李長(zhǎng)興，關(guān)金鋒，李回貴，辛程鵬

(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院礦業(yè)工程學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)應(yīng)急管理與安全工程學(xué)院，北京 100083)

煤與瓦斯突出是煤體中儲(chǔ)藏的應(yīng)力能和瓦斯能在極短的時(shí)間內(nèi)失穩(wěn)釋放并向生產(chǎn)空間拋出大量瓦斯和煤巖的現(xiàn)象，是煤礦生產(chǎn)過程中最嚴(yán)重的災(zāi)害之一[1]。隨著我國(guó)煤礦開采機(jī)械化水平的提高和開采深度的加深，煤與瓦斯突出礦井的數(shù)量和突出強(qiáng)度都呈逐年加大的趨勢(shì)[2]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)工作中進(jìn)行了大量探索，提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、模糊數(shù)學(xué)法、電磁輻射法、灰色理論法、混沌時(shí)間序列法、免疫遺傳法、災(zāi)變級(jí)數(shù)法等[3-11]，這些方法在突出預(yù)測(cè)中取得了很大成效，但也存在一些不足，如灰色理論法中灰數(shù)的白化和模糊數(shù)學(xué)法中的隸屬度確定均很困難，電磁輻射法的電磁輻射信號(hào)和混沌時(shí)間序列法的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)易受到干擾，免疫遺傳法和災(zāi)變級(jí)數(shù)法計(jì)算復(fù)雜且丟失信息較多等，這些都會(huì)造成預(yù)測(cè)的結(jié)果失準(zhǔn)。由于煤與瓦斯突出極其復(fù)雜且機(jī)理尚未可知，突出預(yù)測(cè)的敏感指標(biāo)和臨界值又很難確定，因此如何準(zhǔn)確地對(duì)煤與瓦斯突出進(jìn)行預(yù)測(cè)是煤礦安全開采中遇到的最大困難之一。筆者基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析理論，采用逐步判別法對(duì)影響煤與瓦斯突出的指標(biāo)進(jìn)行篩選，建立煤與瓦斯突出的Bayes-判別分析模型。從雜亂無章的突出實(shí)例數(shù)據(jù)中尋求各因素與突出之間的內(nèi)在聯(lián)系，用直觀的數(shù)學(xué)方法來反映總體間的類別差異，從而有效地對(duì)煤與瓦斯突出進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 Bayes判別分析法

1.1 Bayes判別分析法基本原理

判別分析法近年來在社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)及自然科學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，Bayes判別分析法是其中最具代表性的一種。Bayes判別分析法的基本思想[12]是假設(shè)對(duì)所要研究的事物已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)，常用先驗(yàn)概率來對(duì)這種認(rèn)識(shí)進(jìn)行描述；然后抽取其中一個(gè)樣本對(duì)已有的這種認(rèn)識(shí)(先驗(yàn)概率分布)進(jìn)行修正，進(jìn)而得到后驗(yàn)概率分布。各種推斷統(tǒng)計(jì)都是基于后驗(yàn)概率分布來進(jìn)行的。

設(shè)有k個(gè)總體G1,G2,…,Gk,其密度分布函數(shù)分別為f1(x),f2(x),…,fk(x),各總體的先驗(yàn)概率分布為q1,q2,…,qk。在對(duì)樣品x判定歸屬哪一總體時(shí)，可以根據(jù)貝葉斯公式計(jì)算樣品x來自Gi總體的后驗(yàn)概率，見式(1)。

(1)

(2)

式中，L(j/i)為損失函數(shù)，它表示把屬于總體Gi的樣品錯(cuò)判為總體Gj的損失。顯然式(2)是錯(cuò)判的平均損失。

當(dāng)j=i時(shí)，L(Gj/x)=0;當(dāng)j≠i時(shí)，L(Gj/x)>0。建立的判別準(zhǔn)則見式(3)。

(3)

若滿足式(3),則判定樣品x歸屬總體Gj。由于L(Gj/x)不易確定，故常假設(shè)各種錯(cuò)判的損失均相等，見式(4)。

(4)

因此，使后驗(yàn)概率P(Gj/x)最大和使錯(cuò)判的平均損失E(Gj/x)最小是等價(jià)的，見式(5)。

(5)

