在一次函數(shù)的大家庭中,有這樣一種形式的解析式,在對它進行探究的過程中,給我們以驚喜。
【問題】無論k取何值,直線y=kx-k都經(jīng)過一個定點,求這個定點的坐標。
我們不妨先任取幾個k的值,作出圖像:
如圖1,分別取k的值為1,-2,1/2,得直線l1,l2,l3,解析式分別為l1:y=x-1,l2:y=-2x+2,l3:y=1/2x-1/2。由圖可知,三條直線都經(jīng)過同一點(1,0)。把(1,0)代入y=kx-k中成立,由此可知無論k取何值,直線y=kx-k都過定點(1,0)。
那么,能否從代數(shù)的角度去分析,得出這個結果呢?我把原式改寫為:y=(x-1)·k。若k的值發(fā)生改變,則點的坐標也發(fā)生改變。而題為“求一定點”,故當x取某個值時,無論k取何值,y總有固定不變的取值。而這種情況,只有當k前“系數(shù)”為零時才能滿足,即x=1,y=0。故其經(jīng)過定點(1,0)。
來個相關變式題,看你能接招不?變式:求原點到y(tǒng)=kx-3k+2的最大距離。
怎么樣?啊?還不過癮?那再來一個,“頭腦風暴”再次開始。接招:如圖3,已知直線l1:y=-2x+4與直線l2:y=kx+b(k≠0)在第一象限內交于點M,若直線l2與x軸的交點為A(-2,0),則k的取值范圍是__________________。
一種思路,從臨界位置考慮,直線l2分別過“臨界點”(0,4)和(2,0),再由(-2,0)這一點,分別求出對應的兩條直線解析式,這樣由“數(shù)形結合”便能得出k的取值范圍。
我們也可利用前兩題所得結論:當x前的系數(shù)與常數(shù)用同一參數(shù)表示時,該直線必經(jīng)過一個定點。倒過來說,若其經(jīng)過一個定點,則x前的系數(shù)與常數(shù)可用同一參數(shù)表示。此題中直線l2過一定點(-2,0),可設l2:y=(x+2)k,即y=kx+2k,則它與y軸的交點為P(0,2k)。因為它與l1的交點在第一象限,則0<2k<4,所以0
神奇的參數(shù),確實能帶來神奇的解法!
老師點評
“從特殊到一般”“找共性”,這一研究問題的基本思路,翟遠航同學在本題中進行了很好的演示。不僅如此,他還善于總結、反思、類推。在平時的學習過程中,大家若能做到凡事探個究竟,找出問題的本質所在,那么也可以做到“舉一反三”,達到“會一題,通一片”的學習效果。