李良

[摘要]范希爾理論是針對幾何教學提出的，但它體現的是認識事物的一般規(guī)律，因此對其他方面的教學也有很好的借鑒價值.文章借助范希爾理論具體分析學生掌握圓和圓的標準方程所需要經歷的層次，并給出每一層次的教學案例及具體設計意圖.[關鍵詞]范希爾理論;幾何思維水平;圓的標準方程

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0028-02

“圓的標準方程”是高中數學的重點內容之一.圓作為數學中的經典內容，在高中階段被安排在直線之后.通過直線方程的學習，學生初步了解了用代數方法研究幾何問題.本節(jié)內容的研究為后續(xù)學習橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程提供思路，在整個平面解析幾何中起承上啟下的作用.筆者借助范希爾理論對本節(jié)內容的教學進行思考，希望以此強化教學效果，提升學生的理解能力.

一、范希爾幾何思維水平理論簡述

荷蘭學者范希爾夫婦對學生的幾何思維進行了大量的研究，通過研究他們發(fā)現：在教學過程中，教師的教學或者教材的專業(yè)知識和語言經常會超過學生的思維，導致學習效率低下，教學效果不佳.由此，他們總結出幾何思維的五個水平以及相對應的五個階段.水平0：直觀感受.學生能注意到直觀形狀的某些特征;能通過整體輪廓辨認圖形;能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形.水平1：分析.學生能分析圖形的組成要素及特征，并以此建立圖形的特性，能根據組成要素比較圖形，會利用某一性質建立圖形間的關系、圖形性質的順序，進行圖形的分類.水平2：抽象/關聯.學生能建立圖形及圖形性質間的關系，能形成抽象定義，通過圖形與性質的交互聯系重組所獲得的思想.水平3：形式推理.在公理化系統(tǒng)中建立定理，能夠以此進行形式推理.水平4：嚴密性數學.在數學系統(tǒng)下進行形式推理，分析比較不同的集合系統(tǒng).

與之對應，范希爾夫婦提出五個教學階段，便于指導教師教學.階段1：學前咨詢.教師和學生就所學對象進行雙向交談.階段2：引導定向.教師仔細安排活動順序，使學生認識到學習進行的方向，逐漸熟悉所學對象的結構特性.階段3：闡明.教師提供最低程度的提示，學生明確詞匯意義，能夠表達內在結構的看法，開始形成學習的關系系統(tǒng).階段4：自由定向.學生能碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成作業(yè)，在尋找方法和解決問題的過程中獲得經驗.階段5：整合.學生回顧自己所用的方法并形成一種觀點，教師對學生理解的東西做全面的評述，幫助學生完成這一過程.

范希爾理論最初是針對幾何教學提出的，但它也揭示了人類認識事物的一般規(guī)律，對促進學生有效學習與理解，指導教師制訂有效的教學計劃都有重大的意義.

二、學生掌握圓需要經歷的層次圓是日常生活中非常常見的圖形，對它的認識是一個不斷深化發(fā)展的過程，結合范希爾理論，筆者認為學生掌握圓需經歷以下五個層次.

層次1.對圓的初步感知.

該層次相當于范希爾理論中的直觀感知水平，學生能從生活中體會到圓的存在，從而產生研究圓的興趣.

【案例1】

方案1.現實生活中有許多圓的例子，讓學生舉出幾個.

方案2.展示硬幣、圓形盾牌、奔馳車標、奧迪車標等的圖片，問學生從中能發(fā)現什么幾何圖形.

方案3.播放游樂園的簡介視頻（內含摩天輪、旋轉木馬等）.

設計意圖：方案1是從學生自主發(fā)現進行課程導入.此設計基于兩點：（1）圓作為現實中的常見圖形普遍存在于日常生活.（2）作為高中生，經過義務教育階段知識、經驗的積累對于“圓”這個名詞已經有了清楚的認知.因此，問題一經拋出，學生就能發(fā)揮自身的能動性，將客觀事物的形象完美地呈現在腦海中.方案2和方案3是教師帶動學生發(fā)現圖形導入課程.方案2選擇的圖形是靜態(tài)的，此時整個圓的形象更容易呈現.圖片中放置了兩個汽車車標，目的是初次呈現圓與圓的區(qū)別：大小不一，位置不同.方案3中視頻展現的圓是動態(tài)的，與接下來圓的作法可以做到有機街接.在實際操作中也可以將這三個方案結合使用.

層次2.對圓概念的初步認識.

該層次相當于范希爾理論中的分析水平.在此水平上，學生清楚構成圓的要素與特征，但還不能用數學語言進行描述.本層次的目標是經過教師的“引導定向”，讓學生學會畫圓，為之后圓的定義與求圓的標準方程做好鋪墊.

【案例2】探究如何畫圓

師：在數學學習中如何畫圓？

預設答案：使用圓規(guī)作圓，將圓規(guī)的兩只腳張開一定的角度，將其中一只腳放在固定點上，另一只腳緊貼點所在平面，然后轉動圓規(guī)一周，畫出的圖形就是圓.