1.2 多元正態(tài)總體的Bayes判別分析法

在實(shí)際中往往遇到的總體服從正態(tài)分布，因此下面給出n元正態(tài)總體的Bayes判別分析法[13]。

1) 判別函數(shù)的導(dǎo)出。由Bayes判別分析法原理可知，使用Bayes判別分析法作判別分析時(shí)，首先要知道待判總體的密度分布函數(shù)和先驗(yàn)概率分布。一般可用待判樣品頻率qi=mi/m來代替先驗(yàn)概率，或令各總體先驗(yàn)概率相同，即Σ=Σ1=Σ2=…=Σk,那么n元正態(tài)分布密度函數(shù)見式(6)。

(6)

式中，Σ(i)和μ(i)分別為總體Gi的協(xié)方差陣和均值向量。把fi(x)代入P(Gi/x)的函數(shù)表達(dá)式中，在計(jì)算使P(Gi/x)最大的i時(shí)，由于不論i取值為何式中分母都是常數(shù)，故有式(7)。

(7)

取對(duì)數(shù)并將與i無關(guān)項(xiàng)去掉后，則判別函數(shù)可簡(jiǎn)化為式(8)。

(8)

式中，i=1,2,…,k,那么判別規(guī)則變?yōu)槭?9)。

(9)

(10)

(11)

合并后的樣本協(xié)方差陣為式(12)。

(12)

3) 計(jì)算后驗(yàn)概率。在進(jìn)行判別分類計(jì)算時(shí)，主要根據(jù)y(Gi/x)的大小，其次是根據(jù)后驗(yàn)概率P(Gi/x)。但知道y(Gi/x)的大小后，便可計(jì)算出P(Gi/x),見式(13)。

(13)

因y(Gi/x)=ln(qifi(x))-Δ(x),其中Δ(x)是ln(qifi(x))中與i無關(guān)的項(xiàng)。故有式(14)。

(14)

根據(jù)式(14)可知，使y(Gj/x)最大的j必然也會(huì)使P(Gi/x)為最大。因此，只需將樣本x代入到判別函數(shù)式中，分別計(jì)算y(Gi/x)，i=1,2,…,k。其判別規(guī)則即為式(15)。

(15)

若滿足式(15),則把樣本x歸屬到Gj總體中。

1.3 Bayes判別準(zhǔn)則顯著性檢驗(yàn)

為了考察上述所建立的判別準(zhǔn)則與判別函數(shù)的準(zhǔn)確度，可采用計(jì)算誤判率的檢驗(yàn)方法。通常以樣本數(shù)據(jù)回代估計(jì)的方法來計(jì)算誤判率，具體計(jì)算方法如下所述。

通過挖掘整合行業(yè)內(nèi)外資源，開發(fā)形成“油氣技術(shù)”專題，涉及勘探、開發(fā)、煉化、管道、工程及銷售等專業(yè)領(lǐng)域，涵蓋油氣行業(yè)上下游業(yè)務(wù)。

(16)

2 煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)的Bayes-逐步判別模型

2.1 判別因子的選取

在判別分析問題中，影響判別能力的變量很多，且影響程度大小不一。如果把主要的變量誤剔除，那么建立的判別函數(shù)其判別效果一定不佳。但判別變量很多而又不加剔除地全部被選入所構(gòu)建的判別函數(shù)，不僅會(huì)造成計(jì)算量大的后果，還會(huì)因變量間的相關(guān)度低而使得在求解逆矩陣時(shí)計(jì)算精度下降，反而會(huì)因?qū)ε袆e不起作用的指標(biāo)過多而干擾判別結(jié)果。因此，在進(jìn)行煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)判別時(shí)需對(duì)判別因子進(jìn)行篩選。筆者搜集選取國(guó)內(nèi)某一典型突出礦區(qū)的28個(gè)突出實(shí)例(收集自不同礦井的同一組煤層，該層煤的變質(zhì)程度為1/3焦煤，且工程地質(zhì)條件類似)，其中20個(gè)作為訓(xùn)練樣本(表1)，另外8個(gè)作為待判樣本(表4)。采用逐步判別分析法[14-15]對(duì)影響煤與瓦斯突出的敏感指標(biāo)進(jìn)行逐步判別篩選，由于收集到的突出實(shí)例中常用的敏感指標(biāo)S、K1和Δh2等數(shù)據(jù)缺失，故采用其他8個(gè)敏感指標(biāo)(瓦斯壓力、放散初速度、堅(jiān)固性系數(shù)、煤體破壞類型、開采深度、軟分層厚度、瓦斯含量、煤層傾角，分別用x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8表示)作為逐步判別因子，其中煤體破壞類型分為5類：非破壞煤、破壞煤、強(qiáng)烈破壞煤、粉碎煤和全粉煤。逐步判別分析法篩選判別因子的方法如下所述。

