陳聰聰，李團結*，唐雅瓊，李歡笑

(1.西安電子科技大學，西安 710071；2.中國空間技術研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

星載天線作為接收和反射電磁信號的載體，是實現(xiàn)深空探測、衛(wèi)星導航、衛(wèi)星通訊及電子偵察等任務的關鍵設備。為實現(xiàn)信號的遠距離傳輸及獲取微小發(fā)射功率的信號，星載天線需具有較大的口徑；同時，受火箭運載能力和運載空間的限制，星載天線必須質量輕且為可展開的形式。美國航空航天局(NASA)、俄羅斯宇航局、歐空局(ESA)、日本宇航科學研究所(JAXA)及中國空間技術研究院等科研機構對各種類型的可展開天線進行了相關研究。如圖1所示，根據(jù)結構形式的不同，空間可展開天線可分為固面可展開天線、充氣式可展開天線、半剛性可展開天線及索網(wǎng)反射面可展開天線等[1-3]。

(a) 固面可展開天線 (b) 充氣式可展開天線

目前，在軌運行的大口徑天線主要為索網(wǎng)反射面天線。如圖1. (d)所示，該類天線主要由可展開支撐結構、索網(wǎng)系統(tǒng)和金屬絲網(wǎng)三部分構成。在支撐結構的作用下，索網(wǎng)系統(tǒng)張成特定形狀的反射面，金屬絲網(wǎng)依附于索網(wǎng)系統(tǒng)上，實現(xiàn)電磁信號的反射與接收。為保證電磁波能夠有效的聚集，天線反射面的形面精度需有效保證。

由于索網(wǎng)系統(tǒng)不存在穩(wěn)定的無應力狀態(tài)，需要施加一定的預張力才能使其張成滿足工作需求的形狀并具有一定的承載剛度?，F(xiàn)有天線反射面設計方法主要有兩種：一是節(jié)點與預張力分步設計方法，即首先根據(jù)一定的形面精度要求設計網(wǎng)面節(jié)點的幾何位置，然后尋求一組可使網(wǎng)面節(jié)點保持在設計位置的平衡預張力，常用的預張力設計方法有非線性有限元法、極小二范數(shù)、動力松弛法、逆迭代算法等；二是節(jié)點與預張力耦合設計方法，即利用張力與幾何的耦合關系實現(xiàn)索網(wǎng)的幾何設計的方法，常用的有Linkwitz和Schek等人[4]提出的力密度法及其演變方法[5]。

天線索網(wǎng)系統(tǒng)的幾何形狀和預張力相互牽制、相互耦合。一方面，當預張力設計不合理時，往往會造成一定的網(wǎng)面誤差，影響天線精度；另一方面，當幾何結構設計不合理時，又會造成預張力的不均勻，影響反射面的穩(wěn)定性，甚至出現(xiàn)不存在使節(jié)點平衡的解的情況。

傘型索網(wǎng)反射面可展開天線(如圖2所示)結構簡單可靠，反射面精度好，在我國成功應用于多個型號中。本文針對傘型天線中廣泛應用的工字型索網(wǎng)[6](如圖3所示)，提出一種幾何與力集成設計方法，該方法可有效控制背網(wǎng)面的張力水平且不受反射面及邊界條件對稱性的限制，具有較好的通用性。

圖2 嫦娥四號月球探測器中繼衛(wèi)星Fig.2 Relay satellite of Chang'e-4 lunar probe

圖3 工字型索網(wǎng)結構示意圖Fig.3 A schematic of I-shaped cable net structure

1 工字型索網(wǎng)幾何與力集成設計方法

1.1 工字型索網(wǎng)節(jié)點力平衡條件

單片工字型索網(wǎng)如圖4所示。為保證反射面的形面精度，前網(wǎng)面的節(jié)點均位于理想反射面上；張力陣與背網(wǎng)面共同作用為前網(wǎng)面成形提供必要的張力；邊界節(jié)點為索網(wǎng)與可展開支撐結構的連接點。