師：如果沒有圓規(guī)，你能畫圓嗎？（學生思考）

預設答案：（可能情況）

1.固定兩根手指，類似圓規(guī)作圖.

2.尺子上有圓孔，沿著圓孔邊緣畫一圈.

3.比著圓形器物（如硬幣等）的邊緣畫一圈.

4.用電腦軟件繪制圓.

師：如果給你一根線（無彈性），你能畫出圓嗎？

生：能.（學生在紙上先固定線的一端，在線的另一端綁支筆，拉緊線后繞一圈畫圓）

設計意圖：通過不同形式畫圓，使學生逐步建構圓的概念.數學教學要使學生在教師的引導下能動地構建數學認知結構，并能促進師生的共同發(fā)展.教師要創(chuàng)造適當的環(huán)境，以造就學生良好的數學認知結構，滿足后續(xù)的學習需要.最后用線作圓為之后圓的概念的引出起到鋪墊作用.

層次3.對圓概念的抽象認識.

該層次相當于范希爾理論中的抽象關聯水平.在這一水平，學生能掌握建構圓所要的要素，能借助數據之間的聯系進行思維活動，能運用數量關系判定幾何圖形是否為圓.

【案例3】

問題1：用線作圖可以得到哪些圖形？

預設答案：線段、扇形和圓.

問題2：線是否可以有彈性？為什么？在作一個圓的過程中觀察哪些量是固定的？

預設答案：線長不能有彈性，不然畫不出圓.其中一端點定下后是固定的，線長固定.

問題3：結合上面的討論，試總結圓是什么樣的點的軌跡？

預設答案：圓是平面內到定點的距離為定長的點的軌跡，注意前提是“平面內”，與球相區(qū)別.定點為圓心，定長為半徑.

設計意圖：數學定義是對客觀現象的理性認識，本層次致力于用準確的數學語言描述圓的定義.通過師生對話，增進知識的理解，活躍課堂氣氛.

層次4.對圓概念的全面把握.

該層次是范希爾理論中的形式推理水平.此時學生能用演繹推理的方式證實猜想，得到圓的標準方程，并將該知識納入自己的認知結構.

【案例4】

問題1：如何用集合語言描述以點C為圓心，r為半徑的圓？

預設答案：設M是圓上任意一點，則圓上點的集合為：[={M}.

直角坐標系中如何研究圓的標準方程？

問題2.解析幾何問題研究的基本思想是什么？

預設答案：數形結合思想.數形結合可以形助數也能用數解形，由之前的直線內容可知，解析幾何側重于后者.

問題3：如何建立圓的標準方程.

基本步驟：建坐標系，設點，找等量關系，代入坐標，化簡.

設圓心C為（a，b），點M為（x，y），由P={M}可得

上式兩邊平方，得（x-a）²+（y-b）²=r²，這就是我們所要推導的圓的標準方程.

問題4.寫出當C（0，0），半徑為r時圓的標準方程;當r=0，圖形是什么？

預設答案：圓的標準方程為x²+y²=r²;圖形為點.

問題5.圓心與半徑分別決定了什么？

預設答案：圓心決定位置，半徑決定大小.

問題6.如何判斷點與圓的位置關系.

預設答案：點與圓心的距離為d，比較d與r的大小關系來判斷點與圓的位置關系.

整個教學過程，師生積極參與，逐步建構知識，完成方程的推導.

設計意圖：從集合描述入手，借助數形結合思想，利用舊知識獲得新的知識，同時激發(fā)學生思維，培養(yǎng)學生處理問題和解決問題的能力.

層次5.對圓概念的形式化認識.

該層次是范希爾理論中的嚴密性數學水平.在此水平，學生對圓的概念進入形式化階段，能用圓的知識解決一些簡單的問題，同時對笛卡兒思想、數形結合思想和方程思想有了進一步的感悟.

【案例5】圓的標準方程的運用

1.已知圓的標準方程，求圓心和半徑.

①（x-3）²+（y+4）²=r²;

②（x+1）²+y²=r²;

③x²+（y-2）²=r².

2.通過已知條件求圓的標準方程.

①求以點C（0，2）為圓心，r=1為半徑的圓的標準方程.

②設點A（2，3），B（4，1），求以線段從為直徑的圓的標準方程.

3.學生分組討論，借鑒1、2互相編題解題.

4.圓的實際應用（能力提升題）.

已知隧道的截面是半徑4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，問一輛寬2.7 m，高3 m的貨車能否駛入這個隧道？

設計意圖：選取典型例子，幫助學生深化對圓的定義和標準方程的理解.組織編題解題的活動目的是推進學生自主變式訓練，發(fā)揮學生的主觀能動性，提升教學效果.加入應用題表明數學是客觀事物的抽象，有著實際的應用價值，能增強學生的學習興趣.

人類認識事物的過程中需要經歷從特殊到一般，從具體到抽象.范希爾理論正揭示了人類認識事物的一般規(guī)律，筆者借此理論比較具體地分析了學生對圓和圓的標準方程的掌握需要經歷的層次.基于此，教師應按照學生的實際情況進行因材施教，引導學生對概念不斷深化理解，并在此基礎上推進實際應用.

[參考文獻]

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