趙小倩， 秦 鵬， 張菊平

(1.中北大學(xué)理學(xué)院， 太原 030051； 2.中北大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院， 太原 030051；3.山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 太原 030051)

性病，全名為性傳播疾病，是以性接觸為主要傳播方式的疾病.國際上將20多種通過性行為或類似性行為引起的感染性疾病列入性病范疇.較常見的性病有淋病、梅毒、非淋菌性尿道炎和艾滋病等.其中，梅毒、淋病和艾滋病等8種性病被列為我國重點(diǎn)防治的性病[1].因此，了解性傳染病的傳播機(jī)理從而制定相應(yīng)的防控措施非常重要.王燕等[1]研究了一類具有季節(jié)性和疫苗接種的SIR傳染病模型對控制傳染病的影響，揭示了傳染病的傳播速度小于初始患者為隨機(jī)分布時(shí)的速度；秦文惠等[2]研究了具有一般接觸率和用于治療的SIS對逼近模型及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，針對2種菌株是否可以獨(dú)立生存，建立了一個(gè)在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上2種菌株有交叉感染的SIS對逼近傳染病模型；李梁晨等[3]的研究，了解病毒在人體內(nèi)的感染、受制、清除等動(dòng)力學(xué)過程；Carnett[4]針對梅毒提出梅毒螺旋體在易感性伴侶和感染性伴侶接觸過程中具有較高的傳播可能性.而性伴侶之間的接觸形成了一個(gè)接觸網(wǎng)絡(luò)，因此，以接觸網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型來研究性傳播疾病會(huì)更加切合實(shí)際，建立的傳染病模型也會(huì)更加精確[5-9].對逼近(Pair-Approximation)模型主要研究網(wǎng)絡(luò)中不同狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)及其之間的連邊(對或二元組)隨時(shí)間的變化規(guī)律， 是網(wǎng)絡(luò)傳染病模型的一種[10-15].Moris等[16]提出了網(wǎng)絡(luò)中性伴侶對傳染病傳播的影響；Ghani[17]探討了不同網(wǎng)絡(luò)方法在性病流行病學(xué)中的作用；Bauch[18]探索了網(wǎng)絡(luò)中對逼近在研究性病過程中的應(yīng)用；Kim[19]討論了在性傳播過程中傳播率在男性對女性和女性對男性之間可能不同；Miller等[20]給出了傳染病在網(wǎng)絡(luò)傳播中已有的方法和當(dāng)前面臨的挑戰(zhàn)[21].本文主要基于接觸網(wǎng)絡(luò)建立異性戀中性病傳播的SIS對模型，并對其進(jìn)行分析.

1 模型的建立

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的總?cè)丝跀?shù)為N，分別用m和f表示異性戀接觸網(wǎng)絡(luò)中的男性和女性，女性總?cè)丝跒镹f(t)，男性總?cè)丝跒镹m(t)，從而有N(t)=Nf(t)+Nm(t).將人群分為易感者(S)和染病者(I)，分別用Sf(或Sm)和If(或Im)表示女性(或男性)易感者和染病者，[Sf(t)](或[Sm(t)])和[If(t)](或[Im(t)])表示t時(shí)刻女性(或男性)易感者和染病者的數(shù)量.[AB]表示A-B連邊的數(shù)量，[ABC]表示A-B-C三元組的數(shù)量，其中A，B，C∈{Sf，Sm，If，Im}.接觸網(wǎng)絡(luò)上異性戀的性病傳播流程圖如圖1所示.

圖1 接觸網(wǎng)絡(luò)上異性戀的性病傳播流程圖Fig.1 Flow chart of STD transmission on the heterosexual network

根據(jù)圖1建立網(wǎng)絡(luò)上異性戀的性傳播SIS對逼近動(dòng)力學(xué)模型為:

(1)

其中，λ1(λ2)表示易感者女性(男性)與染病者男性(女性)接觸的傳染率，γ1(γ2)表示女性(男性)染病者的恢復(fù)率.

因?yàn)?/p>

所以N(Nf，Nm)為常數(shù).假設(shè)節(jié)點(diǎn)的染病者鄰居服從二項(xiàng)分布，有逼近公式[10]：

(2)

其中A，B，C∈{Sf，Sm，If，Im}.

由異性網(wǎng)的平衡條件有

nmNm=nfNf，

[SfSm]+[SfIm]+[SmIf]+[ImIf]=nfNf.

(3)

將(2)、(3)代入模型(1)，得到如下系統(tǒng):

(4)

容易證得系統(tǒng)(4)正向不變集為

0≤[Im]+[If]≤N，

0≤[SfIm]+[IfSm]+[IfIm]≤nfNf}.

2 無病平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

系統(tǒng)(4)有無病平衡點(diǎn)E0=(0，0，0，0，0)，它在E0處的雅可比矩陣JE0為

(5)

計(jì)算得(5)的特征方程為

(τ+γ1)(τ+γ2)(τ3+τ2a1+τa2+a3)=0，

其中，

a1=2γ1+2γ2+λ1+λ2，

λ1λ2nf+λ1λ2nm-λ1λ2nfnm，

λ1λ2nmγ1-λ1λ2nfnm(γ1+γ2).

