方 兵， 葉峻鋒， 孟素各， 顧天奇

(1. 福建農(nóng)林大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 福建 福州 350002； 2. 福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院， 福建 福州 350108)

0 引言

機(jī)械加工表面微觀的不平整性導(dǎo)致零部件連接部位剛度、 電阻和接觸熱阻等物理特性發(fā)生非線性的變化. 在采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAE)開(kāi)發(fā)產(chǎn)品時(shí)， 這種變化將影響設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性. 因此， 如何建立零件連接部位(即結(jié)合部)的分析模型是解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵. 基于統(tǒng)計(jì)表面形貌統(tǒng)計(jì)參數(shù)研究粗糙表面接觸特性是常見(jiàn)的方法[1-3]. 采用統(tǒng)計(jì)模型的首要任務(wù)是確定“凸峰”的幾何屬性， 包括位置、 高度(或高度分布)、 曲率半徑以及分布密度等信息. 目前， 解決這一問(wèn)題的基本思路是： 在一定范圍內(nèi)尋找局部最高點(diǎn)， 并以該點(diǎn)附近的點(diǎn)擬合得到一個(gè)“凸峰”， 再計(jì)算其曲率半徑和高度等信息. 根據(jù)搜索范圍的不同有3點(diǎn)峰準(zhǔn)則[4-5]、 5點(diǎn)峰準(zhǔn)則[6]、 7點(diǎn)峰準(zhǔn)則[7]等. 上述方法很好地解決了“凸峰”確定問(wèn)題， 但往往會(huì)導(dǎo)致表面輪廓線不連續(xù)； 其次， 這些方法一般采用分型函數(shù)(WM函數(shù))生成表面形貌數(shù)據(jù)， 從而導(dǎo)致該方法生成的數(shù)據(jù)和實(shí)際有差別. 因此， 本研究基于樣條曲線擬合理論和凸峰獨(dú)立的原則， 提出一種新的凸峰定義方法. 在此基礎(chǔ)上， 測(cè)取不同機(jī)械加工表面的形貌數(shù)據(jù)， 分析粗糙表面形貌的統(tǒng)計(jì)參數(shù)， 并對(duì)比分析了不同加工方法、 不同粗糙度值的表面形貌數(shù)據(jù).

1 表面形貌統(tǒng)計(jì)參數(shù)分析

1.1 凸峰的定義

機(jī)械加工表面形貌可以看作是一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， 不能用確切的函數(shù)表達(dá)式來(lái)描述. 為能夠分析其統(tǒng)計(jì)特性， 對(duì)表面形貌數(shù)據(jù)采樣， 得到表面離散點(diǎn)數(shù)據(jù)， 并采用三次樣條曲線擬合表面形貌數(shù)據(jù)[8]. 對(duì)某一表面輪廓以步長(zhǎng)Δh等間隔采樣， 得到離散點(diǎn)序列(xi,yi)(i=0, 1, …,k)，xi為取樣長(zhǎng)度，yi為表面輪廓高度. 在子區(qū)間 [xi,xi+1] (i=0, 1, …,k-1)內(nèi)， 建立插值函數(shù)

fi(x)=aix3+bix2+cix+di

(1)

其中：ai,bi,ci,di是待定系數(shù). 通過(guò)給定子區(qū)間的連續(xù)條件(即一階導(dǎo)數(shù)和兩階導(dǎo)數(shù)連續(xù))和2個(gè)附加的邊界條件(給定兩端一階導(dǎo)數(shù)值)， 即可求解出所有待定的系數(shù)， 確定唯一的三次樣條曲線[8].

凸峰在微觀表面形貌中意味要高于周?chē)狞c(diǎn)， 且在載荷的作用下， 不與周邊的凸峰發(fā)生干涉. 直接利用三次樣條擬合得到的曲線， 往往會(huì)出現(xiàn)“峰上峰”的現(xiàn)象， 這不符合凸峰的定義.

圖1 表面微觀形貌示意圖Fig.1 Schematic of microscopic surface morphology

為避免出現(xiàn)凸峰重疊現(xiàn)象， 規(guī)定： 若擬合曲線中兩凸峰的距離小于3×Δh時(shí)， 將由一個(gè)新的凸峰代替現(xiàn)有的兩個(gè)凸峰. 如圖1所示， 點(diǎn)i至點(diǎn)i+4形成的凸峰互相干涉. 此時(shí)， 保留兩個(gè)端點(diǎn)(即Pi和點(diǎn)Pi+4)， 定義新的點(diǎn)PN替代點(diǎn)Pi+1、Pi2和Pi+3， 點(diǎn)PN為兩峰值點(diǎn)的中心， 需滿足關(guān)系

(2)

式中：Ps1和Ps2分別為兩個(gè)凸峰的坐標(biāo).

