付燕會(huì)

【摘要】數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，卻漸漸被大家所淡忘。自2005年第一屆“全國(guó)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議”在西北大學(xué)召開(kāi)以來(lái)，HPM（History and Pedagogy ofMathematics）日益受到我國(guó)數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注，關(guān)于數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的討論層出不窮，一些HPM教學(xué)案例亦悄然誕生。HPM在情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)方面的作用得到了廣大數(shù)學(xué)教育工作者的認(rèn)同，而在認(rèn)知方面的作用卻始終受到質(zhì)疑，這就造成了HPM在公開(kāi)課、評(píng)比課上頻繁亮相，而在日常教學(xué)中卻無(wú)人問(wèn)津。因此，數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)上仍然存在很大的阻礙。

數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的最重要的依據(jù)之一是歷史發(fā)生原理，即個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程與該概念的歷史發(fā)展過(guò)程相似。結(jié)合以上存在的現(xiàn)象，本論文主要從數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀、理論基礎(chǔ)（新課標(biāo)要求）和利用數(shù)學(xué)歷史發(fā)生原理設(shè)計(jì)的教學(xué)案例分析等幾個(gè)方面，說(shuō)明了將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性，如何將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，以及對(duì)數(shù)學(xué)史應(yīng)用于課堂的美好展望。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;HPM;數(shù)學(xué)教學(xué);歷史發(fā)生原理

一、將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性

目前，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)史知識(shí)，多數(shù)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，但認(rèn)為其與測(cè)試評(píng)估無(wú)關(guān)或因自己的無(wú)知而匆匆?guī)н^(guò)。因此，縱然數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，仍然沒(méi)有在課堂上得到一席之地，沒(méi)有得到應(yīng)有的重視。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求分學(xué)段介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識(shí)，在第一學(xué)段要求教材可以在適當(dāng)?shù)牡胤浇榻B一些有關(guān)數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣聞與數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展首先源于人類(lèi)生活的需要，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類(lèi)發(fā)展歷史中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。第二學(xué)段要求教材注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。在對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教材可以在適當(dāng)?shù)牡胤讲迦虢榻B一些有關(guān)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史的知識(shí)，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的整體認(rèn)識(shí)。對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)起到一定的激勵(lì)作用。第三學(xué)段要求教材要包含一些輔助材料，如史料、進(jìn)一步研究的問(wèn)題、數(shù)學(xué)家介紹、背景材料等，這樣不僅可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程有所了解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在人類(lèi)發(fā)展歷史中的作用和價(jià)值。在各學(xué)段都對(duì)數(shù)學(xué)史料的出現(xiàn)形式，內(nèi)容與目標(biāo)做出了具體的安排與要求。

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”作為課程的基本理念之一，數(shù)學(xué)文化日益受到人們的關(guān)注。師范院校數(shù)學(xué)文化課程建設(shè)如火如荼，中學(xué)數(shù)學(xué)文化校本課程悄然誕生。然而，數(shù)學(xué)文化的主要載體是數(shù)學(xué)課程，而非數(shù)學(xué)文化課程;數(shù)學(xué)文化傳播的主陣地是數(shù)學(xué)課堂，而非數(shù)學(xué)文化課堂。

新一輪的數(shù)學(xué)課程改革已將數(shù)學(xué)文化提到了重要位置，數(shù)學(xué)文化是人類(lèi)的本文化，它不僅包括數(shù)學(xué)的知識(shí)成份（命題、方法、問(wèn)題、語(yǔ)言），還包括數(shù)學(xué)的觀(guān)念成份（數(shù)學(xué)的精神、思想）。著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：數(shù)學(xué)教育理應(yīng)具有“文化素質(zhì)教育”功能，在很高的水平上陶冶和塑造優(yōu)秀的科學(xué)文化人。他說(shuō)：我們所說(shuō)的“科學(xué)文化人”泛指具有較高文化素質(zhì)，能夠體現(xiàn)“數(shù)學(xué)精神”，且能夠在不同程度上理解并運(yùn)用“數(shù)學(xué)思想方法”的科技人才。要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)文化價(jià)值的內(nèi)涵（數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的語(yǔ)言，一種思維的工具，一種思想方法，一種理論精神，一種藝術(shù)），我們就需要通過(guò)數(shù)學(xué)史的文化詮釋?zhuān)瑢⒆鳛閿?shù)學(xué)文化載體的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀(guān)。

可見(jiàn)，現(xiàn)行的教學(xué)大綱對(duì)數(shù)學(xué)史優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)給予了一定的重視。

二、如何將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)史材料的搜集是數(shù)學(xué)文化傳播的基礎(chǔ)，沒(méi)有足夠的素材，就會(huì)陷入“巧婦難為無(wú)米之炊”的境地，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)也就成了一句空話(huà)。因此，利用數(shù)學(xué)史優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程一般分為以下六步：搜集數(shù)學(xué)史材料→創(chuàng)爭(zhēng)合適的話(huà)題→分析課堂需要→設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)→實(shí)施課堂教學(xué)→評(píng)價(jià)課堂活動(dòng)。

下面具體給出一個(gè)利用數(shù)學(xué)史優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例。

一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程：

大英博物館藏巴比倫泥版BMI3901上有如下問(wèn)題：正方形面積與邊長(zhǎng)之和為3/4，求邊長(zhǎng)。解法：置投影1，半之，得1/2，1/2和1/2構(gòu)成矩形，將1/4與3/4相加，得1，從中減去1/2，即得邊長(zhǎng)為1/2。巴比倫人上述解法的依據(jù)乃是圖3-1所示的幾何圖形。將置于正方形一邊上的長(zhǎng)為1、寬與正方形邊長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形按虛線(xiàn)剪開(kāi)，剪下的一半置于正方形的另一邊，然后補(bǔ)一個(gè)邊長(zhǎng)為1/2的小正方形，即得一大正方形，其面積為3/4+1/4=1，邊長(zhǎng)為1，減去1/2，即得所求正方形的邊長(zhǎng)。

