10 MΩ,R17=10 MΩ,R18=1 MΩ,R19=100 MΩ,R20=R21=1 MΩ,R22=R23=1 MΩ。

圖6 超混沌系統(tǒng)的驅動電路(a)和響應電路(b)Fig.6 Driver circuit (a) and response circuit(b) in the hyperchaotic system

利用示波器測量驅動系統(tǒng)的超混沌吸引子如圖7所示，與本文的圖1對比可見，硬件電路的輸出結果與數(shù)值仿真結果是一致的。

前文構建了與驅動系統(tǒng)線性反饋同步的響應系統(tǒng)中u=-10e1-10e4,且ei=yi-xi,i=1,2,3,4，故u=10x1-10y1+10x4-10y4，將u的表達式帶入響應系統(tǒng)可得：

將響應系統(tǒng)中各變量變?yōu)樵瓉淼?/40,響應系統(tǒng)表達式變?yōu)椋?/p>

響應系統(tǒng)電路實現(xiàn)如圖6(b)所示，為了與驅動系統(tǒng)的參數(shù)便于對比，響應系統(tǒng)的參數(shù)下標前加了0，各參數(shù)分別為：C01=C02=C03=C04=100 nF,R01=10 MΩ,R02=350 MΩ,R03=3.5 MΩ,R04=100 MΩ,R05=500 MΩ,R06=10 MΩ,R07=7.5 MΩ,R08=3 MΩ,R09=100 MΩ,R010=10MΩ,R011=20 MΩ,R012=100 MΩ,R013=1 MΩ,R014=100 MΩ，R015=2MΩ,R016=10 MΩ,R017=10 MΩ,R018=1 MΩ,R019=100 MΩ,R020=10 MΩ,R021=1 MΩ。

驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的同步性測試如圖8所示，圖8(a)所示為x1和y1的時序圖，對比x1和y1時序波形圖可見，隨著時間的變化，波形是相同的；圖8(b)所示為x1和y1的狀態(tài)同步圖，可見x1和y1達到了良好的同步，同理，對x2-y2,x3-y3,x4-y4進行相同測試，結果與x1和y1的同步性是一樣的?？梢?，驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)具有良好的同步性。

圖8 超混沌系統(tǒng)的驅動電路和響應電路的x1和y1的時序圖和狀態(tài)同步圖Fig.8 Time-serial diagram and state synchronization diagram of x1 and y1 in the driver system and response system of the hyperchaotic system

5 結 論

本文在Tang混沌系統(tǒng)基礎上構造了一個新的四維超混沌系統(tǒng),重點研究了新引入的兩個參數(shù)k和p取不同值時超混沌系統(tǒng)的運動情況, 通過分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜及相圖的數(shù)值仿真,刻畫了超混沌系統(tǒng)的運動規(guī)律，結果發(fā)現(xiàn)新的四維超混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學行為。成功構造了一種線性控制器實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的同步，最后設計了相應的實驗電路，并在示波器中觀察到電路系統(tǒng)的超混沌動力學行為和驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的同步結果，這些結果與數(shù)值仿真結果基本吻合。