得到PN坐標(biāo)后， 再次利用三次樣條曲線擬合， 得到新的擬合曲線. 重復(fù)檢測(cè)凸峰之間的距離， 并按公式(2)得到新的擬合點(diǎn)， 便可解決凸峰重疊的現(xiàn)象.

1.2 凸峰高度分布函數(shù)

實(shí)際上兩個(gè)表面相互接觸時(shí)， 往往不是全部表面接觸， 而是一些“凸峰”接觸， 或一個(gè)表面的“凸峰”伸入另一表面的“凹谷”中， 形成交錯(cuò). 因此， 需要找到擬合曲線的局部最大值， 并分析其高度分布規(guī)律. 擬合后曲線的局部最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)表面的“凸峰”， 局部最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)表面的“凹谷”.

在子區(qū)間[xi,xi+1] (i=0, 1, …,k-1) 內(nèi)有插值函數(shù)fi(x), 求解該函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′i(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″i(x). 若該區(qū)間內(nèi)存在x*， 使得一階導(dǎo)數(shù)等于零且二階導(dǎo)數(shù)小于零， 則插值函數(shù)fi(x)在x*處取得局部最大值， 即為凸峰. 得到整條擬合曲線的所有局部最大值， 記為 (xi,yi) (i= 1, 2,m)， 并假設(shè)其高度服從某種分布(如高斯分布). 根據(jù)數(shù)據(jù)集 (xi,yi) 可以求得分布函數(shù)的參數(shù)， 從而確定其凸峰高度分布函數(shù).

1.3 峰頂曲率半徑

赫茲接觸理論中， 凸峰的曲率半徑與該點(diǎn)載荷、 接觸面積以及塑性變形指數(shù)等有密切關(guān)系. 因此， 需要知道每一個(gè)峰頂?shù)那拾霃? 可根據(jù)公式(3)， 求解出插值函數(shù)fi(x)各個(gè)局部最高點(diǎn)的曲率半徑值，

(3)

1.4 凸峰密度

凸峰密度是指單位面積上的凸峰數(shù)目， 是GW接觸模型中計(jì)算接觸面積和載荷的關(guān)鍵參數(shù)之一. 通常可認(rèn)為表面為各向同性， 因此可以根據(jù)凸峰的線密度來(lái)推測(cè)其面密度. 尋找出整條擬合曲線的所有凸峰后， 計(jì)算單位長(zhǎng)度上的凸峰數(shù)目nl( 個(gè) / mm)， 取其平方， 即獲得單位面積的凸峰數(shù)目n( 個(gè) / mm2).

2 測(cè)量實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 粗糙表面形貌測(cè)量

使用如圖2所示的Taylor Hobson Form Talysurf i120輪廓儀， 測(cè)量粗糙度標(biāo)準(zhǔn)樣塊(平磨、 外磨、 立銑、 平銑、 車(chē)削、 刨削)的表面輪廓數(shù)據(jù). 選取采樣長(zhǎng)度為5 mm， 采樣間隔為125 nm， 每個(gè)樣塊測(cè)量三次.

圖2 表面形貌測(cè)量實(shí)驗(yàn)Fig.2 Experiment for rough surfaces test

實(shí)際表面輪廓是由粗糙度、 波紋度和形狀誤差組成的[9]. 根據(jù)ISO 11562標(biāo)準(zhǔn)[10]， 采用零相移高斯濾波對(duì)表面輪廓進(jìn)行處理. 高斯權(quán)函數(shù)的定義為

(4)

式中：λc是截止波長(zhǎng)， 可根據(jù)ISO 4288—1996選擇；α是常數(shù)， 通常取α=0.469 7.

圖3 表面輪廓曲線與高斯濾波中線Fig.3 Contour curve and Gaussian filter center line

若實(shí)際表面輪廓為z(x)， 信號(hào)長(zhǎng)度為N， 高頻粗糙度信號(hào)為r(x)， 低頻基準(zhǔn)信號(hào)為w(x). 通過(guò)表面輪廓z(x)與高斯權(quán)函數(shù)g(x)進(jìn)行離散卷積運(yùn)算， 將粗糙度信號(hào)r(x)從中分離出來(lái)[11].