根據(jù)多元統(tǒng)計(jì)方差分析原理，定義A為樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的組內(nèi)離差平方和，T為樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的總離差平方和，此時(shí)有：Λ=|A|/|T|,要對(duì)某一變量的判別能力的顯著性進(jìn)行分析，操作步驟如下所述。

判別函數(shù)中假設(shè)已有q個(gè)變量，記X*,若考慮是否有必要添加變量Xj,可通過計(jì)算偏威爾克斯統(tǒng)計(jì)量，見式(17)。

(17)

式中，Λ(X*,Xj)為X*與Xj的威爾克斯統(tǒng)計(jì)量?？梢宰C明式(18)。

Fα(k-1,n-k-q)

(18)

表1 訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)及判別結(jié)果Table 1 Training sample data and discriminant results

即F進(jìn)=Fα(k-1,n-k-q),如果有F>F進(jìn),則表明變量Xj判別能力顯著，在判別函數(shù)中相應(yīng)地有必要增加變量Xj。針對(duì)判別函數(shù)中已有的q個(gè)變量X*,如若存在有對(duì)判別能力不顯著的變量，則需將其剔除出判別函數(shù)。如考慮變量Xk是否可從判別函數(shù)中剔除，記剔除Xk的變量組為X*(k),見式(19)。

(19)

此時(shí)，若有F

根據(jù)以上計(jì)算公式，取F進(jìn)=3.84，F(xiàn)出=2.71作為逐步判別停止的判據(jù)。若某一變量F≥3.84時(shí)，則表明該變量判別能力顯著，需將其加入到判別模型中；若某一變量F≤2.71時(shí)，則表明該變量判別能力微弱，應(yīng)將其剔除出判別模型。重復(fù)以上過程，直至計(jì)算到既沒有變量加入也無變量被剔除，逐步判別分析過程才算結(jié)束。最終利用逐步判別法經(jīng)過4步計(jì)算從給定的8個(gè)變量指標(biāo)中將瓦斯壓力x1、放散初速度x2、軟分層厚度x6選入作為突出判別因子，將堅(jiān)固性系數(shù)x3、煤體破壞類型x4、開采深度x5、瓦斯含量x7、煤層傾角x8剔除出判別模型。由于篇幅所限，對(duì)逐步判別篩選判別因子的具體計(jì)算步驟不再詳述。

2.2 Bayes判別函數(shù)的建立

根據(jù)上面所述建模過程，選取表1中所列的20個(gè)煤與瓦斯突出實(shí)例數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練學(xué)習(xí)樣本建立Bayes判別模型?！斗乐蚊号c瓦斯突出規(guī)定》指出[16]，在進(jìn)行煤與瓦斯突出危險(xiǎn)性鑒定時(shí)，給出的礦井鑒定結(jié)果只有是否為突出礦井，而對(duì)突出礦井的突出類別大小沒有給出。另外研究表明[7]，對(duì)于有些礦井其各項(xiàng)突出指標(biāo)值并沒有超過臨界值，但也有可能會(huì)發(fā)生煤與瓦斯突出。根據(jù)突出時(shí)拋出煤的重量不同將突出分為4類：Ⅰ-無突出、Ⅱ-小型突出(50 t以下)、Ⅲ-中型突出(50～100 t)、Ⅳ-大型突出(100 t以上)。將這4個(gè)突出類別分別作為Bayes判別函數(shù)的4個(gè)正態(tài)總體G1,G2,G3,G4。根據(jù)上述Bayes判別函數(shù)求解的過程，經(jīng)訓(xùn)練學(xué)習(xí)便可得出Bayes判別函數(shù)，判別函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)見表2。因此，所建立的煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)Bayes判別函數(shù)分別見式(20)～(23)。

y1=6.661x1+0.556x2+1.817x6-9.951

(20)

y2=9.12x1+1.667x2+1.245x6-24.252

(21)

y3=3.86x1+0.954x2+3.729x6-13.987

(22)

y4=15.954x1+0.886x2+3.608x6-41.887

(23)

表2 Bayes判別函數(shù)分類系數(shù)Table 2 Classification coefficient of Bayes discriminant function

2.3 Bayes判別效果顯著性檢驗(yàn)

對(duì)20個(gè)訓(xùn)練樣本進(jìn)行回代估計(jì)檢驗(yàn)，分別根據(jù)Bayes函數(shù)值y和后驗(yàn)概率值P(Gi/x)確定訓(xùn)練樣本的回判結(jié)果，見表3。由表3可知，20個(gè)突出訓(xùn)練樣本回判后的判別結(jié)果與實(shí)際情況完全相符，其誤判率為0。從誤判率來看，Bayes-逐步判別分析方法能夠有效地對(duì)煤與瓦斯突出進(jìn)行判別預(yù)測(cè)，而且方法簡(jiǎn)單可靠，準(zhǔn)確率高。