圖4 單片工字型索網(wǎng)Fig.4 Single I-shaped cable net

索網(wǎng)上某節(jié)點i的力平衡方程為：

(1)

其中：Tij為索段的張力；lij為索段長度；j為與節(jié)點i相連的節(jié)點；(xi,yi,zi)，(xj,yj,zj)分別為節(jié)點i和節(jié)點j的坐標值；fix,fiy,fiz為節(jié)點在x,y,z方向所受外力；ci為與節(jié)點i相連的索單元數(shù)。對于索網(wǎng)中的自由節(jié)點，當其處于平衡狀態(tài)時所受外力為0，即fix=fiy=fiz=0。對于拓撲形狀已經(jīng)確定的索網(wǎng)結構，當其在不受外載荷作用達到自平衡狀態(tài)時，結構中所有非約束節(jié)點的力平衡方程是一個齊次線性方程組：

MT=0

(2)

其中：M為節(jié)點力平衡方程的系數(shù)矩陣，由索網(wǎng)節(jié)點位置和節(jié)點間連接關系唯一確定；T是索單元的張力向量。

對于平面工字型索網(wǎng)結構，當前網(wǎng)面分段數(shù)為N時，整個索網(wǎng)的約束方程數(shù)為4(N-1)(前、背網(wǎng)面各N-1個自由節(jié)點，每個節(jié)點X,Y方向分別受力平衡)，未知索力數(shù)為3N-1，當N>3時，未知變量數(shù)小于約束方程數(shù)，此時，節(jié)點平衡方程可能無解，即不能求得適當?shù)乃髁χ?，使網(wǎng)面的所有節(jié)點均取得平衡。

特別的，對于邊界條件對稱的工字型索網(wǎng)(四個邊界節(jié)點位于矩形的四個角點上)，可直接將前網(wǎng)面節(jié)點及張力進行對稱得到背網(wǎng)面節(jié)點及張力[7]。對于邊界條件不對稱的索網(wǎng)，多采用不斷迭代背網(wǎng)面節(jié)點坐標的方式，尋找一組存在平衡張力的節(jié)點位置[8]。上述方法均可得到滿足一定精度要求的節(jié)點坐標及平衡張力，但未考慮背網(wǎng)張力值水平。

為此，提出一種可直接考慮背網(wǎng)張力水平的工字型索網(wǎng)幾何與力集成設計方法。

1.2 背網(wǎng)面節(jié)點坐標及張力計算

如圖5所示，背網(wǎng)面上節(jié)點i的坐標為Si=(xi,yi,zi)，與其相連的三個節(jié)點分別為ui,i-1,i+1。

圖5 背網(wǎng)面坐標及張力求解示意圖Fig.5 Solution diagram of coordinates and pretensions of back net

為使節(jié)點i平衡，則節(jié)點i、i-1、i+1、ui必須在同一平面上，該平面的方程為：

n(x-xi)+m(y-yi)+p(z-zi)=0

(3)

其中，(n,m,p)為平面的方向向量，可利用式(4)求解。

(n,m,p)=(xui-xi,yui-y,zui-zi)×

(xi-1-xi,yi-1-yi,zi-1-zi)

(4)

節(jié)點i+1的坐標Si+1為節(jié)點i,i-1,ui坐標Si、Sui、Si+1的函數(shù)，即：

Si+1=G(Si-1,Si,Sui)

(5)

節(jié)點i的平衡方程為：

fi+fi+1+fui=0

(6)

其中，fi,fui,fi+1是圖中對應索段的張力向量，其大小分別fi,fui,fi+1。索力fi+1為索力fi,fui的函數(shù)：

fi+1=F(fi,fui)

(7)

所以，平衡時背網(wǎng)面節(jié)點坐標為前網(wǎng)面節(jié)點坐標和背網(wǎng)面第一根索張力的單值函數(shù)。

1.3 工字型索網(wǎng)幾何與力集成設計方法

對于xoy平面內，張力陣沿y方向的平面工字型索網(wǎng)，若要求前網(wǎng)面節(jié)點位置不變，則根據(jù)平面投影原理，給定前網(wǎng)面張力沿水平方向的分量F1x，前網(wǎng)面和張力陣中的張力將唯一確定。

