王豐萍

以立體圖形為載體,以空間想象能力為立意,注重知識(shí)的整合與滲透,設(shè)置滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn),著力將動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡設(shè)計(jì)為直線、圓、圓錐曲線或圓錐曲線的一部分進(jìn)行考查,這是出現(xiàn)在高考或各地模擬考試中立體幾何的一類常見問題.這類與“軌跡”有關(guān)的問題,在立體幾何與解析幾何的交會(huì)處命題,對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維能力和掌握核心概念大有裨益,能很好地考查學(xué)生的直觀想象能力和知識(shí)綜合運(yùn)用能力，下面舉例來說明.

1 軌跡的判斷

圖1

A. 當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)C的軌跡是拋物線

B. 當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)C的軌跡是一條直線

C. 當(dāng)λ=2時(shí),點(diǎn)C的軌跡是橢圓

D. 當(dāng)λ=2時(shí),點(diǎn)C的軌跡是雙曲線

圖2

在平面α內(nèi),以AD所在直線為x軸,以AD的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖2所示，設(shè)C(x,y),則

圖3

A. 圓 B. 不完整的圓

C. 拋物線 D. 拋物線的一部分

圖4

設(shè)P(0,y,z) (z≠0),所以

由∠APD=∠CPB,得

將坐標(biāo)代入并化簡得y2+z2+4y-12=0 (z≠0).所以，在平面yAz中,點(diǎn)P的軌跡是不完整的圓.故選B.

2 求運(yùn)動(dòng)軌跡的長度

綜上，曲線的長度是π+π+π=3π.故選D.

圖5

3 求運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積

設(shè)直線l∥BC,延長OG交l于K,連接DK,則∠DKO是點(diǎn)D的平面Γ與底面ABC所成銳二面角的平面角.

由對(duì)稱性可知圓內(nèi)含有3個(gè)與△OEF全等的三角形,則還有三個(gè)與扇形OEH相同的扇形,則

3∠EOH=360°-3×60°=180°,