(5)

r(x)=z(x)-w(x)

(6)

以粗糙度為Ra=0.8 μm端銑加工的標(biāo)準(zhǔn)樣塊為例. 通過(guò)高斯濾波得到的基準(zhǔn)線是一條連續(xù)曲線， 如圖3所示. 包含于原始輪廓中， 粗糙度輪廓曲線為原始輪廓線減去高斯濾波中線， 能夠比較準(zhǔn)確地反映其粗糙度特性.

2.2 表面粗糙度計(jì)算與分析

輪廓曲線高度參數(shù)用于表達(dá)一維形貌. 其最常用的是輪廓算術(shù)平均偏差Ra

(7)

式中：zi是各測(cè)試點(diǎn)相對(duì)于平均線的高度；n是測(cè)試點(diǎn)數(shù)， 一般由評(píng)估長(zhǎng)度和采樣間隔來(lái)確定[10].

根據(jù)式(7)分別計(jì)算不同機(jī)加工方法下， 不同表面粗糙度標(biāo)準(zhǔn)樣塊的Ra值， 將得到的實(shí)測(cè)值與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較， 其結(jié)果如表1所示. 由表1可見(jiàn)， 根據(jù)ISO 11562標(biāo)準(zhǔn)推薦的濾波算法和截至波長(zhǎng)λc得到的Ra實(shí)測(cè)值與標(biāo)定值誤差均在3%以內(nèi). 對(duì)比結(jié)果表明， 采樣得到的形貌數(shù)據(jù)能夠較真實(shí)地反應(yīng)實(shí)際形貌.

表1 表面粗糙度實(shí)測(cè)值與標(biāo)定值比較

3 結(jié)果與討論

3.1 凸峰曲率半徑對(duì)比分析

由式(3)可知， 根據(jù)峰頂?shù)囊浑A和二階導(dǎo)數(shù)可求得該點(diǎn)的曲率半徑. 以外圓磨加工、 粗糙度Ra=0.8 μm的標(biāo)準(zhǔn)樣塊為例， 峰頂曲率半徑分布直方圖如圖4所示. 實(shí)際上每一個(gè)峰頂?shù)那拾霃讲槐M相同， 但其值往往會(huì)集中在某一值附近. 為便于計(jì)算， 在實(shí)際應(yīng)用中往往取其平均值， 即

(8)

對(duì)比了不同加工方法、 不同Ra值標(biāo)準(zhǔn)樣塊表面形貌的凸峰曲率半徑， 如圖5所示. 由圖5可見(jiàn)， 采用相同加工方法， 隨著表面粗糙值的增大， 表面凸峰的平均曲率半徑也相應(yīng)增大. 如同樣是車(chē)削的加工方法，Ra為0.8和6.3 μm時(shí)， 其平局曲率相差約為6倍. 其主要原因?yàn)椴捎帽砻娲植诙群饬课⒂^不平整性， 粗糙度值越大， 表面起伏越明顯， 較高凸峰上易生成較小凸峰， 根據(jù)本算法， 較高凸峰周邊的凸峰會(huì)合并為單個(gè)的新凸峰， 因此擬合得到的曲率半徑將變大， 導(dǎo)致平均曲率半徑隨著粗糙度的增加而變大. 在相同Ra值的情況下， 如同為Ra= 0.8 μm， 銑、 車(chē)和刨加工表面形貌凸峰的平均曲率分別為0.55、 0.53和0.51. 說(shuō)明加工方法對(duì)平均曲率半徑影響并不顯著.

圖4 峰頂曲率半徑直方圖(Ra=0.8 μm)Fig.4 Histogram of curvature radius for peaks(Ra=0.8 μm)

3.2 凸峰密度對(duì)比分析

計(jì)算不同加工方法、 不同Ra值的樣塊單位長(zhǎng)度上的“凸峰”數(shù)， 取其平方， 得到凸峰密度. 車(chē)、 銑和刨加工， 不同Ra值標(biāo)準(zhǔn)樣塊表面形貌的凸峰密度對(duì)比如圖6所示. 隨著Ra值的增大， 離表面平均線越遠(yuǎn)的點(diǎn)更容易形成“凸峰”， 而凸峰周邊的點(diǎn)形成另一個(gè)“凸峰”的機(jī)會(huì)將更小， 因此， 三種加工方法均表現(xiàn)為， 凸峰密度都隨著Ra值的變小而增大. 在相同Ra值下比較幾種加工方法的樣件. 可以發(fā)現(xiàn)： 銑削加工方法得到的凸峰密度大于車(chē)削， 車(chē)削的大于刨削的. 相對(duì)來(lái)說(shuō), 刨削加工表面的痕跡較為明顯、 車(chē)削次之、 銑削較小. 加工痕跡明顯， 意味著表面形貌的采樣點(diǎn)更容易聚集在某凸峰附近， 導(dǎo)致凸峰點(diǎn)數(shù)變少.