圖6 平面工字型索網(wǎng)迭代求解流程圖Fig.6 Flow chart of iterative algorithm of planar I-shaped cable net

稍加改進，上述方法可推廣至前網(wǎng)面具有一定垂度的空間工字型索網(wǎng)的幾何與預張力設計中。由于金屬絲網(wǎng)張力等因素的影響，反射面邊界處的索網(wǎng)往往具有一定的垂度。網(wǎng)面設計過程中要求前網(wǎng)面節(jié)點位于理想反射面上且位置保持不變，張力陣在xoy面內的投影平行于y軸。采用嵌套迭代的方式進行求解，具體流程如圖7所示。

圖7 空間工字型索網(wǎng)迭代求解流程圖Fig.7 Flow chart of iterative algorithm of spatial I-shaped cable net

2 算例驗證

對于圖8所示的平面工字型索網(wǎng)，其前網(wǎng)面分為8段，張力陣沿豎直方向，圖中各節(jié)點坐標如表1所示。

圖8 工字型索網(wǎng)節(jié)點編號Fig.8 Node number of I-shaped cable net

表1 平面工字型索網(wǎng)各節(jié)點坐標Table 1 Node coordinates of planar I-shaped cable net

給定前網(wǎng)面張力的水平分量為10N，背網(wǎng)面張力水平分量為20N，算法迭代極限誤差為1×10-13，用進退法進行迭代求解。如圖9所示，經(jīng)過361步迭代，算法收斂，迭代總用時0.0275s。給定不同的背網(wǎng)面張力水平分量值，設計結果如圖10所示，可見，本文所提方法可很好的控制背網(wǎng)面的張力水平。

圖9 算法迭代曲線Fig.9 Algorithm iteration curve

圖10 不同背網(wǎng)面索力水平下的節(jié)點位置Fig.10 Node coordinates of back net under different pretension levels

使用ANSYS軟件對所提網(wǎng)面設計方法的正確性進行驗證。使用不受壓桿單元LINK10對索網(wǎng)進行建模，給定索網(wǎng)的彈性模量為40GPa，索網(wǎng)直徑為0.8mm，仿真結果如圖11所示。各節(jié)點的最大位移為0.705×10-13m，這說明索網(wǎng)各節(jié)點在給定張力作用下處于平衡位置，因此本文所提索網(wǎng)設計方法是有效的。

圖11 平面工字型索網(wǎng)變形云圖Fig.11 Deformation of planer I-shaped cable net

當前網(wǎng)面在金屬絲網(wǎng)的作用下具有一定的垂度時，各節(jié)點坐標如表2所示。

表2 空間工字型索網(wǎng)各節(jié)點坐標Table 2 Node coordinates of Spatial I-shaped cable net

給定前網(wǎng)面張力的水平分量為10N，背網(wǎng)面張力水平分量為20N，算法迭代極限誤差為1×10-13，用進退法進行迭代求解。同樣使用ANSYS軟件進行驗證，材料參數(shù)與上例相同，金屬絲網(wǎng)對索網(wǎng)的作用以外力的形式添加到前網(wǎng)面的節(jié)點上，仿真結果如圖12所示。各節(jié)點的最大位移為0.115×10-13m，驗證了所提方法的有效性。

圖12 空間工字型索網(wǎng)變形云圖Fig.12 Deformation of spatial I-shaped cable net

3 結論

幾何與預張力設計直接影響空間索網(wǎng)反射面天線的形面精度，進而影響其電性能。本文提出一種適用于工字型索網(wǎng)的幾何與預張力集成設計方法，并進行了算例驗證。所提設計方具有較高的精度，可實現(xiàn)對背網(wǎng)面張力水平的控制且不受反射面及邊界條件對稱性的限制，具有一定的應用價值。