王志偉

(江蘇省常州市金壇區(qū)金沙高級中學(xué) 213200)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有指導(dǎo)和引領(lǐng)作用，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程，逐步形成學(xué)生的思維品質(zhì)，關(guān)鍵能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.這就要求我們的課堂教學(xué)必須圍繞核心素養(yǎng)而展開，為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人.那么，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)呢？結(jié)合“函數(shù)的和，差，積，商的導(dǎo)數(shù)”一課的課堂教學(xué)實(shí)錄，就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的滲透作了一些嘗試和思考.

一、課前思考

“函數(shù)的和，差，積，商的導(dǎo)數(shù)”的重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握求導(dǎo)法則，并能靈活運(yùn)用，因此在以前的教學(xué)中，我們往往采用如下教學(xué)方法：首先由教材例題求y=x2+x的導(dǎo)數(shù)的講評分析，歸納出函數(shù)的和的求導(dǎo)法則，然后直接列出其他求導(dǎo)法則，分析其結(jié)構(gòu)特征，并要求學(xué)生記憶，然后通過大量的練習(xí)，著重講授求導(dǎo)法則的應(yīng)用.這樣的課堂教學(xué)，教師講得非常輕松，效果也不錯(cuò).但仔細(xì)想想，這種課堂雖然看上去非常流暢，但缺少數(shù)學(xué)的“靈氣”，有點(diǎn)要把學(xué)生訓(xùn)練為“數(shù)學(xué)操作工”的意味，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想方法等得不到鍛煉，體現(xiàn)不了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，核心素養(yǎng)的滲透更是無從談起.課堂教學(xué)還是要遵循新課程理念，從長遠(yuǎn)考慮，不能急功近利，要切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.因此，本節(jié)課準(zhǔn)備改變教學(xué)策略，側(cè)重求導(dǎo)法則的探究，在探究過程中穿插求導(dǎo)法則的運(yùn)用.在知識的生成過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

二、教學(xué)過程片段

師：問題1，y=x2+x的導(dǎo)數(shù)是什么？

生1：y′=2x+1.

師：你是怎么得到的？

生1：利用導(dǎo)數(shù)的定義.

師：很好，這個(gè)結(jié)論是正確的，再來觀察一下，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的各項(xiàng)之間有什么關(guān)系？

生2：(x2)′=2x,x′=1,故(x2+x)′=2x+1.

師：很好，你能不能推廣到一般形式呢？

生2：應(yīng)該是兩個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和.

師：我們知道，猜想到的不一定正確，需要嚴(yán)格的證明，你能證明嗎？

生2：利用定義證明(略).

師：這樣我們得到求導(dǎo)

法則1：

[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)(板書).

師：問題2，如何求y=3x2的導(dǎo)數(shù).

生3：利用導(dǎo)數(shù)的定義，可以求出y′=6x.

師：很好，你能不能借助法則1來求出它的導(dǎo)數(shù)？

生3：將y=3x2看成y=x2+x2+x2，(x2)′=2x,(3x2)′=2x+2x+2x=6x.

師：推廣成一般形式呢？

生3：c·f(x)就是c個(gè)f(x)相加，所以[cf(x)]′=cf′(x).

師：這樣得到求導(dǎo)

法則2：

[cf(x)]′=cf′(x)(板書).

師：問題3，你能不能利用法則1和法則2，推導(dǎo)出[f(x)-g(x)]′=？

生4：[f(x)-g(x)]′=[f(x)+(-g(x))]′=f′(x)+(-g(x)′)=f′(x)-g′(x).

師：可以看出：兩個(gè)函數(shù)的差的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的差，即

[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)(板書).

師：問題4，函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)是否也等于導(dǎo)數(shù)的積呢？

(有同學(xué)認(rèn)為是對的，有同學(xué)略作思考后認(rèn)為是錯(cuò)的)

生5：我認(rèn)為是錯(cuò)誤的，可以找一個(gè)特例：如：函數(shù)y=cf(x)，把常數(shù)c看成函數(shù)g(x)，這樣y=cf(x)可以看成y=f(x)·g(x)，如果函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的積，那么[cf(x)]′=c′·f′(x)=0·f′(x)=0，與[cf(x)]′=cf′(x)矛盾.

師：很好，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.能不能猜想出函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則嗎？

(學(xué)生陷入沉思，部分同學(xué)在討論，驗(yàn)證)

師：(點(diǎn)撥)是否可以利用剛才同學(xué)的思路，從兩個(gè)函數(shù)的形式上考慮？

生6：把常數(shù)c看成函數(shù)g(x)，這樣y=cf(x)可以看成y=f(x)·g(x)，由[cf(x)]′=cf′(x)，故[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)，但我利用特例x3=x·x2來驗(yàn)證，這個(gè)結(jié)論不正確，應(yīng)該少了什么？

師：生6講得很有道理，哪位同學(xué)幫他解決這個(gè)疑惑呢？

生7：從對稱的角度看，f(x)與g(x)的地位相同，應(yīng)該還有f(x)·g′(x)項(xiàng)，但由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，即g′(x)=0，所以才有[cf(x)]′=cf′(x)，因此可以猜想[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x).

師：請同學(xué)們找?guī)讉€(gè)特例來驗(yàn)證一下，看看結(jié)論是否正確.

(學(xué)生嘗試后，點(diǎn)頭認(rèn)同)

師：生7講得非常好，他從兩個(gè)函數(shù)的地位完全相同的角度考慮，得到求導(dǎo)后的形式也應(yīng)該是一樣的結(jié)論，合情合理，這樣我們得到

法則3：[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(板書).

這個(gè)結(jié)論的證明我們留在課后完成.

師：問題5，你能否根據(jù)函數(shù)積的求導(dǎo)法則，猜想一下函數(shù)的商的求導(dǎo)法則呢？.

(大家在思考討論，大概5分鐘后，有一位同學(xué)站了起來)

令g(x)=x，

因?yàn)閤′=1，所以可以猜想：

我找了幾個(gè)特例驗(yàn)證了一下，都是正確的.

師：生8的思路非常清晰，猜想有理有據(jù)，而且他最大的閃光點(diǎn)在于，不是兩個(gè)函數(shù)都用特例來處理，而是一個(gè)用特例，一個(gè)用抽象函數(shù)f(x)表示，這樣在猜想商的求導(dǎo)法則時(shí)，比較容易找到特征形式.

有了這些求導(dǎo)法則后，我們將基本初等函數(shù)的求導(dǎo)推廣到由基本函數(shù)的四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo)公式，簡化了我們的運(yùn)算，可謂意義深遠(yuǎn)啊！(略)

三、教學(xué)反思

這節(jié)課通過具體的，學(xué)生非常熟悉的函數(shù)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生一步一步探究函數(shù)的和差積商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，學(xué)生的思維在逐步向深度和廣度擴(kuò)散，通過有目的的猜想與驗(yàn)證，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又讓學(xué)生體會了數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程——先猜再證，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力，在探究的過程中，蘊(yùn)含著從特殊到一般的歸納推理，由此及彼的類比推理，學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)在潛移默化中得到培養(yǎng).這節(jié)課表面看起來主要是在進(jìn)行法則的推理論證，缺少法則的應(yīng)用，但其實(shí)在四個(gè)求導(dǎo)法則的演變過程中，求導(dǎo)法則的運(yùn)用一直穿插在其中.可以看出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等多個(gè)部分滲透于整節(jié)課中，這樣的課堂可能更受學(xué)生的喜愛，更符合新課程的標(biāo)準(zhǔn)，也是核心素養(yǎng)教學(xué)所倡導(dǎo)的.