3.3 凸峰高度分布曲線對(duì)比分析

凸峰高度分布是指各峰頂相對(duì)于平均線的高度分布特性. 通過(guò)統(tǒng)計(jì)高度分布的直方圖， 再擬合直方圖便可得到近似的高度分布曲線. 以外圓磨加工， 粗糙度為Ra=0.8 μm的標(biāo)準(zhǔn)樣塊為例， 其凸峰高度直方圖和分布曲線如圖7所示， 凸峰高度分布曲線呈鐘型， 兩頭低， 中間高， 左右對(duì)稱， 近似于高斯分布.

圖6 不同加工方法下的表面形貌的凸峰密度Fig.6 Peaks density by different processing methods

圖7 凸峰高度直方圖與分布曲線(Ra=0.8 μm)Fig.7 Histogram and distribution curve of peaks height(Ra=0.8 μm)

為揭示粗糙度參數(shù)和加工方法對(duì)高度分布的影響， 對(duì)不同類(lèi)型的凸峰高度分布曲線進(jìn)行比較. 車(chē)削加工不同Ra值樣件的表面凸峰高度分布曲線如圖8所示， 高度分布曲線皆近似地服從高斯分布. 由于Ra值的增大， 凸峰高度分布的區(qū)間就越大， 且總的凸峰數(shù)量也越小， 因此其標(biāo)準(zhǔn)偏差也越大， 造成高度分布曲線越平坦.

不同加工方法Ra均為1.6 μm的標(biāo)準(zhǔn)樣件的表面凸峰高度分布曲線如圖9所示. 可以看到， 分布曲線均近似于高斯分布， 但不同的加工方法對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)有所不同， 其標(biāo)準(zhǔn)差由小到大的次序分別為： 銑、 車(chē)、 刨. 標(biāo)準(zhǔn)差小的， 表明分布更加集中， 其加工精度更高， 工件的表面質(zhì)量更好. 與表面凸峰密度分布特點(diǎn)類(lèi)似， 相對(duì)于車(chē)與刨來(lái)說(shuō)， 銑削加工方法得到的表面加工痕跡相對(duì)較不明顯， 固其凸峰高度分布曲線的標(biāo)準(zhǔn)差也相對(duì)較小.

圖8 不同Ra值的凸峰高度分布曲線Fig.8 Peak height distribution curve for different Ra

圖9 不同加工方法下的凸峰高度分布曲線Fig.9 Peak height distribution curve for different processing methods

4 結(jié)語(yǔ)

1) 基于曲線擬合理論定義凸峰的方法， 可以更快速和簡(jiǎn)便地得到粗糙表面形貌統(tǒng)計(jì)參數(shù)， 可應(yīng)用于粗糙表面接觸分析. 同時(shí)， 本方法可以確定每個(gè)凸峰的位置、 高曲率半徑等信息， 從而避免“等半徑”和服從高度分布函數(shù)的人為假設(shè)以開(kāi)展粗糙表面接觸的數(shù)值分析.

2) 對(duì)典型加工方法得到表面的形貌統(tǒng)計(jì)參數(shù)定量分析可知， 粗糙度值對(duì)平均曲率半徑、 高度分布函數(shù)和凸峰密度的影響顯著； 粗糙度Ra值越大， 表面形貌的平均曲率半徑越大， 單位面積凸峰點(diǎn)數(shù)越少， 其輪廓高度值分布得越分散， 高度分布曲線越平緩.

3) 相同Ra值， 不同機(jī)加工表面形貌的平均曲率半徑和凸峰高度分布曲線各不相同. 總體來(lái)說(shuō)， 磨削和銑削加工表面的凸峰密度相對(duì)較大， 凸峰高度分布曲線的方差相對(duì)較小， 但加工方法對(duì)平均曲率半徑影響并不顯著. 因此， 采用統(tǒng)計(jì)參數(shù)分析表面接觸剛度、 接觸熱阻、 實(shí)際接觸面積以及彈塑性比等特性時(shí)， 應(yīng)考慮加工方法和粗糙值的影響.