特征方程有兩個(gè)特征根為-γ1和-γ2，其余特征根滿足

τ3+τ2a1+τa2+a3=0.

(6)

由Hurwitz判據(jù)知，當(dāng)H1>0，H2>0，H3>0時(shí)，雅可比矩陣的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)(4)的零解局部漸近穩(wěn)定，其中，

H1=a1>0，

H2=3(λ1+λ2)(γ1+γ2)2+

(γ1+γ2)((7γ1γ2+(λ1λ2)2))+

γ1λ1λ2(nm+2nf)+λ1λ2(nf+nm)(λ1+λ2)-

λ1λ2nfnm(λ1+λ2+γ1+γ2)，

H3=(γ1γ2(λ1+λ2+γ1+γ2)+

λ1λ2(γ2nf+γ1nm)-(γ1+γ2)λ1λ2nfnm)H2.

要使H2>0，H3>0，只需H2>0，a3>0，即

其中，

因?yàn)镸>H，故只需滿足

定理1當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(4)的零解是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0>1時(shí)不穩(wěn)定.

3 正平衡點(diǎn)的存在性

下面討論系統(tǒng)(4)正平衡點(diǎn)的存在情況.

令系統(tǒng)(4)后4個(gè)方程的右端為零，可得

(7)

將(7)代入系統(tǒng)(4)第5個(gè)方程的右端令其為零，可得關(guān)于[If]的一元二次方程:

P[If]2+Q[If]+W=0.

(8)

其中，

a=γ1+nfλ1，b=γ2+nmλ2，

(R0-1)(nfλ1b+nmλ2a)nfNf，

方程(8)判別式為

Δ=(R0-1)2(A-B)2+

2(R0-1)(A-B)(C-D)+(C+D)2.

(9)

其中，

A=nfλ1b，B=nmλ2a，

將方程(9)看成Δ關(guān)于R0-1的一元二次函數(shù)，求函數(shù)的最低點(diǎn)為

4DC>0.

下面分情況討論一元二次方程(8)根的存在性.

1)當(dāng)R0>1時(shí)，有W>0.

(1) 當(dāng)P<0且Q>0時(shí)，若滿足

(2) 當(dāng)P<0且Q≤0時(shí)，若滿足

(3) 當(dāng)P>0且Q<0時(shí)，若滿足

方程(8)有兩個(gè)正根，則系統(tǒng)(4)有兩個(gè)正平衡點(diǎn)，

和

其中，

3)當(dāng)R0<1時(shí)，有W<0.

當(dāng)P<0，Q>0時(shí)，方程(8)有兩個(gè)正根，則系統(tǒng)(4)有兩個(gè)正平衡點(diǎn)，

和

其中，

因此，總結(jié)如下表1所示.

表1 正平衡點(diǎn)的存在性

4 數(shù)值模擬

下面通過數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析的正確性.取

Nf=80，Nm=60，nf=3，nm=4，

γ1=0.44，γ2=0.1，λ1=0.08，λ2=0.09，

則有R0>1，P<0，Q>0，系統(tǒng)(4)存在唯一的正平衡點(diǎn)且是穩(wěn)定的(見圖2).

圖2 R0>1，P<0，Q>0時(shí)的時(shí)間序列圖Fig.2 Time series diagram，when R0>1，P<0，Q>0

取

Nf=80，Nm=60，nf=3，nm=4，

γ1=0.42，γ2=0.1，λ1=0.08，λ2=0.09，

則有R0>1，P<0，Q<0，系統(tǒng)(4)存在唯一的正平衡點(diǎn)且是穩(wěn)定的(見圖3).

取

Nf=80，Nm=60，nf=3，nm=4，

γ1=0.1，γ2=0.15，λ1=0.06，λ2=0.07，

則有R0>1，P>0，Q<0(用實(shí)線表示).在參數(shù)不變，當(dāng)Nf=40，Nm=30時(shí)(用虛線表示) (見圖4).

進(jìn)一步給出了R0關(guān)于參數(shù)γ1對[If]的影響(見圖5).

圖3 R0>1，P<0，Q<0時(shí)的時(shí)間序列圖Fig.3 Time series diagram， when R0>1，P<0，Q<0

圖4 R0>1， P>0，Q<0時(shí)的時(shí)間序列圖Fig.4 Time series diagram，when R0>1， P>0，Q<0

圖5 γ1對[If]的影響Fig.5 γ1impact on[If]

5 結(jié)論

本文用網(wǎng)絡(luò)對逼近傳染病模型來研究異性戀之間的傳染病，建立了靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上性傳播疾病的SIS對逼近傳染病模型.通過理論分析證明了無病平衡點(diǎn)的存在性及其局部穩(wěn)定性，得到了基本再生數(shù)R0.當(dāng)R0<1時(shí)無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)R0>1時(shí)無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.分情形討論了正平衡點(diǎn)的存在性，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.