姚娟妹

數(shù)學(xué)世界浩瀚如海，代數(shù)幾何變幻無(wú)窮。平面直角坐標(biāo)系中求不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn)。求不規(guī)則圖形的面積沒(méi)有公式可直接運(yùn)用，看似不可能解決，但是如果能把它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形，那么問(wèn)題就迎刃而解。我們以平面直角坐標(biāo)系中求三角形的面積為例，領(lǐng)略其中的奧妙。

一、直接利用三角形面積公式

例1 如圖1，已知A（1，-1），B（1，3），C（-3，1），求△ABC的面積。

【點(diǎn)撥】如圖2，該三角形有一條邊AB∥y軸，AB的長(zhǎng)度等于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，AB邊上的高CD等于C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，再將AB、CD的長(zhǎng)度代入三角形面積公式即可。當(dāng)三角形有一邊平行于坐標(biāo)軸時(shí)，通常以這條平行于坐標(biāo)軸的邊作為三角形的底邊，易于求解。

【解析】如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，AB=4，CD=4，S_△ABC=1/2×AB×CD=1/2×4×4=8。

二、化“不規(guī)則”為“規(guī)則”

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，-2），B（4，2），C（1，8），求△ABC的面積。

【點(diǎn)撥一】初看此題，△ABC為“不規(guī)則”圖形，感覺(jué)無(wú)從下筆。仔細(xì)看圖就會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們只要過(guò)三角形的頂點(diǎn)作x軸或y軸的平行線，把三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形，再用該矩形的面積減去其他3個(gè)“規(guī)則”三角形的面積，即可求解。這種方法我們稱為“補(bǔ)形”。

【方法一】如圖4，分別過(guò)A、C作x軸的平行線，過(guò)B作y軸的平行線，得到矩形ADEF，S_△ABC=S_矩形ADEF-S_△ABD-S_△BCE-S_△ACF=18。

【點(diǎn)撥二】當(dāng)三角形的三邊都不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，可以過(guò)三角形的某一頂點(diǎn)作z軸或者y軸的平行線，將三角形分割成兩個(gè)三角形，再分別求這兩個(gè)三角形的面積。這種方法稱為“分割”。

【方法二】（有興趣的同學(xué)可嘗試）如圖5，過(guò)B作BE∥x軸，交y軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F;過(guò)C作CG_LBE于點(diǎn)G。CG=8-2=6，AE=2-（-2）=4。由A（0，-2），C（1，8），可以求得直線AC的解析式為y=10x-2，又由BE∥x軸，可得F點(diǎn)坐標(biāo)為（2/5，2），所以BF=4-2/5=18/5，故：S_△ABC=S_△ABF+S△_BCF=1/2×BF×AE+1/2×BF×CG=18。

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求平面直角坐標(biāo)系中三角形面積一般先確定三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，找準(zhǔn)三角形的底和高。也可以將三角形補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則圖形，如矩形。或者將三角形分割成兩個(gè)三角形，然后再求解。上述題目除了用割補(bǔ)法求解，還可以考慮用等積變換等方法來(lái)解，有興趣的同學(xué)可以嘗試一下。