(廣東工業(yè)大學(xué) 廣東 廣州 510080)

引言

目前，193 nm浸沒光刻技術(shù)[3]一種常見的光刻技術(shù)。然而，隨著臨界尺寸(CD)的不斷縮小，在工藝節(jié)點(diǎn)上浸沒光刻已經(jīng)很難滿足當(dāng)前半導(dǎo)體電路密度的增長(zhǎng)的需求[4]。因此，運(yùn)用分辨率增強(qiáng)技術(shù)(RETS)進(jìn)一步提高光刻系統(tǒng)的圖像精確度一直是該領(lǐng)域研究有效手段。適應(yīng)矩估計(jì)方法(Adam Algorithm，Adam)結(jié)合了AdaGrad方法和RMSPro方法的優(yōu)點(diǎn)，能夠很好地適應(yīng)梯度變化，能夠自適應(yīng)調(diào)整每次迭代的步長(zhǎng)以優(yōu)化迭代過程。它的主要思想是使用目標(biāo)函數(shù)和約束條件定義或推導(dǎo)出代價(jià)函數(shù)，然后通過計(jì)算代價(jià)函數(shù)的梯度和選擇合適的更新步長(zhǎng)來確定最優(yōu)化下降方向和大小。

一、矢量模型

光刻投影成像系統(tǒng)主要分為兩個(gè)部分：投影光學(xué)效果和抗蝕效果。由阿貝成像原理[5]，基于部分相干光照明系統(tǒng)的投影光刻模型在光刻膠中的投影物像強(qiáng)度為[6]

(1)

其中，J(αs,βs)是位于點(diǎn)(αs,βs)處光源的強(qiáng)度，且JSS=∑(αs,βs)J(αs,βs)是所有對(duì)成像做出貢獻(xiàn)的點(diǎn)光源強(qiáng)度之和。光刻膠抗蝕作用同樣使用sigmoid激活函數(shù)來描述：

(2)

其中，a描述了激活函數(shù)的陡峭程度，tr表示激活的閾值。

二、Adam Algorithm算法

文中使用的的自適應(yīng)矩估計(jì)方法Adam Algorithm結(jié)合了AdaGrad方法和RMSPro方法的優(yōu)點(diǎn)，能夠很好地適應(yīng)梯度變化，自然地對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整以加速優(yōu)化過程。

算法流程：

1.計(jì)算代價(jià)函數(shù)(目標(biāo)函數(shù)f(θ))并判斷是否大于λ，若大于λ則進(jìn)入下一步，反之則退出算法迭代；

2.更新變量:

k=k+1;

gt=θft(θt);(獲得目標(biāo)函數(shù)在t時(shí)刻對(duì)目標(biāo)變量的導(dǎo)數(shù))

mt=β1·mt-1+(1-β1)·gt;(更新一階矩陣估計(jì))

通過簡(jiǎn)化上述過程并定義優(yōu)化變量為φ,對(duì)應(yīng)的在t+1時(shí)刻的更新方式可以描述為：

(4)

其中，能量項(xiàng)ε=10-8有兩個(gè)作用，一是避免由分母等于0導(dǎo)致的優(yōu)化無法進(jìn)行，二是保證優(yōu)化的順滑性和賦予優(yōu)化跳出局部最小值的能力。

當(dāng)我們考慮變量φ的絕對(duì)值時(shí)，有如下表達(dá)式：

(5)

另一種情況下，我們假設(shè)算法迭代經(jīng)過一段時(shí)間后，一階矩陣估計(jì)累積到了相當(dāng)大的數(shù)值，且變量陷入了局部最小值。此時(shí)有t=t1,gt1≈0以及mt,vt?gt，從而可以用下式表示t2時(shí)刻的梯度值:

(6)

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本組實(shí)驗(yàn)的正向模型采用基于分層媒介的矢量模型，主要研究的內(nèi)容是:在相同的照明系統(tǒng)和初始化掩膜下分別使用SGD算法和Adam算法，比較兩種算法的優(yōu)劣。

我們給出了基于分層模型的SGD和Adam逆優(yōu)化結(jié)果。其中，從左到右分別是照明光源、掩膜和投影物像，從上到下的三組實(shí)驗(yàn)是未優(yōu)化實(shí)驗(yàn)結(jié)果、使用SGD優(yōu)化的結(jié)果和Adam使用優(yōu)化的結(jié)果。在相同條件下觀察兩組實(shí)驗(yàn)我們可以發(fā)現(xiàn)使用Adam算法的優(yōu)化結(jié)果更好。

我們給出了SGD和Adam逆優(yōu)化的代價(jià)函數(shù)。其中，橫軸代表著算法迭代次數(shù)，縱軸代表代價(jià)函數(shù)的值，紅色曲線和藍(lán)色曲線分別代表使用SGD算法和Adam算法的代價(jià)函數(shù)變化。從結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，Adam算法的優(yōu)化曲線更加順滑，因?yàn)樗鼘?duì)梯度進(jìn)行了很好的約束。

四、結(jié)論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在同等條件下，Adam算法無論是從實(shí)驗(yàn)過程還是優(yōu)化結(jié)果來講均優(yōu)于SGD算法，這是因?yàn)锳dam算法能夠很好地適應(yīng)梯度變化，自然地對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整以加速優(yōu)化過程?？朔薙GD由于步長(zhǎng)小優(yōu)化速度慢，步長(zhǎng)大容易發(fā)散的缺點(diǎn)，然而Adam算法更新步長(zhǎng)也是在較小范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，想要進(jìn)一步提高計(jì)算效率就要從提高整體步長(zhǎng)入手。