（一）幾何方法引入

讓學(xué)生分組合作，用任何方法解下面的問(wèn)題。

問(wèn)題1：已知矩形的半周長(zhǎng)為20，面積為96。求矩形的長(zhǎng)和寬。

在學(xué)生完成之后，教師在黑板上用硬紙板介紹幾何方法如圖2：取邊長(zhǎng)為10的正方形，其面積為100;割去面積為4的正方形（邊長(zhǎng)為2），余下的面積為96;按虛線(xiàn)剪去小矩形（長(zhǎng)為8，寬為2）;將小矩形豎直放置在右側(cè)。

于是，所求的矩形長(zhǎng)為12，寬為8。

接著，教師讓學(xué)生用幾何方法解類(lèi)似的問(wèn)題：已知矩形的半周長(zhǎng)為12，面積為30。求矩形的長(zhǎng)和寬。注意，此時(shí)應(yīng)割去的小正方形邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)。讓學(xué)生書(shū)面總結(jié)解這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟。

（二）合作討論與提出問(wèn)題

分組討論解上述問(wèn)題的步驟、出現(xiàn)矛盾的情形，每組選一名代表向其他組介紹自己所在組的討論結(jié)果。接著，教師讓學(xué)生自己提出類(lèi)似問(wèn)題，分別要求：所求矩形的長(zhǎng)和寬為整數(shù);所求矩形的長(zhǎng)和寬不能為整數(shù)。

（三）新的矩形問(wèn)題

教師提出新的問(wèn)題。

問(wèn)題2：矩形的長(zhǎng)為10，寬未知。在矩形一邊放一正方形，如圖3所示。已知矩形和正方形面積之和為39，問(wèn)矩形的寬為多少？

讓學(xué)生用解問(wèn)題1的方法來(lái)解本題。若學(xué)生不能完成，教師用硬紙板演示新的解法（圖3）：將原矩形沿豎直方向分割成兩半;其中一半粘到正方形的底邊;在右下角補(bǔ)一個(gè)邊長(zhǎng)為5的小正方形。于是，整個(gè)正方形的面積為39+25=64，從而得邊長(zhǎng)為8。因此，x+5=8，x=3。

接著，教師讓學(xué)生書(shū)面總結(jié)解這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟。

（四）求根公式的再發(fā)現(xiàn)

教師提問(wèn)：根據(jù)前面總結(jié)的解題步驟，能否找到一般公式，直接求得問(wèn)題2解呢？引導(dǎo)學(xué)生用字母b表示問(wèn)題2中矩形的長(zhǎng)，c表示矩形和正方形的面積之和。分組討論矩形寬的計(jì)算公式：

教師將上述幾何問(wèn)題翻譯成代數(shù)語(yǔ)言：

x²+bx=c（b）

（a）式即為該方程的求根公式。接著，教師讓學(xué)生用該公式解具體的一元二次方程，如x²+8x=9，x²+15x=75等，接下來(lái)，教師讓學(xué)生找出一元二次方程

ax²+bx=c（c）

的求根公式，引導(dǎo)學(xué)生將二次項(xiàng)系數(shù)化成1，即方程兩邊同除以a，即得方程（b）形式

x²+b/ax=c/a

故在公式（a）中用b/a代替b，用c/a代替c，即得公式

最后，考慮一般方程

ax²+bx+c=0（e）

為了獲得一元二次方程的所有根，我們必須考慮b²-4ac的負(fù)平方根，因此，方程（e）的完整的求根公式即為

這個(gè)例子的設(shè)計(jì)使用了數(shù)學(xué)歷史發(fā)生原理，通過(guò)幾何方法引入一元二次方程的解法，較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了發(fā)生教學(xué)法的主要特征之一：主題之可接受性，即所引入之新主題建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上。

三、對(duì)將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的展望

F·克萊因曾指出：“教學(xué)應(yīng)遵循人類(lèi)從知識(shí)的原始狀態(tài)到更高級(jí)形式的道路。推廣這種自然的真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識(shí)?！卑俣嗄旰蟮慕裉?，克萊因所說(shuō)的障礙依然存在，要想將數(shù)學(xué)史更好的利用于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，我們需要抓好以下幾點(diǎn)：第一，多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)教師缺乏數(shù)學(xué)史知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系更是不甚了了。竊以為，“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師在職培訓(xùn)的課程。第二，設(shè)立中學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)史論壇，成為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育交流平臺(tái)和陣地。第三，在進(jìn)行數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐時(shí)，先由大學(xué)教師完成相關(guān)主題的歷史研究，獲得歷史材料，然后由大學(xué)與中學(xué)的教師合作，根據(jù)需要對(duì)材料進(jìn)行加工，使之適合于教學(xué)，最后由中學(xué)教師將加工后的材料用于教學(xué)設(shè)計(jì)，并付諸實(shí)踐。第四，要讓更多數(shù)學(xué)教師接受數(shù)學(xué)史運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐，首先就必須讓他們看到數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)案例的成功之處，我們需要更多的關(guān)于數(shù)學(xué)史的案例。第五，獨(dú)木難成林。有一個(gè)志同道合、不斷進(jìn)取的團(tuán)隊(duì)，共同為數(shù)學(xué)史應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)服務(wù)，才能使其不斷壯大。

【參考文獻(xiàn)】

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數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過(guò)程，而且還探索影響這種過(guò)程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對(duì)人類(lèi)文明所帶來(lái)的影響。因此，數(shù)學(xué)史研究對(duì)象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容，是一門(mén)交叉性學(xué)科。