任蕾
一次函數(shù)在實(shí)際生活中有廣泛的運(yùn)用。學(xué)習(xí)了一次函數(shù),我們可以運(yùn)用一次函數(shù)知識建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。下面以調(diào)水問題為例,研究如何解決調(diào)運(yùn)方案類問題。
例題 從A、B兩水庫向甲、乙兩地調(diào)水,其中甲地需水15萬噸,乙地需水13萬噸,A、B兩水庫各可調(diào)出水14萬噸。從A水庫到甲地50千米,到乙地30千米;從B水庫到甲地60千米,到乙地45千米。請你設(shè)計調(diào)運(yùn)方案,使水的調(diào)運(yùn)總量(萬噸·千米)盡可能小。
【分析】題中變量較多,信息量大,可以把問題逐步分解:
(1)調(diào)運(yùn)總量與哪些因素有關(guān)?
調(diào)運(yùn)總量與水庫(A或B)向需水地(甲或乙)供水的重量及調(diào)運(yùn)路程有關(guān)。
(2)調(diào)運(yùn)過程中包含哪些不同地點(diǎn)間的調(diào)運(yùn)?路程各為多少?
調(diào)運(yùn)過程中有A到甲、A到乙、B到甲、B到乙這四種不同地點(diǎn)間的調(diào)運(yùn),路程分別為50千米、30千米、60千米、45千米。不難看出,兩地之間的路程是一定的,結(jié)合(1)可知,調(diào)運(yùn)總量隨水庫向需水地供水的重量的變化而變化。由此可以確定某水庫向某需水地的供水量為自變量(不妨設(shè)從A水庫調(diào)往甲地的水量為x萬噸),通過列表厘清其他水庫與各需水地調(diào)入的水量之間的關(guān)系,如下表:
(3)總的調(diào)運(yùn)量由幾部分組成?如何表示總的調(diào)運(yùn)量?
由上圖可知總的調(diào)運(yùn)量由四部分組成,設(shè)總的調(diào)運(yùn)量為y(萬噸·千米),可列函數(shù)關(guān)系式:y=50x+30(14-x)+60.(15-x)+45 (x-1),化簡為y=5x+1275。
(4)考慮自變量的取值范圍。
要使每個量都有實(shí)際意義,即
(5)利用一次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合自變量的取值范圍說出最佳調(diào)運(yùn)方案。
本題中k=5>0,y隨x的增大而增大。因此當(dāng)x=1時,y有最小值,即調(diào)運(yùn)量最小。最佳調(diào)水方案是:A水庫向甲地調(diào)水1萬噸,向乙地調(diào)水13萬噸;B水庫向甲地調(diào)水14萬噸,向乙地調(diào)水0噸。
【歸納】解決含有多個變量的實(shí)際問題時,應(yīng)先分析變量之間的關(guān)系,選取有代表性的變量作為自變量,進(jìn)一步表示出其他變量,再根據(jù)條件尋求可以反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型(例如函數(shù)模型),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識予以解決。
【練習(xí)】某市的C縣和D縣上個月發(fā)生水災(zāi),急需救災(zāi)物資10噸和8噸。該市的A縣和B縣伸出援助之手,分別募集到救災(zāi)物資12噸和6噸,全部贈給C縣和D縣。已知A、B兩縣運(yùn)送到C、D兩縣的每噸物資的運(yùn)費(fèi)如下表所示:
(1)設(shè)B縣運(yùn)到C縣的救災(zāi)物資為x噸,求總運(yùn)費(fèi)w(元)關(guān)于x(t)的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍;(2)求最低總運(yùn)費(fèi),并說出總運(yùn)費(fèi)最低時的運(yùn)送方案。
參考答案:
(1)w=-40x+980(0≤x≤6)。
(2)最低總運(yùn)費(fèi)為740元,運(yùn)送方案為:B縣運(yùn)到C縣的物資為6噸,B縣運(yùn)到D縣的物資為0噸;A縣運(yùn)到C縣的物資為4噸,A縣運(yùn)到D縣的物資為8噸。