表3 訓(xùn)練樣本回判結(jié)果Table 3 Feedback results for training sample

3 工程應(yīng)用

利用上述建立的Bayes判別分析模型對(duì)該典型突出礦區(qū)的另外8個(gè)突出實(shí)例進(jìn)行突出類型判別預(yù)測(cè)，判別結(jié)果見表4。為了便于對(duì)比分析，表4同時(shí)列出了對(duì)判別因子不進(jìn)行篩選而全部引入判別函數(shù)的判別分類結(jié)果。由表4可知，利用Bayes-逐步判別法得到的判別結(jié)果與實(shí)際情況完全吻合，判別正確率達(dá)100%；而單純利用Bayes判別法得到的判別結(jié)果中有2個(gè)是錯(cuò)誤的，誤判率為25%。為進(jìn)一步考察Bayes-逐步判別法判識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，對(duì)8個(gè)突出實(shí)例進(jìn)行了回代估計(jì)，結(jié)果見表5。由表5可知，根據(jù)Bayes函數(shù)值和后驗(yàn)概率回判的結(jié)果與實(shí)際情況完全一致，誤判率為0。由此說明，建立的Bayes-逐步判別分析模型可以有效、準(zhǔn)確地對(duì)煤與瓦斯突出進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Bayes-逐步判別分析模型用于煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)，是建立在對(duì)已有煤與瓦斯類型特征規(guī)律訓(xùn)練學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)習(xí)樣本的代表性及數(shù)量對(duì)煤與瓦斯突出的準(zhǔn)確判別預(yù)測(cè)極其重要。因此利用該判別模型進(jìn)行煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)時(shí)需注意以下問題：①在對(duì)學(xué)習(xí)樣本進(jìn)行篩選時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮常用的突出預(yù)測(cè)敏感指標(biāo)；②所建立的判別模型適用于煤層地質(zhì)條件和采煤技術(shù)工藝類似的待預(yù)測(cè)區(qū)域，在實(shí)際工程應(yīng)用過程中，可根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)工程地質(zhì)情況，盡可能選取具有代表性的實(shí)例和判別能力顯著的指標(biāo)；③在不增加計(jì)算負(fù)擔(dān)的前提下，應(yīng)盡可能增加樣本數(shù)量以提高判別模型的準(zhǔn)確性。

表4 待判樣本數(shù)據(jù)及判別結(jié)果Table 4 Sample data to be determined and classification results

表5 待判樣本回判結(jié)果檢驗(yàn)Table 5 Test of the feedback results to be determined

4 結(jié) 論

1) 為減弱非敏感判別指標(biāo)對(duì)煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)結(jié)果的干擾，利用逐步判別法對(duì)影響突出的8個(gè)變量指標(biāo)進(jìn)行篩選，選取出對(duì)突出判別能力影響顯著的瓦斯壓力、瓦斯放散初速度和軟分層厚度3個(gè)敏感指標(biāo)作為判別因子。通過篩選，最大限度地避免了非顯著性指標(biāo)加入判別模型而影響計(jì)算精度和判別結(jié)果，同時(shí)，也削弱了評(píng)價(jià)不同指標(biāo)對(duì)煤與瓦斯突出影響程度的隨意性和主觀性，一定程度上反映了各指標(biāo)對(duì)突出影響的差異性。

2) 基于多元統(tǒng)計(jì)分析理論，建立了煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)的Bayes-判別分析模型。利用所構(gòu)建的判別模型對(duì)20個(gè)煤與瓦斯突出實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí)得出相應(yīng)的Bayes判別函數(shù)，用回代估計(jì)的方法進(jìn)行逐一驗(yàn)證，結(jié)果誤判率為0。將建立的判別模型對(duì)8個(gè)突出實(shí)例進(jìn)行判別預(yù)測(cè)，判別結(jié)果與實(shí)際情況完全吻合，正確率達(dá)100%。因此，所建立的Bayes-逐步判別分析模型判別準(zhǔn)確度高，是一種有效的煤與瓦斯突出預(yù)測(cè)方法。

3) 構(gòu)建的Bayes-逐步判別分析模型有一定的適用范圍，在實(shí)際應(yīng)用過程中需綜合考慮待預(yù)測(cè)區(qū)域的煤層地質(zhì)條件及開采技術(shù)工藝等。