許文

將平拋運(yùn)動(dòng)與斜面組合是一種常見(jiàn)的深化平拋運(yùn)動(dòng)的構(gòu)題方式。這類組合問(wèn)題往往通過(guò)斜面的一些隱含條件，能很好地考查同學(xué)們對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解與運(yùn)用。下面通過(guò)實(shí)例剖析平拋運(yùn)動(dòng)與斜面組合的幾種經(jīng)典構(gòu)題方式，探究各種組合問(wèn)題的命題規(guī)律，總結(jié)求解問(wèn)題的分析方法。

一、起點(diǎn)在斜面外、落點(diǎn)在斜面上的平拋

起點(diǎn)在斜面外、落點(diǎn)在斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題往往會(huì)給出做平拋運(yùn)動(dòng)的物體落在斜面上的速度方向與斜面的夾角或物體落在斜面上的位置。斜面往往會(huì)隱含著物體做平拋運(yùn)動(dòng)末速度的方向、平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移與豎直位移間的關(guān)系。通常根據(jù)斜面的傾角，由幾何關(guān)系、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)找出相關(guān)的隱含條件，才能使問(wèn)題得以順利求解。

例1 如圖1所示，斜面傾角為θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正對(duì)斜面頂點(diǎn)B水平拋出，小球到達(dá)斜面時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，重力加速度為g。則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

點(diǎn)評(píng)

本題中斜面約束了小球的平拋運(yùn)動(dòng)，斜面的傾角隱含著小球做平拋運(yùn)動(dòng)的末速度方向、水平位移與豎直位移間的關(guān)系。通過(guò)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)找出這種隱含條件是分析求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

例2 如圖2所示，斜面上a、b、c三點(diǎn)等距，小球從a點(diǎn)正上方O點(diǎn)拋出，做初速度為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，恰好落在b點(diǎn)。若小球的平拋初速度變?yōu)関，落點(diǎn)位于c點(diǎn)，則（ ）。

A. v0

B.√2v0

C. 2v0

D. v>3v0

例3 如圖4所示，傾角為θ的斜面上有A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)從這三點(diǎn)分別以不同的初速度水平拋出一小球，三個(gè)小球均落在斜面上的D點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得AB：BC：CD =5：3：1，則（ ）。

A.從A、B、C三處拋出的三個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為1：2：3

B.從A、B、C三處拋出的三個(gè)小球落在斜面上時(shí)的速度與初速度間的夾角之比為1：1：1

C.從A、B、C三處拋出的三個(gè)小球的初速度大小之比為3：2：1

D.從A、B、C三處拋出的三個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡可能在空中相交

解析

因?yàn)锳B：BC：CD=5：3：1，所以從A、B、C三處拋出的三個(gè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的位移大小之比為

點(diǎn)評(píng)

本題中三個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)均為同一斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，上述求解過(guò)程中充分利用了斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)二級(jí)結(jié)論，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間t∞v0，合位移s∞v0，末速度與初速度方向間夾角a與斜面傾角θ之間滿足tan a= 2tanθ，實(shí)現(xiàn)了快速求解問(wèn)題的目標(biāo)。

例4 如圖5所示，每級(jí)臺(tái)階高h(yuǎn)=0.2 m，寬l=0. 25 m。一小球從臺(tái)階頂以初速度v0=2 m/s平拋，問(wèn)：小球最先落在哪一級(jí)臺(tái)階上？（取g=10 m/s02）

點(diǎn)評(píng)

本題對(duì)小球落在哪一級(jí)臺(tái)階上的判斷，需要先求出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移z或豎直位移y的大小，再根據(jù)每一級(jí)臺(tái)階的寬度或高度進(jìn)行推理判斷。上述求解過(guò)程中先通過(guò)連接每一級(jí)臺(tái)階頂部構(gòu)成一斜面，再利用起點(diǎn)與落點(diǎn)均在同一斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)二級(jí)結(jié)論，使得問(wèn)題得到有效的解決。

三、起點(diǎn)在斜面上、落點(diǎn)在水平面上的平拋

對(duì)起點(diǎn)在斜面上、落點(diǎn)在水平面上的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析與求解，要充分挖掘隱藏在幾何圖形中的相關(guān)隱含條件，必要時(shí)還可將平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡延長(zhǎng)到與斜面或水平面相交，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成起點(diǎn)與落點(diǎn)均在同一斜面上或不被斜面約束的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)

本題分析的難點(diǎn)是第三種可能的情況。我們把落在斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡延長(zhǎng)到與水平面相交，把落在水平面上的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡延長(zhǎng)到與斜面相交，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化比較，從而順利地突破了這個(gè)難點(diǎn)。

感悟與提高

1.如圖9所示，一固定斜面體的傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，擊中了斜面上的P點(diǎn);將小球B從空中某點(diǎn)以相同速率v0水平向左拋出，恰好垂直斜面擊中Q點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.若小球A在擊中P點(diǎn)時(shí)的速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanθ=2tanφ

B.若小球A在擊中P點(diǎn)時(shí)的速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanφ=2tanθ

C.小球A、B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2tan2θ：1

D.小球A、B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為tan2θ：1

2.如圖10所示，橫截面為直角三角形的兩個(gè)相同斜面體緊靠在一起，固定在水平面上，它們的豎直邊長(zhǎng)都是底邊長(zhǎng)的一半。小球從左邊斜面的頂點(diǎn)以不同的水平初速度v向右平拋，最后落在斜面上，其中三次的落點(diǎn)分別是a、b、c。下列判斷正確的是（ ）。

A.小球落在a點(diǎn)時(shí)的飛行時(shí)間最短

B.小球落在c點(diǎn)時(shí)在飛行過(guò)程中的速度變化最大

C.小球落在c點(diǎn)時(shí)在飛行過(guò)程中的速度變化最快

D.無(wú)論小球拋出時(shí)的初速度多大，落到兩個(gè)斜面上的瞬時(shí)速度都不可能與斜面垂直

3.如圖11所示，水平面上固定有一個(gè)斜面，從斜面頂端向右平拋一個(gè)小球，當(dāng)初速度為v0時(shí)，小球恰好落到斜面底端，小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0?，F(xiàn)用不同的初速度v從該斜面頂端向右平拋這個(gè)小球，則圖12中四幅圖像能正確表示小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t隨初速度v變化的函數(shù)關(guān)系的是（ ）。

4.如圖13所示，一小球以初速度v0從傾角為θ的斜面底端斜向上拋出，落到斜面上的M點(diǎn)且速度水平向右?，F(xiàn)將該小球以初速度2v0從斜面底端朝同樣方向斜向上拋出，落在斜面上的N點(diǎn)。下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.落到M和N兩點(diǎn)所用時(shí)間之比為1：2

B.落到M和N兩點(diǎn)時(shí)的速度大小之比為1：1

C.M和N兩點(diǎn)距離斜面底端的高度之比為1：2

D.落到N點(diǎn)時(shí)的速度方向水平向右

參考答案：1. BC 2.D 3.C 4.AD

（責(zé)任編輯 張巧）