姚娟妹
數(shù)學(xué)世界浩瀚如海,代數(shù)幾何變幻無(wú)窮。平面直角坐標(biāo)系中求不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn)。求不規(guī)則圖形的面積沒(méi)有公式可直接運(yùn)用,看似不可能解決,但是如果能把它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形,那么問(wèn)題就迎刃而解。我們以平面直角坐標(biāo)系中求三角形的面積為例,領(lǐng)略其中的奧妙。
一、直接利用三角形面積公式
例1 如圖1,已知A(1,-1),B(1,3),C(-3,1),求△ABC的面積。
【點(diǎn)撥】如圖2,該三角形有一條邊AB∥y軸,AB的長(zhǎng)度等于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值,AB邊上的高CD等于C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值,再將AB、CD的長(zhǎng)度代入三角形面積公式即可。當(dāng)三角形有一邊平行于坐標(biāo)軸時(shí),通常以這條平行于坐標(biāo)軸的邊作為三角形的底邊,易于求解。
【解析】如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D,AB=4,CD=4,S△ABC=1/2×AB×CD=1/2×4×4=8。
二、化“不規(guī)則”為“規(guī)則”
例2 如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(0,-2),B(4,2),C(1,8),求△ABC的面積。
【點(diǎn)撥一】初看此題,△ABC為“不規(guī)則”圖形,感覺(jué)無(wú)從下筆。仔細(xì)看圖就會(huì)發(fā)現(xiàn),我們只要過(guò)三角形的頂點(diǎn)作x軸或y軸的平行線,把三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形,再用該矩形的面積減去其他3個(gè)“規(guī)則”三角形的面積,即可求解。這種方法我們稱為“補(bǔ)形”。
【方法一】如圖4,分別過(guò)A、C作x軸的平行線,過(guò)B作y軸的平行線,得到矩形ADEF,S△ABC=S矩形ADEF-S△ABD-S△BCE-S△ACF=18。
【點(diǎn)撥二】當(dāng)三角形的三邊都不平行于坐標(biāo)軸時(shí),可以過(guò)三角形的某一頂點(diǎn)作z軸或者y軸的平行線,將三角形分割成兩個(gè)三角形,再分別求這兩個(gè)三角形的面積。這種方法稱為“分割”。
【方法二】(有興趣的同學(xué)可嘗試)如圖5,過(guò)B作BE∥x軸,交y軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F;過(guò)C作CG_LBE于點(diǎn)G。CG=8-2=6,AE=2-(-2)=4。由A(0,-2),C(1,8),可以求得直線AC的解析式為y=10x-2,又由BE∥x軸,可得F點(diǎn)坐標(biāo)為(2/5,2),所以BF=4-2/5=18/5,故:S△ABC=S△ABF+S△BCF=1/2×BF×AE+1/2×BF×CG=18。
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求平面直角坐標(biāo)系中三角形面積一般先確定三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo),找準(zhǔn)三角形的底和高。也可以將三角形補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則圖形,如矩形。或者將三角形分割成兩個(gè)三角形,然后再求解。上述題目除了用割補(bǔ)法求解,還可以考慮用等積變換等方法來(lái)解,有興趣的同學(xué)可以嘗試一下。