楊麗霞， 張 毅

(1.蘇州科技大學數(shù)理學院， 江蘇 蘇州 215009； 2.蘇州科技大學土木工程學院， 江蘇 蘇州 215011)

在研究相關(guān)的動力學問題時，分數(shù)階微積分產(chǎn)生了重要作用.在實際應用中，分數(shù)模型較整數(shù)階模型而言，更加符合實際意義，結(jié)論更加精確.1996年，Riewe首次建立了非保守力學系統(tǒng)的分數(shù)階模型[16-17].隨后，F(xiàn)rederico和Torres建立了分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)和分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的Noether定理[18-19].近年來，分數(shù)階模型下約束力學系統(tǒng)的守恒量研究已經(jīng)取得重要進展[20-25].張毅等[26]提出并證明了Riemann-Liouville導數(shù)下分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理，束方平等[27]將積分因子法應用于分數(shù)階Lagrange系統(tǒng).本文將用積分因子法研究基于Riemann-Liouville導數(shù)的分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的守恒量，從而建立該系統(tǒng)的積分因子定義與守恒定理.

1 Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)及其基本性質(zhì)

假設在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f(t)連續(xù)且可積，則Riemann-Liouville分數(shù)階左導數(shù)定義為

(1)

右導數(shù)定義為

(2)

其中，Γ(*)是Gamma函數(shù)，α是導數(shù)的階，且0≤α<1.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2 分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)及其積分因子

由2n個Birkhoff變量aμ=aμ(t)來描述的分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)，該系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)為B=B(t，aν)，Birkhoff函數(shù)組為Rμ=Rμ(t，aν)，在Riemann-Liouville導數(shù)下分數(shù)階Birkhoff方程可表示為[26]

(μ，ν=1，2…，2n).

(8)

如果α→1，則方程(8)成為

(μ=1，2，…，2n)，

(9)

方程(9)是經(jīng)典Birkhoff方程[2].

定義1如果存在函數(shù)集ξμ(t，aμ)，使得不變式

恒等地化為

(10)

其中，函數(shù)G，ξ0和λμ與t，aμ相關(guān)，則稱函數(shù)集ξμ(t，aμ)是分數(shù)階Birkhoff方程(8)的積分因子.

3 分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的守恒定理

假設函數(shù)集ξμ(t，aμ)是方程(8)的積分因子，將式(8)代入式(10)，得到

(11)

故有

命題1若函數(shù)集ξμ(t，aμ)是分數(shù)階Birkhoff方程(8)的積分因子，那么沿著系統(tǒng)的運動微分方程，存在守恒量I(t，aμ)，形如

(12)

如果分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)(8)存在積分因子ξμ，則守恒量I中的函數(shù)集G，ξ0，ξk一定滿足必要條件(10).由式(8)，可將(10)化簡成

(13)

展開上式，并將式(8)代入，得到

(14)

如果必要條件(14)的解G，ξ0和ξμ使得表達式(12)等號右邊成為一個常數(shù)，即

若C0為定值常數(shù)，則可稱此組解G，ξ0，ξμ為奇異函數(shù)組；反之，若C0為任意常數(shù)，則可稱此組解為非奇異函數(shù)組.故有如下命題.

命題2對于分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)(8)，若有非奇異函數(shù)組G，ξ0，ξk和λμ為必要條件(14)的解，則該分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)存在一個形如式(12)的守恒量.

命題1和命題2統(tǒng)稱為積分因子理論.

4 廣義Killing方程

用上述積分因子理論尋找該系統(tǒng)(8)的守恒定理的過程中，重點是需要找到非奇異函數(shù)組G，ξ0，ξk和λμ，滿足其必要條件等式(14).

(15)

(μ=1，2，…，2n).

(16)

方程(15)和(16)是關(guān)于(4n+2)個未知函數(shù)G，ξ0，ξμ和λμ的(2n+1)個偏微分方程.因此，尋找必要條件(14)的非奇異函數(shù)組解便轉(zhuǎn)化為尋找式(15)和(16)的非奇異函數(shù)組解.從式(15)和(16)的方程中可以看出，其未知函數(shù)的個數(shù)明顯多于其廣義Killing方程式的個數(shù)，因此該方程組的解不唯一.在尋找其廣義Killing方程的解過程中，可先適當選取部分G，ξ0，ξμ，λμ的值，便可得到方程(15)和(16)的解，故可求得此系統(tǒng)的守恒量.

命題3對于所論分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)(8)，若廣義Killing方程(15)和(16)存在非奇異函數(shù)組解G，ξ0，ξμ，λμ，則該系統(tǒng)(8)存在一個形如式(12)的守恒量.

此外，為了得到非奇異函數(shù)組解G，ξ0，ξμ和λμ，也可將該系統(tǒng)方程(8)直接代入必要條件(14)，得到

(17)

可以通過直接解方程(17)，得到非奇異函數(shù)組解G，ξ0和ξμ，從而得到此系統(tǒng)(8)的形如式(12)守恒量.

5 特例——分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的積分因子

由Lagrange系統(tǒng)、Hamilton力學系統(tǒng)的從特殊到一般的發(fā)展，有了Birkhoff力學系統(tǒng).

若取

B=H，

(18)

其中，qk和pk分別為廣義坐標和廣義動量，H=H(t，qk，pk)為Hamilton函數(shù)，則可將分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)(8)退化為如下分數(shù)階Hamilton方程

(19)

由定義1，得到下面定義2．

(20)

其中，函數(shù)G，ξ0，λk與t，qk，pk相關(guān)，則稱函數(shù)集ξk=ξk(t，qk，pk)是該系統(tǒng)方程(19)的積分因子.

由命題1和命題2便可得下面命題4．

命題4若函數(shù)集ξk(t，qk，pk)是該系統(tǒng)方程(19)的積分因子，則由該分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的運動微分方程存在守恒量I，形如

(21)

命題5對于分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)(19)，若有非奇異函數(shù)組G，ξ0，ξk和λk為必要條件

(22)

的解，則此系統(tǒng)存在一個形如式(21)守恒量.

(23)

(24)

命題6對于分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)(19)，若有非奇異函數(shù)組G，ξ0，ξk和λk為廣義Killing方程(23)與(24)的解，則此系統(tǒng)存在一個形如式(21)守恒量.

6 算例

若分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)B和Birkhoff函數(shù)組Rμ分別為

(25)

R1=a2，R2=0，R3=a4，R4=0.

(26)

分數(shù)階Birkhoff方程(8)給出

(27)

將式(27)代入廣義Killing方程(15)和(16)，得到

(28)

(29)

(30)

方程(28)～(30)有解：

(31)

(32)

(33)

(34)

由命題3可得

方程的解(31)～(34)是非奇異函數(shù)組解，故I1、I2、I3、I4是系統(tǒng)的守恒量.

7 結(jié)論

尋找約束力學系統(tǒng)的守恒量是分析力學研究的重要內(nèi)容，積分因子法因其計算簡單，適用范圍廣而得到廣泛應用.文章的主要工作：一是定義了分數(shù)階Birkhoff方程(8)的積分因子；二是建立了由積分因子理論得到的分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的守恒定理，由其積分因子理論得到了該系統(tǒng)的守恒量形式；三是建立了分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的廣義Killing方程，給出了求解守恒量的具體方法；最后給出分數(shù)階Hamilton系統(tǒng)的積分因子定義，并給出其守恒定理.文章的方法和結(jié)果可進一步推廣及應用于基于不同分數(shù)階導數(shù)的分數(shù)階約束力學系統(tǒng).